Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Fur die Bedeutung von Einheitswurzel in der Zeitreihenanalyse siehe Einheitswurzel Zeitreihenanalyse In der Algebra werden Zahlen deren n displaystyle n te Potenz die Zahl 1 ergibt n displaystyle n te Einheitswurzeln genannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Einheitswurzeln in den komplexen Zahlen 2 1 Gruppe der Einheitswurzeln 2 2 Geometrischer Bezug 2 3 Summe der Einheitswurzeln 2 4 Beispiele 2 4 1 Die zweiten dritten und vierten Einheitswurzeln 2 4 2 Die funften Einheitswurzeln 3 Eigenschaften der Einheitswurzeln 3 1 Einheitswurzeln in kommutativen Korpern mit Charakteristik 0 3 2 Beispiel fur Einheitswurzeln in nicht kommutativen Schief korpern 3 3 Einheitswurzeln in Restklassenringen 4 LiteraturDefinition BearbeitenEs sei R displaystyle R nbsp ein kommutativer Ring mit Einselement und n 1 displaystyle n geq 1 nbsp eine naturliche Zahl Ein Element z R displaystyle zeta in R nbsp heisst eine n displaystyle n nbsp te Einheitswurzel wenn es eine der beiden gleichwertigen Bedingungen erfullt z n 1 displaystyle zeta n 1 nbsp z displaystyle zeta nbsp ist Nullstelle des Polynoms X n 1 displaystyle X n 1 nbsp Die n displaystyle n nbsp ten Einheitswurzeln in R displaystyle R nbsp bilden eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe R displaystyle R times nbsp die oft mit m n R displaystyle mu n R nbsp bezeichnet wird Eine n displaystyle n nbsp te Einheitswurzel z displaystyle zeta nbsp heisst primitiv falls z m 1 displaystyle zeta m neq 1 nbsp fur m 1 n 1 displaystyle m 1 dotsc n 1 nbsp gilt Einheitswurzeln in den komplexen Zahlen BearbeitenIm Korper C displaystyle mathbb C nbsp der komplexen Zahlen sind exp 2 p i k n k 0 1 n 1 displaystyle exp left frac 2 pi mathrm i k n right quad k 0 1 dotsc n 1 nbsp die n displaystyle n nbsp ten Einheitswurzeln wobei i displaystyle mathrm i nbsp die imaginare Einheit ist displaystyle Bigl nbsp Insbesondere ist mit n 4 displaystyle n 4 nbsp und k 1 displaystyle k 1 nbsp i e 2 p i 4 e p i 2 displaystyle mathrm i mathrm e frac 2 pi mathrm i 4 mathrm e frac pi mathrm i 2 nbsp eine vierte Einheitswurzel und des Weiteren i i e p 2 displaystyle mathrm i mathrm i mathrm e frac pi 2 Bigr nbsp Setzt man z n exp 2 p i n displaystyle zeta n exp left frac 2 pi mathrm i n right nbsp so ist z n displaystyle zeta n nbsp primitiv und diese Zahlen bekommen in der gleichen Reihenfolge die einfache Gestalt 1 z n z n 2 z n n 1 displaystyle 1 zeta n zeta n 2 dotsc zeta n n 1 nbsp Ist klar um welches n displaystyle n nbsp es sich handelt lasst man den unteren Index haufig fallen Gruppe der Einheitswurzeln Bearbeiten Da 1 displaystyle 1 nbsp und mit z n i displaystyle zeta n i nbsp und z m j displaystyle zeta m j nbsp auch z n i z m j z n m i m j n displaystyle zeta n i zeta m j zeta nm im jn nbsp Einheitswurzeln sind ist die Menge m C displaystyle mu mathbb C nbsp aller Einheitswurzeln eine Gruppe Die Abbildung f Q m C k n exp 2 p i k n displaystyle f colon mathbb Q to mu mathbb C quad dfrac k n mapsto exp left dfrac 2 pi mathrm i k n right nbsp ist surjektiv Der Kern dieser Abbildung ist Z displaystyle mathbb Z nbsp Die Gruppe der komplexen Einheitswurzeln ist daher isomorph zu der Faktorgruppe Q Z displaystyle mathbb Q mathbb Z nbsp Geometrischer Bezug Bearbeiten Die n displaystyle n nbsp ten Einheitswurzeln lassen sich in der komplexen Zahlenebene geometrisch anschaulich interpretieren Sie sind die auf dem Einheitskreis mit Mittelpunkt 0 und Radius 1 liegenden Ecken eines regelmassigen n displaystyle n nbsp Ecks wobei eine der Ecken die Zahl 1 displaystyle 1 nbsp ist denn diese ist fur jedes n 1 displaystyle n geq 1 nbsp eine n displaystyle n nbsp te Einheitswurzel Realteil und Imaginarteil der Einheitswurzeln z n k x k i y k displaystyle zeta n k x k mathrm i y k