In der Algebra werden Kreisteilungspolynome auch Zyklotomische Polynome verwendet um Unterteilungen des Einheitskreises in gleiche Teile zu untersuchen Unter dem n displaystyle n ten Kreisteilungspolynom F n displaystyle Phi n versteht man dasjenige ganzzahlige Polynom grossten Grades mit Leitkoeffizient 1 das x n 1 displaystyle x n 1 teilt jedoch zu allen x d 1 displaystyle x d 1 mit d lt n displaystyle d lt n teilerfremd ist Seine Nullstellen uber C displaystyle mathbb C sind genau die primitiven n displaystyle n ten Einheitswurzeln e 2 p i k n displaystyle e 2 pi cdot mathrm i k n wobei k displaystyle k die zu n displaystyle n teilerfremden Zahlen zwischen 1 displaystyle 1 und n displaystyle n durchlauft Die Bezeichnung Kreisteilungspolynom stammt vom geometrischen Problem der Kreisteilung also der Konstruktion eines regelmassigen Vielecks unter Beschrankung auf die Euklidischen Werkzeuge Zirkel und Lineal Fur welche n displaystyle n Ecke dies gelingt findet sich im Artikel konstruierbares Polygon Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Verallgemeinerung 3 Beispiele 4 Weitere Berechnungsmoglichkeiten 5 Das Koeffizientenproblem 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseEigenschaften BearbeitenDie Zerlegung des n displaystyle n nbsp ten Kreisteilungspolynoms in Linearfaktoren ergibt F n x 1 k n ggT k n 1 x e 2 p i k n displaystyle Phi n x prod 1 leq k leq n atop operatorname ggT k n 1 left x e 2 pi cdot mathrm i k n right nbsp Daher ist der Grad von F n displaystyle Phi n nbsp gleich f n displaystyle varphi n nbsp der Anzahl der zu n displaystyle n nbsp teilerfremden Zahlen unterhalb n displaystyle n nbsp Die hierdurch definierte Funktion f displaystyle varphi nbsp hat als Eulersche Phi Funktion in der Zahlentheorie eine erhebliche Bedeutung Umgekehrt gilt die Produktdarstellung x n 1 1 k n x e 2 p i k n d n 1 k n ggT k n d x e 2 p i k n d n F n d x d n F d x displaystyle x n 1 prod 1 leq k leq n left x e 2 pi cdot mathrm i k n right prod d mid n prod 1 leq k leq n atop operatorname ggT k n d left x e 2 pi cdot mathrm i k n right prod d mid n Phi n d x prod d mid n Phi d x nbsp Das n displaystyle n nbsp te Kreisteilungspolynom hat ganzzahlige Koeffizienten liegt also in Z x displaystyle mathbb Z x nbsp Es ist dort und in Q x displaystyle mathbb Q x nbsp ein irreduzibles Polynom folglich Minimalpolynom jeder primitiven n displaystyle n nbsp ten Einheitswurzel Somit ist der Restklassenring Q x F n displaystyle mathbb Q x Phi n nbsp sogar ein Korper und zwar der kleinste worin der Einheitskreis der komplexen Ebene derart in n displaystyle n nbsp gleich lange Teile zerlegt werden kann dass samtliche Unterteilungspunkte zu dem Korper gehoren Er wird daher Kreisteilungskorper genannt Verallgemeinerung BearbeitenDer Begriff des Kreisteilungspolynoms kann auf die Einheitswurzeln uber einem beliebigen Korper verallgemeinert werden Auf diese Weise ergeben sich insbesondere alle endlichen Korper als Kreisteilungskorper uber ihrem Primkorper Beispiele BearbeitenIst n eine Primzahl z B n 2 3 5 7 11 13 dann gilt F n x 1 x x 2 x n 1 i 0 n 1 x i displaystyle Phi n x 1 x x 2 cdots x n 1 sum i 0 n 1 x i nbsp Allgemeiner Ist n p m displaystyle n p m nbsp eine Primzahlpotenz