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Einheitengruppe In der Mathematik ist die eines Rings mit Einselement die Menge aller multiplikativ invertierbaren Eleme

Einheitengruppe

In der Mathematik ist die Einheitengruppe eines Rings mit Einselement die Menge aller multiplikativ invertierbaren Elemente. Sie ist mit der Ringmultiplikation eine Gruppe.

Die Einheitengruppen von (unitären) assoziativen Algebren können als Verallgemeinerung der allgemeinen linearen Gruppe angesehen werden.

Definition Bearbeiten

Sei ein Ring mit 1. Die Menge aller multiplikativ invertierbaren Elemente (Einheiten) von bildet mit der Ringmultiplikation eine Gruppe. Sie wird Einheitengruppe von genannt. Man schreibt die Einheitengruppe meist als oder als . Die Definition lässt sich auf Monoide übertragen.

Eigenschaften und verwandte Begriffe Bearbeiten

  • Ein kommutativer Ring mit 1, dessen Einheitengruppe aus allen Elementen außer der Null besteht, ist bereits ein Körper.
  • Ein kommutativer Ring mit 1 ist genau dann lokal, wenn das Komplement der Einheitengruppe ein Ideal ist.

Die Einheitengruppe eines Körpers Bearbeiten

Die Einheitengruppe (auch ) eines Körpers heißt multiplikative Gruppe. Sie ist isomorph zur linearen algebraischen Gruppe

also Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe vom Grad 2.

Jede endliche multiplikative Untergruppe eines kommutativen Körpers ist zyklisch (s. Einheitswurzel).

Beispiele Bearbeiten

  • Die Einheitengruppe des Rings der ganzen Zahlen besteht aus den beiden Elementen 1 und −1.
  • Die Einheitengruppe des Rings der rationalen Zahlen besteht aus allen rationalen Zahlen ungleich der Null, ist also ein Körper.
  • Die Einheitengruppe des Restklassenrings modulo 10 besteht aus den Elementen 1, 3, 7 und 9.
  • Ist eine Primzahl, so gibt es in genau Einheiten.
  • Allgemein: Ist , so gibt es in genau Einheiten. Dabei ist die Euler-Funktion. ist die Anzahl der natürlichen Zahlen, die nicht größer als und teilerfremd zu sind.
  • Die Einheitengruppe des Matrizenrings der -Matrizen mit Koeffizienten in einem Körper heißt allgemeine lineare Gruppe . und sind Lie-Gruppen.

Literatur Bearbeiten

  • Andreas Bartholomé, Josef Rung, Hans Kern: Zahlentheorie für Einsteiger. Vieweg+Teubner, 7. Auflage, 2010, ISBN 978-3-8348-1213-1.
  • Armin Leutbecher: Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1996, ISBN 3-540-58791-8.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Andreas Bartholomé, Josef Rung, Hans Kern: Zahlentheorie für Einsteiger. Vieweg+Teubner, 7. Auflage, 2010, Seite 113.
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In der Mathematik ist die Einheitengruppe eines Rings mit Einselement die Menge aller multiplikativ invertierbaren Elemente Sie ist mit der Ringmultiplikation eine Gruppe Die Einheitengruppen von unitaren assoziativen Algebren konnen als Verallgemeinerung der allgemeinen linearen Gruppe angesehen werden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften und verwandte Begriffe 3 Die Einheitengruppe eines Korpers 4 Beispiele 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei R displaystyle R nbsp ein Ring mit 1 Die Menge aller multiplikativ invertierbaren Elemente Einheiten von R displaystyle R nbsp bildet mit der Ringmultiplikation eine Gruppe Sie wird Einheitengruppe von R displaystyle R nbsp genannt Man schreibt die Einheitengruppe meist als R displaystyle R nbsp oder als R displaystyle R times nbsp Die Definition lasst sich auf Monoide ubertragen Eigenschaften und verwandte Begriffe BearbeitenEin kommutativer Ring mit 1 dessen Einheitengruppe aus allen Elementen ausser der Null besteht ist bereits ein Korper Ein kommutativer Ring mit 1 ist genau dann lokal wenn das Komplement der Einheitengruppe ein Ideal ist Die Einheitengruppe eines Korpers BearbeitenDie Einheitengruppe K displaystyle K nbsp auch K displaystyle K times nbsp x K x 0 displaystyle x in K mid x neq 0 nbsp eines Korpers K displaystyle K nbsp heisst multiplikative Gruppe Sie ist isomorph zur linearen algebraischen Gruppe G m K x 0 0 x 1 x K G L 2 K displaystyle mathbb G m K left begin pmatrix x amp 0 0 amp x 1 end pmatrix Bigg x in K right subseteq mathrm GL 2 K nbsp also Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe vom Grad 2 Jede endliche multiplikative Untergruppe eines kommutativen Korpers K displaystyle K nbsp ist zyklisch s Einheitswurzel Beispiele BearbeitenDie Einheitengruppe des Rings Z displaystyle mathbb Z nbsp der ganzen Zahlen besteht aus den beiden Elementen 1 und 1 Die Einheitengruppe des Rings Q displaystyle mathbb Q nbsp der rationalen Zahlen besteht aus allen rationalen Zahlen ungleich der Null Q displaystyle mathbb Q nbsp ist also ein Korper Die Einheitengruppe des Restklassenrings modulo 10 besteht aus den Elementen 1 3 7 und 9 Ist p displaystyle p nbsp eine Primzahl so gibt es in Z p Z displaystyle mathbb Z p mathbb Z nbsp genau p 1 displaystyle p 1 nbsp Einheiten Allgemein Ist m N displaystyle m in mathbb N nbsp so gibt es in Z m Z displaystyle mathbb Z m mathbb Z nbsp genau f m displaystyle varphi m nbsp Einheiten Dabei ist f displaystyle varphi nbsp die Euler Funktion f m displaystyle varphi m nbsp ist die Anzahl der naturlichen Zahlen die nicht grosser als m displaystyle m nbsp und teilerfremd zu m displaystyle m nbsp sind 1 Die Einheitengruppe des Matrizenrings der n n displaystyle n times n nbsp Matrizen mit Koeffizienten in einem Korper K displaystyle K nbsp heisst allgemeine lineare Gruppe G L n K displaystyle mathrm GL n K nbsp G L n R displaystyle mathrm GL n mathbb R nbsp und G L n C displaystyle mathrm GL n mathbb C nbsp sind Lie Gruppen Literatur BearbeitenAndreas Bartholome Josef Rung Hans Kern Zahlentheorie fur Einsteiger Vieweg Teubner 7 Auflage 2010 ISBN 978 3 8348 1213 1 Armin Leutbecher Zahlentheorie Eine Einfuhrung in die Algebra Springer Berlin Heidelberg New York 1996 ISBN 3 540 58791 8 Einzelnachweise Bearbeiten Andreas Bartholome Josef Rung Hans Kern Zahlentheorie fur Einsteiger Vieweg Teubner 7 Auflage 2010 Seite 113 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Einheitengruppe amp oldid 209544562