nbsp sind damit die Koordinaten der Ecken des n displaystyle n nbsp Ecks auf dem Kreis d h fur k 0 1 n 1 displaystyle k 0 1 dotsc n 1 nbsp ist x k cos 2 p k n cos 360 k n displaystyle x k cos 2 pi k n cos 360 circ cdot k n nbsp und y k sin 2 p k n sin 360 k n displaystyle y k sin 2 pi k n sin 360 circ cdot k n nbsp Mehr siehe unter Radizieren komplexer Zahlen Summe der Einheitswurzeln Bearbeiten Ist z displaystyle zeta nbsp eine n displaystyle n nbsp te Einheitswurzel so gilt 1 z z 2 z n 1 n f a l l s z 1 0 s o n s t displaystyle 1 zeta zeta 2 dotsb zeta n 1 begin cases n amp mathrm falls zeta 1 0 amp mathrm sonst end cases nbsp Diese Aussage folgt unmittelbar aus der geometrischen Summenformel und ist ein Spezialfall der analogen Aussage fur Charaktere von Gruppen Beispiele Bearbeiten Die zweiten dritten und vierten Einheitswurzeln Bearbeiten nbsp Die Funktion z z 3 1 displaystyle z mapsto z 3 1 nbsp nbsp Die dritten Einheitswurzeln Die zweiten Einheitswurzeln sind z 1 1 z 2 1 displaystyle zeta 1 1 quad zeta 2 1 nbsp die dritten Einheitswurzeln sind z 1 1 2 i 2 3 z 2 1 2 i 2 3 z 3 1 displaystyle zeta 1 frac 1 2 frac mathrm i 2 sqrt 3 quad zeta 2 frac 1 2 frac mathrm i 2 sqrt 3 quad zeta 3 1 nbsp die vierten Einheitswurzeln sind wieder von einfacherer Form z 1 i z 2 1 z 3 i z 4 1 displaystyle zeta 1 mathrm i quad zeta 2 1 quad zeta 3 mathrm i quad zeta 4 1 nbsp Die funften Einheitswurzeln Bearbeiten nbsp Die Funktion z z 5 1 displaystyle z mapsto z 5 1 nbsp nbsp Die funften Einheitswurzeln Aus 0 1 z z 2 z 3 z 4 displaystyle 0 1 zeta zeta 2 zeta 3 zeta 4 nbsp folgt 0 1 z 2 1 z 1 z z 2 z 1 z 2 z 1 z 1 w 2 w 1 displaystyle 0 frac 1 zeta 2 frac 1 zeta 1 zeta zeta 2 left zeta frac 1 zeta right 2 left zeta frac 1 zeta right 1 w 2 w 1 nbsp fur w z 1 z z z 4 2 cos 72 displaystyle w zeta frac 1 zeta zeta zeta 4 2 cos 72 circ nbsp Losen dieser quadratischen Gleichung liefert w 1 2 5 4 displaystyle w frac 1 2 pm sqrt frac 5 4 nbsp Da der Winkel 72 displaystyle 72 circ nbsp im 1 Quadranten liegt ist w displaystyle w nbsp positiv und damit ist cos 72 5 1 4 displaystyle cos 72 circ frac sqrt 5 1 4 nbsp der Realteil von z displaystyle zeta nbsp Der Imaginarteil ist nach dem Satz des Pythagoras sin 72 5 5 8 displaystyle sin 72 circ sqrt frac sqrt 5 5 8 nbsp Eigenschaften der Einheitswurzeln BearbeitenEinheitswurzeln in kommutativen Korpern mit Charakteristik 0 Bearbeiten Ist p char K 0 displaystyle p operatorname char K neq 0 nbsp die Charakteristik des Korpers K displaystyle K nbsp dann ist z 1 displaystyle zeta 1 nbsp eine p displaystyle p nbsp fache Nullstelle des Polynoms X p 1 displaystyle X p 1 nbsp Ist p displaystyle p nbsp nicht Teiler der Ordnung n displaystyle n nbsp dann gelten die folgenden Aussagen auch fur Korper mit Primzahlcharakteristik p displaystyle p nbsp Fur zusatzliche Eigenschaften der Einheitswurzeln in solchen Korpern siehe Endlicher Korper Multiplikative Gruppe und diskreter Logarithmus Ist K displaystyle K nbsp ein kommutativer Korper und n N displaystyle n in mathbb N nbsp dann bilden die Elemente z K displaystyle zeta in K nbsp mit z n 1 displaystyle zeta n 1 nbsp eine zyklische Untergruppe U displaystyle U nbsp der multiplikativen Gruppe K displaystyle K times nbsp Die Gruppenordnung von U displaystyle U nbsp ist stets ein Teiler von n displaystyle n nbsp Ist sie gleich n displaystyle n nbsp so sagt man K displaystyle K nbsp enthalt die n displaystyle n nbsp ten Einheitswurzeln und nennt U displaystyle U nbsp die Gruppe der n displaystyle n nbsp ten Einheitswurzeln Eine n displaystyle n nbsp te Einheitswurzel ist genau dann primitiv wenn sie die Gruppe der n displaystyle n nbsp ten Einheitswurzeln erzeugt Die Ordnung einer primitiven n displaystyle n nbsp ten Einheitswurzel z n displaystyle zeta n nbsp ist n displaystyle n nbsp Die primitiven