www.wikidata.de-de.nina.az

Möbiusfunktion Die auch Möbiussche μ Funktion genannt ist eine wichtige multiplikative Funktion in der Zahlentheorie und

Möbiusfunktion

Die Möbiusfunktion (auch Möbiussche μ-Funktion genannt) ist eine wichtige multiplikative Funktion in der Zahlentheorie und der Kombinatorik. Sie ist nach dem deutschen Mathematiker August Ferdinand Möbius benannt, der sie erstmals im Jahr 1831 eingeführt hat. Diese Funktion ist ein Spezialfall der allgemeiner definierten Möbiusfunktion einer Halbordnung, wobei sich die hier zugrunde liegende Halbordnung durch Teilbarkeitsrelationen ergibt.

Leonhard Euler betrachtete schon im 18. Jahrhundert Reihen mit der Möbiusfunktion in den Koeffizienten, ohne diese explizit zu definieren.

Definition Bearbeiten

Der Wert ist für alle natürlichen Zahlen definiert und nimmt nur Werte aus der Menge an. Die Funktionswerte hängen von der Primfaktorzerlegung von ab:

wobei voneinander verschiedene Primzahlen bezeichnen soll. ist als leeres Produkt und Zerlegung von zu verstehen.

Die Möbiusfunktion wird nun wie folgt definiert:

  • , falls n quadratfrei ist und falls n ein Produkt einer geraden Anzahl verschiedener Primzahlen ist
  • , falls n quadratfrei ist und falls n ein Produkt einer ungeraden Anzahl verschiedener Primzahlen ist
  • , falls n nicht quadratfrei ist

Der Funktionswert bleibt undefiniert oder wird auf gesetzt.

Anmerkungen Bearbeiten

  • Eine natürliche Zahl wird als quadratfrei bezeichnet, wenn sie keinen Teiler hat, der das Quadrat einer natürlichen Zahl größer als 1 ist. Dies ist gleichbedeutend damit, dass jede Primzahl in der Primfaktorzerlegung höchstens einmal vorkommt, d. h. .
  • Die Länge der Primzahlzerlegung bestimmt das Vorzeichen. Bei einer geraden Anzahl von Primfaktoren ist das Vorzeichen positiv.

Eigenschaften Bearbeiten

wobei die Summe über alle Teiler von läuft. Hieraus folgt auch die Möbiussche Umkehrformel.

Beispiele und Werte Bearbeiten

  • , da eine Primzahl ist.
  • , da .
  • , da nicht quadratfrei ist.

Die ersten 20 Werte der Möbiusfunktion lauten (Folge A008683 in OEIS):

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
μ(n) 1 −1 −1 0 −1 1 −1 0 0 1 −1 0 −1 1 1 0 −1 0 −1 0
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31, 37, … (Folge A030059 in OEIS)
4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, … (Folge A013929 in OEIS)
1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, … (Folge A030229 in OEIS)

Abbildung der ersten 50 Werte der Möbiusfunktion:

Mertens-Funktion Bearbeiten

Die nach Franz Mertens benannte Mertens-Funktion stellt eine Summation über die Möbiusfunktion dar:

Dies entspricht der Differenz der Anzahl an quadratfreien Zahlen mit einer geradzahligen Anzahl von Primfaktoren zur Anzahl solcher mit einer ungeradzahligen Anzahl von Primfaktoren bis zur Zahl . Die Mertens-Funktion oszilliert anscheinend chaotisch.

Nulldurchgänge der Mertens-Funktion finden sich bei:

Vermutungen über das asymptotische Verhalten von Möbius- und Mertensfunktion stehen im Zusammenhang mit der Riemannschen Vermutung, die äquivalent zu folgender Aussage ist: Für alle gilt

unter Verwendung der Landau-Symbole. Die Aussage

ist nach Edmund Landau äquivalent zum Primzahlsatz.

Chowla- und Sarnak-Vermutung Bearbeiten

Die Chowla-Vermutung lässt sich sowohl für die Liouville-Funktion als auch für die Möbiusfunktion formulieren:

für beliebige natürliche Zahlen und , bei denen nicht alle gerade sind (wobei man sich wegen auf beschränken kann). bedeutet asymptotisch verschwindend mit (siehe Landau-Symbole). Falls nur eine der Zahlen ungerade ist, ist dies äquivalent zum Primzahlsatz in arithmetischen Progressionen. Ansonsten ist die Vermutung offen.

