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Liouville Funktion Die benannt nach Joseph Liouville ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion Sie wird mit de

Liouville-Funktion

Die Liouville-Funktion, benannt nach Joseph Liouville, ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion. Sie wird mit dem griechischen Buchstaben bezeichnet und ist wie folgt definiert:

dabei bezeichnet die Ordnung von , also die Anzahl seiner (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren.

Man definiert außerdem und .

Die ersten Werte (beginnend bei ) sind

Eigenschaften Bearbeiten

Es gilt

Die Liouville-Funktion ist verwandt mit der Möbius-Funktion durch

Reihen Bearbeiten

Die Dirichlet-Reihe der Liouville-Funktion lässt sich durch die riemannschen Zeta-Funktion ausdrücken:

Ihre Lambert-Reihe ist gegeben durch

wobei die Jacobische Theta-Funktion bezeichnet.

Summen Bearbeiten

Graph von bis n=10.000
Graph von bis

Es sei

Die Pólya-Vermutung besagt, es sei – wie die Grafiken rechts vermuten lassen – stets

Diese Vermutung wurde mittlerweile widerlegt; das kleinste Gegenbeispiel ist . Es ist bisher allerdings nicht bekannt, ob sein Vorzeichen unendlich oft wechselt.

Eine verwandte Summe ist

Für diese wurde vermutet, sie sei für hinreichend große stets positiv; dies wurde 1958 von dem englischen Mathematiker Colin Brian Haselgrove widerlegt, wobei er zeigte, dass unendlich oft negative Werte annimmt. Ein Beweis der Vermutung hätte die Richtigkeit der Riemannschen Vermutung zur Folge gehabt.

Chowla-Vermutung Bearbeiten

Eine Vermutung von Sarvadaman Chowla besagt, dass für verschiedene natürliche Zahlen gilt:

(das heißt die Summe verschwindet asymptotisch mit , siehe Landau-Symbole). Die Vermutung ist offen für . Fortschritte erzielten 2015 Kaisa Matomäki, Maksym Radziwill und Terence Tao in Bezug auf eine gemittelte Version der Vermutung. Die Vermutung lässt sich auch für die Möbiusfunktion statt der Liouvillefunktion formulieren.