n displaystyle n nbsp ten Einheitswurzeln sind genau die Nullstellen des n displaystyle n nbsp ten Kreisteilungspolynoms Ist z n displaystyle zeta n nbsp eine primitive n displaystyle n nbsp te Einheitswurzel dann ist z n k displaystyle zeta n k nbsp eine primitive n ggT k n displaystyle frac n operatorname ggT k n nbsp te Einheitswurzel grosster gemeinsamer Teiler Die Anzahl der primitiven n displaystyle n nbsp ten Einheitswurzeln ist f n displaystyle varphi n nbsp Eulersche Phi Funktion Erweiterungen von Q displaystyle mathbb Q nbsp die durch Adjunktion von Einheitswurzeln entstehen heissen Kreisteilungskorper Eine endliche multiplikative Untergruppe U displaystyle U nbsp eines kommutativen Korpers K displaystyle K nbsp ist zyklisch Beweis der letzten Aussage U displaystyle U nbsp ist eine abelsche Torsionsgruppe Sie ist also zu einem direkten Produkt U p P U p displaystyle U prod p in mathbb P U p nbsp mit U p u U i N u p i 1 displaystyle U p left u in U left exists i in mathbb N u p i 1 right right nbsp isomorph P displaystyle mathbb P nbsp Menge der positiven Primzahlen Und die U p displaystyle U p nbsp sind zyklisch weil die Gruppenelemente der Ordnung p i displaystyle p i nbsp allesamt Nullstellen von X p i 1 displaystyle X p i 1 nbsp sind und damit Potenzen voneinander Schliesslich ist wegen der Teilerfremdheit von Potenzen verschiedener Primzahlen das direkte Produkt zyklisch Beispiel fur Einheitswurzeln in nicht kommutativen Schief korpern Bearbeiten Im nicht kommutativen Schiefkorper der Quaternionen H displaystyle mathbb H nbsp hat das Polynom X 2 1 displaystyle X 2 1 nbsp die unendlich vielen Nullstellen ϵ ϵ 0 ϵ 1 i ϵ 2 j ϵ 3 k displaystyle epsilon epsilon 0 epsilon 1 mathrm i epsilon 2 mathrm j epsilon 3 mathrm k nbsp mit ϵ 0 0 ϵ 1 2 ϵ 2 2 ϵ 3 2 1 displaystyle epsilon 0 0 land epsilon 1 2 epsilon 2 2 epsilon 3 2 1 nbsp Die Quaternionengruppe ist eine endliche nicht kommutative Untergruppe der multiplikativen Gruppe H displaystyle mathbb H times nbsp Sie hat die Ordnung 8 und den Exponenten 4 Fur weitere endliche Untergruppen von H displaystyle mathbb H times nbsp siehe diesen Artikel uber endliche Untergruppen der Quaternionen Einheitswurzeln in Restklassenringen Bearbeiten Im Ring Z 2 n 1 Z 2 n 1 Z displaystyle mathbb Z 2 n 1 mathbb Z 2 n 1 mathbb Z nbsp der ganzen Zahlen modulo 2 n 1 displaystyle 2 n 1 nbsp ist die Zahl 2 displaystyle 2 nbsp eine primitive 2 n displaystyle 2n nbsp te Einheitswurzel denn in diesem Ring gilt 2 n 1 displaystyle 2 n 1 nbsp Im Ring Z 2 n 1 Z 2 n 1 Z displaystyle mathbb Z 2 n 1 mathbb Z 2 n 1 mathbb Z nbsp der ganzen Zahlen modulo 2 n 1 displaystyle 2 n 1 nbsp ist die Zahl 2 displaystyle 2 nbsp eine primitive n displaystyle n nbsp te Einheitswurzel Diese beiden speziellen Restklassenringe sind fur die Computeralgebra hochst bedeutsam denn sie ermoglichen eine nochmals drastisch beschleunigte Variante der schnellen diskreten Fouriertransformation Dies liegt darin begrundet dass Addition und Multiplikation dieser Restklassenringe durch entsprechende zyklische Addition und Multiplikation in einem unwesentlich grosseren Restklassenring ersetzt werden konnen und damit in binarer Zahlendarstellung die Multiplikation mit Potenzen der Zahl 2 displaystyle 2 nbsp eine zyklische binare Shift Operation bedeutet was wesentlich schneller durchfuhrbar ist als eine allgemeine Multiplikation zweier Zahlen Die erhebliche Zeitersparnis fur die diskrete Fourier Transformation ergibt sich aus der Tatsache dass wahrend der schnellen Fouriertransformation viele Multiplikationen mit der gewahlten Einheitswurzel durchzufuhren sind Literatur BearbeitenSiegfried Bosch Algebra 7 Auflage Springer Verlag Berlin 2009 ISBN 978 3 540 92811 9 Abschnitt 4 5 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Einheitswurzel amp oldid 233783942