Eine weitere Vermutung, die das zufällige Verhalten der Vorzeichen der Möbiusfunktion beschreibt, ist die Vermutung von Peter Sarnak. Sei eine komplexwertige, beschränkte arithmetische Funktion, die deterministisch sei (die topologische Entropie der Folge verschwindet). Dann gilt nach der Sarnak-Vermutung:

Sie ist im Allgemeinen offen, allerdings sind Spezialfälle bekannt. Für eine konstante Folge ist das im Wesentlichen der Primzahlsatz, für periodische Folgen der Primzahlsatz in arithmetischen Progressionen, für quasiperiodische Folgen folgt das aus einem Satz von Harold Davenport und für Horozyklen-Flüsse aus einem Satz von Sarnak, Tamar Ziegler und Jean Bourgain. Die Sarnak-Vermutung folgt nach Sarnak aus der Chowla-Vermutung.

Weitere Anwendungen Bearbeiten

Die Umformulierung des Siebes des Eratosthenes durch Adrien-Marie Legendre mit Hilfe der Möbiusfunktion und einer zugehörigen, nach Legendre benannten Identität, steht am Anfang der modernen Siebtheorie.

Sie spielt eine Rolle in der Fermionen-Version des Toy-Modells zur Interpretation der Riemannschen Zetafunktion beim Primonengas.