z B n 2 3 4 5 7 8 9 11 13 16 dann gilt F n x 1 x p m 1 x 2 p m 1 x p 1 p m 1 i 0 p 1 x i p m 1 displaystyle Phi n x 1 x p m 1 x 2p m 1 cdots x p 1 p m 1 sum i 0 p 1 x ip m 1 nbsp Ist n 2p das Doppelte einer ungeraden Primzahl p z B n 6 10 14 dann gilt F 2 p x 1 x x 2 x p 1 i 0 p 1 x i displaystyle Phi 2p x 1 x x 2 cdots x p 1 sum i 0 p 1 x i nbsp Mit diesen Regeln lassen sich mit Ausnahme von n 12 und n 15 die folgenden Kreisteilungspolynome bestimmen F 1 x x 1 displaystyle Phi 1 x x 1 nbsp F 2 x x 1 displaystyle Phi 2 x x 1 nbsp F 3 x x 2 x 1 displaystyle Phi 3 x x 2 x 1 nbsp F 4 x x 2 1 displaystyle Phi 4 x x 2 1 nbsp F 5 x x 4 x 3 x 2 x 1 displaystyle Phi 5 x x 4 x 3 x 2 x 1 nbsp F 6 x x 2 x 1 displaystyle Phi 6 x x 2 x 1 nbsp F 7 x x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 displaystyle Phi 7 x x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 nbsp F 8 x x 4 1 displaystyle Phi 8 x x 4 1 nbsp F 9 x x 6 x 3 1 displaystyle Phi 9 x x 6 x 3 1 nbsp F 10 x x 4 x 3 x 2 x 1 displaystyle Phi 10 x x 4 x 3 x 2 x 1 nbsp F 11 x x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 displaystyle Phi 11 x x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 nbsp F 12 x x 4 x 2 1 displaystyle Phi 12 x x 4 x 2 1 nbsp F 13 x x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 displaystyle Phi 13 x x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 nbsp F 14 x x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 displaystyle Phi 14 x x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 nbsp F 15 x x 8 x 7 x 5 x 4 x 3 x 1 displaystyle Phi 15 x x 8 x 7 x 5 x 4 x 3 x 1 nbsp F 16 x x 8 1 displaystyle Phi 16 x x 8 1 nbsp Einige weitere Beispiele die sich mit den obigen Regeln berechnen lassen F 25 x x 20 x 15 x 10 x 5 1 displaystyle Phi 25 x x 20 x 15 x 10 x 5 1 nbsp F 49 x x 42 x 35 x 28 x 21 x 14 x 7 1 displaystyle Phi 49 x x 42 x 35 x 28 x 21 x 14 x 7 1 nbsp F 125 x x 100 x 75 x 50 x 25 1 displaystyle Phi 125 x x 100 x 75 x 50 x 25 1 nbsp Weitere Berechnungsmoglichkeiten BearbeitenWie eingangs erwahnt gilt die Produktdarstellung x n 1 d n F d x displaystyle x n 1 prod d mid n Phi d x nbsp Sind nun die Kreisteilungspolynome F d x displaystyle Phi d x nbsp fur d lt n bekannt so lasst sich F n x displaystyle Phi n x nbsp per Polynomdivision berechnen Fur n 21 ergibt sich so beispielsweise x 21 1 F 1 x F 3 x F 7 x F 21 x displaystyle x 21 1 Phi 1 x cdot Phi 3 x cdot Phi 7 x cdot Phi 21 x nbsp also F 21 x x 21 1 x 1 x 2 x 1 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 12 x 11 x 9 x 8 x 6 x 4 x 3 x 1 displaystyle begin aligned Phi 21 x amp frac x 21 1 x 1 cdot x 2 x 1 cdot x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 amp ldots x 12 x 11 x 9 x 8 x 6 x 4 x 3 x 1 end aligned nbsp Ein anderer Ansatz folgt aus der multiplikativen Version der Mobius Inversion welche die Gleichung F n x d n x d 1 m n d displaystyle Phi n x prod d mid n x d 1 mu n d nbsp liefert wobei m displaystyle mu nbsp die Mobiusfunktion bezeichnet Fur n 21 ergibt sich so F 21 x x 1 1 m 21 1 x 3 1 m 21 3 x 7 1 m 21 7 x 21 1 m 21 21 x 1 x 3 1 x 21 1 x 7 1 1 x 2 x 1 x 14 x 7 1 displaystyle begin aligned Phi 21 x amp x 1 1 mu 21 1 cdot x 3 1 mu 21 3 cdot x 7 1 mu 21 7 cdot x 21 1 mu 21 21 amp frac