Eine andere Formulierung der Vermutung ist, dass das Muster der Werte von für eine zufällig gewählte natürliche Zahl und beliebige asymptotisch für gleichverteilt ist.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. A008836 Liouville's function lambda(n) = (-1)^k, where k is number of primes dividing n (counted with multiplicity). The OEIS Foundation, abgerufen am 16. Juli 2019 (englisch).
  2. Vgl. Folgen A026424 und A028260.
  3. Kimberly Lloyd: Liouville function. Auf: PlanetMath.org. (englisch)
  4. A. F. Lavrik: Liouville function. In: Online Encyclopedia of Mathematics. (englisch)
  5. Russell Sherman Lehman: On Liouville's Function. (PDF; 824 kB) In: Mathematics of Compution ⟨American Mathematical Society⟩ 14 (1960), Nr. 72, S. 311–320.
  6. Eric W. Weisstein: Polya Conjecture. In: MathWorld (englisch).
  7. Colin Brian Haselgrove: A disproof of a conjecture of Polya. In: Mathematika ⟨London Mathematical Society⟩ 5 (1958), Nr. 2, S. 141–145.
  8. Hisanobu Shinya: On an arithmetical approach to the Riemann hypothesis. In: arxiv:0906.4155 (23. Juni 2009).
  9. Sarvadaman Chowla: The Riemann Hypothesis and Hilbert´s tenth problem, Gordon and Breach 1965
  10. K. Matomäki, M. Radziwill, Terence Tao: An averaged form of Chowla´s conjecture, Algebra & Number Theory, Band 9, 2015, S. 2167–2196, Arxiv
  11. Sign patterns of Liouville and Mobius functions, Blog Terry Tao
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Veröffentlichungsdatum:
Die Liouville Funktion benannt nach Joseph Liouville ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion Sie wird mit dem griechischen Buchstaben l displaystyle lambda bezeichnet und ist wie folgt definiert l n 1 W n displaystyle lambda n 1 Omega n dabei bezeichnet W n displaystyle Omega n die Ordnung von n displaystyle n also die Anzahl seiner nicht notwendigerweise verschiedenen Primfaktoren Man definiert ausserdem l 0 0 displaystyle lambda 0 0 und l 1 1 displaystyle lambda 1 1 Die ersten Werte beginnend bei n 1 displaystyle n 1 sind 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 OEIS A008836 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 1 1 Reihen 2 Summen 3 Chowla Vermutung 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseEigenschaften BearbeitenEs gilt 3 d n l d 1 w e n n n e i n e Q u a d r a t z a h l i s t 0 s o n s t displaystyle sum d n lambda d begin cases 1 qquad mathrm wenn n mathrm eine Quadratzahl ist 0 qquad mathrm sonst end cases nbsp Die Liouville Funktion ist verwandt mit der Mobius Funktion m displaystyle mu nbsp durch 4 l n d 2 n m n d 2 displaystyle lambda n sum d 2 n mu left frac n d 2 right nbsp Reihen Bearbeiten Die Dirichlet Reihe der Liouville Funktion lasst sich durch die riemannschen Zeta Funktion z displaystyle zeta nbsp ausdrucken 5 n 1 l n n s z 2 s z s displaystyle sum n 1 infty frac lambda n n s frac zeta 2s zeta s nbsp Ihre Lambert Reihe ist gegeben durch n 1 l n q n 1 q n n 1 q n 2 1 2 ϑ 3 q 1 displaystyle sum n 1 infty frac lambda n q n 1 q n sum n 1 infty q n 2 frac 1 2 vartheta 3 q 1 nbsp wobei ϑ 3 displaystyle vartheta 3 nbsp die Jacobische Theta Funktion bezeichnet Summen Bearbeiten nbsp Graph von L n displaystyle L n nbsp bis n 10 000 nbsp Graph von L n displaystyle L n nbsp bis 10 7 displaystyle 10 7 nbsp Es sei L n k 1 n l k displaystyle L n sum k 1 n lambda k nbsp Die Polya Vermutung besagt es sei wie die Grafiken rechts vermuten lassen stets 6 L n 0 displaystyle L n leq 0 nbsp Diese Vermutung wurde mittlerweile widerlegt das kleinste Gegenbeispiel ist n 906150257 displaystyle n 906150257 nbsp Es ist bisher allerdings nicht bekannt ob L displaystyle L nbsp sein Vorzeichen unendlich oft wechselt Eine verwandte Summe ist M n k 1 n l k k displaystyle M n sum k 1 n frac lambda k k nbsp Fur diese wurde vermutet sie sei fur hinreichend grosse n displaystyle n nbsp stets positiv dies wurde 1958 von dem englischen Mathematiker Colin Brian Haselgrove widerlegt wobei er zeigte dass M displaystyle M nbsp unendlich oft negative Werte annimmt 7 Ein Beweis der Vermutung hatte die Richtigkeit der Riemannschen Vermutung zur Folge gehabt 8 Chowla Vermutung BearbeitenEine Vermutung von Sarvadaman Chowla 9 besagt dass fur k displaystyle k nbsp verschiedene naturliche Zahlen h 1 h k displaystyle h 1 ldots h k nbsp gilt 1 n x l n h 1 l n h k o x displaystyle sum 1 leq n leq x lambda n h 1 cdot cdot cdot lambda n h k o x nbsp das heisst die Summe verschwindet asymptotisch mit x displaystyle x to infty nbsp siehe Landau Symbole Die Vermutung ist offen fur k 2 displaystyle k geq 2 nbsp Fortschritte erzielten 2015 Kaisa Matomaki Maksym Radziwill und Terence Tao in Bezug auf eine gemittelte Version der Vermutung 10 Die Vermutung lasst sich auch fur die Mobiusfunktion statt der Liouvillefunktion formulieren Eine andere Formulierung der Vermutung ist dass das Muster der Werte von l n l n k displaystyle lambda n cdot cdot cdot lambda n k nbsp fur eine zufallig gewahlte naturliche Zahl n x displaystyle n leq x nbsp und beliebige k N displaystyle k in mathbb N nbsp asymptotisch fur x displaystyle x to infty nbsp gleichverteilt ist 11 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Liouville Function In MathWorld englisch A F Lavrik Liouville function In Online Encyclopedia of Mathematics englisch Kimberly Lloyd Liouville function Auf PlanetMath org englisch Einzelnachweise Bearbeiten A008836 Liouville s function lambda n 1 k where k is number of primes dividing n counted with multiplicity The OEIS Foundation abgerufen am 16 Juli 2019 englisch Vgl Folgen A026424 und A028260 Kimberly Lloyd Liouville function Auf PlanetMath org englisch A F Lavrik Liouville function In Online Encyclopedia of Mathematics englisch Russell Sherman Lehman On Liouville s Function PDF 824 kB In Mathematics of Compution American Mathematical Society 14 1960 Nr 72 S 311 320 Eric W Weisstein Polya Conjecture In MathWorld englisch Colin Brian Haselgrove A disproof of a conjecture of Polya In Mathematika London Mathematical Society 5 1958 Nr 2 S 141 145 Hisanobu Shinya On an arithmetical approach to the Riemann hypothesis In arxiv 0906 4155 23 Juni 2009 Sarvadaman Chowla The Riemann Hypothesis and Hilbert s tenth problem Gordon and Breach 1965 K Matomaki M Radziwill Terence Tao An averaged form of Chowla s conjecture Algebra amp Number Theory Band 9 2015 S 2167 2196 Arxiv Sign patterns of Liouville and Mobius functions Blog Terry Tao Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Liouville Funktion amp oldid 231722523