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3540764908.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. William Dunham: The Early (and Peculiar) History of the Möbius Function. In: Mathematics Magazine, Band 91 (2018), Nr. 2, S. 83–91.
  2. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 5. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1980, ISBN 978-0-19-853171-5, S. 239, Gl. 16.6.4 (archive.org). PDF.
  3. Terence Tao: The Chowla conjecture and the Sarnak conjecture. 2012 (Blog von Tao).
  4. Zur Definition siehe den zitierten Blog von Tao. Ist mit für einen kompakten metrischen Raum und einen Homöomorphismus von , die zusammen ein dynamisches System definieren, so entspricht das der üblichen topologischen Entropie des dynamischen Systems.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Mobiusfunktion auch Mobiussche m Funktion genannt ist eine wichtige multiplikative Funktion in der Zahlentheorie und der Kombinatorik Sie ist nach dem deutschen Mathematiker August Ferdinand Mobius benannt der sie erstmals im Jahr 1831 eingefuhrt hat Diese Funktion ist ein Spezialfall der allgemeiner definierten Mobiusfunktion einer Halbordnung wobei sich die hier zugrunde liegende Halbordnung durch Teilbarkeitsrelationen ergibt Leonhard Euler betrachtete schon im 18 Jahrhundert Reihen mit der Mobiusfunktion in den Koeffizienten ohne diese explizit zu definieren 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Anmerkungen 2 Eigenschaften 3 Beispiele und Werte 4 Mertens Funktion 5 Chowla und Sarnak Vermutung 6 Weitere Anwendungen 7 Weblinks 8 Literatur 9 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDer Wert m n displaystyle mu n nbsp ist fur alle naturlichen Zahlen n displaystyle n nbsp definiert und nimmt nur Werte aus der Menge 1 0 1 displaystyle 1 0 1 nbsp an Die Funktionswerte hangen von der Primfaktorzerlegung von n displaystyle n nbsp ab n p 1 e 1 p 2 e 2 p k e k mit k 0 displaystyle n p 1 e 1 p 2 e 2 cdots p k e k mbox mit k geq 0 nbsp wobei p 1 p k displaystyle p 1 ldots p k nbsp voneinander verschiedene Primzahlen bezeichnen soll k 0 displaystyle k 0 nbsp ist als leeres Produkt und Zerlegung von n 1 displaystyle n 1 nbsp zu verstehen Die Mobiusfunktion wird nun wie folgt definiert m n 1 displaystyle mu n 1 nbsp falls n quadratfrei ist und falls n ein Produkt einer geraden Anzahl verschiedener Primzahlen ist m n 1 displaystyle mu n 1 nbsp falls n quadratfrei ist und falls n ein Produkt einer ungeraden Anzahl verschiedener Primzahlen ist m n 0 displaystyle mu n 0 nbsp falls n nicht quadratfrei istDer Funktionswert m 0 displaystyle mu 0 nbsp bleibt undefiniert oder wird auf 0 displaystyle 0 nbsp gesetzt Anmerkungen Bearbeiten Eine naturliche Zahl wird als quadratfrei bezeichnet wenn sie keinen Teiler hat der das Quadrat einer naturlichen Zahl grosser als 1 ist Dies ist gleichbedeutend damit dass jede Primzahl in der Primfaktorzerlegung hochstens einmal vorkommt d h e 1 e k 1 displaystyle e 1 cdots e k 1 nbsp Die Lange der Primzahlzerlegung bestimmt das Vorzeichen Bei einer geraden Anzahl von Primfaktoren ist das Vorzeichen positiv Eigenschaften BearbeitenDie Mobiusfunktion ist das zur Eins Funktion inverse Element bezuglich der dirichletschen Faltung Fur alle Primzahlen p displaystyle p nbsp gilt m p 1 displaystyle mu p 1 nbsp m displaystyle mu nbsp ist multiplikativ d h m a b m a m b displaystyle mu a cdot b mu a cdot mu b nbsp fur a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp teilerfremd Fur die summatorische Funktion der Mobiusfunktion gilt fur n 1 displaystyle n geq 1 nbsp d n m d 1 wenn n 1 0 sonst displaystyle sum limits d mid n mu d begin cases 1 amp text wenn n 1 0 amp text sonst end cases nbsp dd wobei die Summe uber alle Teiler von n displaystyle n nbsp lauft Hieraus folgt auch die Mobiussche Umkehrformel Aus der Eigenschaft dass d n displaystyle d mid n nbsp und d s displaystyle d mid s nbsp genau dann wenn der grosste gemeinsamer Teiler von n s displaystyle n s nbsp geteilt wird geschrieben d n s displaystyle d mid n s nbsp folgt d n d s m d 1 wenn n s 1 0 wenn n s gt 1 displaystyle sum limits d mid n d mid s mu d begin cases 1 amp text wenn n s 1 0 amp text wenn n s gt 1 end cases nbsp dd Geometrisch gesehen ist m n displaystyle mu n nbsp die Summe aller primitiven n displaystyle n nbsp ten Einheitswurzeln 2 Beispiele und Werte Bearbeitenm 7 1 displaystyle mu 7 1 nbsp da 7 displaystyle 7 nbsp eine Primzahl ist m 66 1 3 1 displaystyle mu 66 1 3 1 nbsp da 66 2 3 11 displaystyle 66 2 cdot 3 cdot 11 nbsp m 18 0 displaystyle mu 18 0 nbsp da 18 2 3 2 displaystyle 18 2 cdot 3 2 nbsp nicht quadratfrei ist Die ersten 20 Werte der Mobiusfunktion lauten Folge A008683 in OEIS