x 1 x 3 1 cdot frac x 21 1 x 7 1 amp frac 1 x 2 x 1 cdot x 14 x 7 1 end aligned nbsp Wie man sieht lasst sich dieser Ausdruck mit weniger Aufwand als im vorigen Beispiel vereinfachen Ausserdem sind keine Kenntnisse uber andere Kreisteilungspolynome notwendig Ein weiterer Ansatz folgt zusammen mit der Fourierdarstellung von Funktionen des grossten gemeinsamen Teilers ebenso aus der Mobius Inversion welche die Gleichung F n x k 1 n x ggT k n 1 cos 2 p k n displaystyle Phi n x prod limits k 1 n x operatorname ggT k n 1 cos frac 2 pi k n nbsp ergibt 1 Das Koeffizientenproblem BearbeitenAuffallig ist dass in allen bisherigen Beispielen als Koeffizienten nur 1 0 und 1 aufgetreten sind Tatsachlich hat A Migotti 1883 zeigen konnen dass dies immer der Fall ist sofern n das Produkt von zwei unterschiedlichen Primzahlen ist 2 Andererseits war spatestens seit 1931 bekannt dass dies nicht immer so ist Issai Schur zeigte in einem Brief an Edmund Landau dass die Koeffizienten in Kreisteilungspolynomen beliebig gross werden konnen 3 Das kleinste n fur das ein Koeffizient ungleich 1 0 oder 1 moglich ist ist n 3 5 7 105 displaystyle n 3 cdot 5 cdot 7 105 nbsp Und tatsachlich tritt hier der Koeffizient 2 auf Mit einer der oben beschriebenen Methoden lasst sich das folgende Kreisteilungspolynom leicht berechnen F 105 x x 48 x 47 x 46 x 43 x 42 2 x 41 x 40 x 39 x 36 x 35 x 34 x 33 x 32 x 31 x 28 x 26 x 24 x 22 x 20 x 17 x 16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 9 x 8 2 x 7 x 6 x 5 x 2 x 1 displaystyle begin aligned Phi 105 x amp quad x 48 x 47 x 46 x 43 x 42 2x 41 x 40 x 39 x 36 x 35 x 34 x 33 x 32 x 31 x 28 x 26 amp x 24 x 22 x 20 x 17 x 16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 9 x 8 2x 7 x 6 x 5 x 2 x 1 end aligned nbsp Das erste Kreisteilungspolynom mit einem Koeffizienten der vom Betrag her grosser als 2 ist tritt fur n 5 7 11 385 displaystyle n 5 cdot 7 cdot 11 385 nbsp auf F 385 x x 240 x 239 x 238 x 237 x 236 x 233 x 232 x 231 x 230 2 x 229 x 134 x 133 2 x 132 2 x 131 2 x 130 2 x 129 2 x 128 x 127 x 126 x 124 2 x 123 2 x 122 3 x 121 3 x 120 3 x 119 2 x 118 2 x 117 x 116 x 114 x 113 2 x 112 2 x 111 2 x 110 2 x 109 2 x 108 x 107 x 106 displaystyle begin aligned Phi 385 x amp quad x 240 x 239 x 238 x 237 x 236 x 233 x 232 x 231 x 230 2x 229 dots amp dots x 134 x 133 2x 132 2x 131 2x 130 2x 129 2x 128 x 127 x 126 x 124 2x 123 2x 122 3x 121 amp 3x 120 3x 119 2x 118 2x 117 x 116 x 114 x 113 2x 112 2x 111 2x 110 2x 109 2x 108 x 107 x 106 dots end aligned nbsp Siehe auch OEIS A013594 4 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Cyclotomic Polynomial In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Wolfgang Schramm Eine alternative Produktdarstellung fur die Kreisteilungspolynome In Elemente der Mathematik 70 Jahrgang Nr 4 Schweizerische Mathematische Gesellschaft 2015 S 137 143 ems ph org abgerufen am 10 Oktober 2015 A Migotti Zur Theorie der Kreisteilungsgleichung Sitzber Math Naturwiss Classe der Kaiser Akad der Wiss Wien 87 1883 7 14 Emma Lehmer On the magnitude of the coefficients of the cyclotomic polynomial Bull Amer Math Soc 42 1936 no 6 389 392 OEIS A013594 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kreisteilungspolynom amp oldid 232859062