n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20m n 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0m n 1 displaystyle mu n 1 nbsp 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 30 31 37 Folge A030059 in OEIS m n 0 displaystyle mu n 0 nbsp 4 8 9 12 16 18 20 24 25 27 28 32 36 Folge A013929 in OEIS m n 1 displaystyle mu n 1 nbsp 1 6 10 14 15 21 22 26 33 34 35 38 39 Folge A030229 in OEIS Abbildung der ersten 50 Werte der Mobiusfunktion nbsp Mertens Funktion BearbeitenDie nach Franz Mertens benannte Mertens Funktion M displaystyle M nbsp stellt eine Summation uber die Mobiusfunktion dar M n k 1 n m k displaystyle M n sum k 1 n mu k nbsp Dies entspricht der Differenz der Anzahl an quadratfreien Zahlen mit einer geradzahligen Anzahl von Primfaktoren zur Anzahl solcher mit einer ungeradzahligen Anzahl von Primfaktoren bis zur Zahl n displaystyle n nbsp Die Mertens Funktion oszilliert anscheinend chaotisch Nulldurchgange der Mertens Funktion finden sich bei 2 39 40 58 65 93 101 145 149 150 159 160 163 164 166 214 231 232 235 236 238 254 Folge A028442 in OEIS Vermutungen uber das asymptotische Verhalten von Mobius und Mertensfunktion stehen im Zusammenhang mit der Riemannschen Vermutung die aquivalent zu folgender Aussage ist Fur alle e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp gilt M x n x m n O x 1 2 e displaystyle M x left sum n leq x mu n right O left x frac 1 2 varepsilon right nbsp unter Verwendung der Landau Symbole Die Aussage M x n x m n o x displaystyle M x left sum n leq x mu n right o x nbsp ist nach Edmund Landau aquivalent zum Primzahlsatz 3 Chowla und Sarnak Vermutung BearbeitenDie Chowla Vermutung lasst sich sowohl fur die Liouville Funktion als auch fur die Mobiusfunktion formulieren 1 n x m n h 1 a 1 m n h k a k o x displaystyle sum 1 leq n leq x mu n h 1 a 1 dotsb mu n h k a k o x nbsp fur beliebige naturliche Zahlen h i displaystyle h i nbsp und a i 0 displaystyle a i geq 0 nbsp bei denen nicht alle a i displaystyle a i nbsp gerade sind wobei man sich wegen m n a 2 m n a displaystyle mu n a 2 mu n a nbsp auf a i 0 1 2 displaystyle a i 0 1 2 nbsp beschranken kann o x displaystyle o x nbsp bedeutet asymptotisch verschwindend mit x displaystyle x to infty nbsp siehe Landau Symbole Falls nur eine der Zahlen a i displaystyle a i nbsp ungerade ist ist dies aquivalent zum Primzahlsatz in arithmetischen Progressionen Ansonsten ist die Vermutung offen Eine weitere Vermutung die das zufallige Verhalten der Vorzeichen der Mobiusfunktion beschreibt ist die Vermutung von Peter Sarnak Sei f n C displaystyle f n in mathbb C nbsp eine komplexwertige beschrankte arithmetische Funktion die deterministisch sei die topologische Entropie der Folge verschwindet 4 Dann gilt nach der Sarnak Vermutung n x f n m n o x displaystyle sum n leq x f n mu n o x nbsp Sie ist im Allgemeinen offen allerdings sind Spezialfalle bekannt Fur eine konstante Folge ist das im Wesentlichen der Primzahlsatz fur periodische Folgen der Primzahlsatz in arithmetischen Progressionen fur quasiperiodische Folgen folgt das aus einem Satz von Harold Davenport und fur Horozyklen Flusse aus einem Satz von Sarnak Tamar Ziegler und Jean Bourgain Die Sarnak Vermutung folgt nach Sarnak aus der Chowla Vermutung Weitere Anwendungen BearbeitenDie Umformulierung des Siebes des Eratosthenes durch Adrien Marie Legendre mit Hilfe der Mobiusfunktion und einer zugehorigen nach Legendre benannten Identitat steht am Anfang der modernen Siebtheorie Sie spielt eine Rolle in der Fermionen Version des Toy Modells zur Interpretation der Riemannschen Zetafunktion beim Primonengas Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Mobius Function In MathWorld englisch Eric W Weisstein Mertens Function In MathWorld englisch Literatur BearbeitenPeter Bundschuh Einfuhrung in die Zahlentheorie 6 Auflage Springer Berlin 2008 ISBN 978 3540764908 Einzelnachweise Bearbeiten William Dunham The Early and Peculiar History of the Mobius Function In Mathematics Magazine Band 91 2018 Nr 2 S 83 91 G H Hardy E M Wright An Introduction to the Theory of Numbers 5 Auflage Oxford University Press Oxford 1980 ISBN 978 0 19 853171 5 S 239 Gl 16 6 4 archive org PDF Terence Tao The Chowla conjecture and the Sarnak conjecture 2012 Blog von Tao Zur Definition siehe den zitierten Blog von Tao Ist f n f T n x displaystyle f n f T n x nbsp mit x X displaystyle x in X nbsp fur einen kompakten metrischen Raum X displaystyle X nbsp und einen Homoomorphismus T displaystyle T nbsp von X displaystyle X nbsp die zusammen ein dynamisches System definieren so entspricht das der ublichen topologischen Entropie des dynamischen Systems Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Mobiusfunktion amp oldid 231098954