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Primonengas Das ist ein Beispielmodell das einzelne Konzepte aus der Quantenphysik der Physik der Wärme und der Zahlenth

Primonengas

Das Primonengas ist ein Beispielmodell, das einzelne Konzepte aus der Quantenphysik, der Physik der Wärme und der Zahlentheorie verbindet. Es besteht aus hypothetischen Teilchen, den Primonen, die so heißen, weil ihre Energie von Primzahlen bestimmt wird.

Übersicht Bearbeiten

Die Idee des Primonengases geht zurück auf Bernard Julia.

Primonen sind Bosonen und wechselwirken nicht miteinander, beispielsweise stoßen sie nicht miteinander zusammen.

Quantentheoretische Beschreibung Bearbeiten

Einzelnes Primon Bearbeiten

Die Eigenzustände der einzelnen Teilchen haben Energien, die proportional zu den Logarithmen der Primzahlen sind:

mit

Bei dieser „Nummerierung“ der Eigenzustände mit einer Teilmenge der natürlichen Zahlen werden keine Eigenzustände „weggelassen“; sie ist lediglich eine praktische Namensgebung.

Vielteilchensystem Bearbeiten

Ein Eigenzustand eines Systems aus beliebig vielen Primonen kann, da es sich um Bosonen handelt, so beschrieben werden: im Zustand zur Primzahl befinden sich Teilchen (Fockraum).

Dies ist analog zur Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl , bei der der Primfaktor in der -ten Potenz auftritt. Da jede natürliche Zahl eine eindeutige Primfaktorzerlegung hat (Fundamentalsatz der Arithmetik), entspricht jede natürliche Zahl einem Zustand des Primonengases und umgekehrt. Die Zahl enthält dabei die gesamte Information über die Besetzungszahlen der Einteilchenzustände (sie ist aber nicht die Gesamtzahl der Primonen). Es liegt daher nahe, den Zustand durch diese Zahl zu benennen.

mit

Die Energie des Vielteilchenzustandes ist

Beispiele Bearbeiten

  • Der Zustand enthält keine Primonen und hat die Gesamtenergie 0.
  • Der Zustand enthält acht Teilchen im Zustand 2 (dem niedrigsten Einteilchenzustand) und hat die Energie .
  • Der Zustand enthält drei Teilchen im Zustand 2, zwei Teilchen im Zustand 3 und ein Teilchen im Zustand 5. Die Gesamtenergie ist .

Thermodynamische Beschreibung Bearbeiten

Die kanonische Zustandssumme ist gleich der Riemannschen Zeta-Funktion:

Dabei ist , die Boltzmann-Konstante und die Temperatur in Kelvin. Die Divergenz der Zeta-Funktion bei entspricht der Divergenz der Zustandssumme bei der Hagedorn-Temperatur .

Fermionen Bearbeiten

Man kann alternativ auch fermionische Primonen betrachten.

Dabei kann jeder Einteilchenzustand nur einmal besetzt sein. Auch dies führt zu einer interessanten zahlentheoretischen Aussage: die Zahlen müssen dann nämlich quadratfrei sein.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Bernard L. Julia: Statistical theory of numbers. In: J. M. Luck, P. Moussa, M. Waldschmidt (Hrsg.): Number Theory and Physics. Proceedings of the Winter School, Les Houches, France, March 7-16, 1989' (Springer Proceedings in Physics, Vol. 47) Springer, Berlin 1990, ISBN 0387521291, S. 276–293.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Das Primonengas ist ein Beispielmodell das einzelne Konzepte aus der Quantenphysik der Physik der Warme und der Zahlentheorie verbindet Es besteht aus hypothetischen Teilchen den Primonen die so heissen weil ihre Energie von Primzahlen bestimmt wird Inhaltsverzeichnis 1 Ubersicht 2 Quantentheoretische Beschreibung 2 1 Einzelnes Primon 2 2 Vielteilchensystem 2 3 Beispiele 3 Thermodynamische Beschreibung 4 Fermionen 5 Einzelnachweise 6 WeblinksUbersicht BearbeitenDie Idee des Primonengases geht zuruck auf Bernard Julia 1 Primonen sind Bosonen und wechselwirken nicht miteinander beispielsweise stossen sie nicht miteinander zusammen Quantentheoretische Beschreibung BearbeitenEinzelnes Primon Bearbeiten Die Eigenzustande der einzelnen Teilchen haben Energien die proportional zu den Logarithmen log p displaystyle log p nbsp der Primzahlen sind H p E p p displaystyle H p rangle E p p rangle nbsp mit E p E 0 log p displaystyle E p E 0 log p nbsp Bei dieser Nummerierung der Eigenzustande mit einer Teilmenge der naturlichen Zahlen werden keine Eigenzustande weggelassen sie ist lediglich eine praktische Namensgebung Vielteilchensystem Bearbeiten Ein Eigenzustand eines Systems aus beliebig vielen Primonen kann da es sich um Bosonen handelt so beschrieben werden im Zustand zur Primzahl p displaystyle p nbsp befinden sich k p displaystyle k p nbsp Teilchen Fockraum Dies ist analog zur Primfaktorzerlegung einer naturlichen Zahl n displaystyle n nbsp bei der der Primfaktor p displaystyle p nbsp in der k p displaystyle k p nbsp ten Potenz auftritt Da jede naturliche Zahl eine eindeutige Primfaktorzerlegung hat Fundamentalsatz der Arithmetik entspricht jede naturliche Zahl n displaystyle n nbsp einem Zustand des Primonengases und umgekehrt Die Zahl n displaystyle n nbsp enthalt dabei die gesamte Information uber die Besetzungszahlen der Einteilchenzustande sie ist aber nicht die Gesamtzahl der Primonen Es liegt daher nahe den Zustand durch diese Zahl n displaystyle n nbsp zu benennen n k 2 k 3 k 5 k 7 k 11 k p displaystyle n rangle k 2 k 3 k 5 k 7 k 11 ldots k p ldots rangle nbsp mit n 2 k 2 3 k 3 5 k 5 7 k 7 11 k 11 p k p displaystyle n 2 k 2 cdot 3 k 3 cdot 5 k 5 cdot 7 k 7 cdot 11 k 11 ldots p k p ldots nbsp Die Energie des Vielteilchenzustandes ist E n p k p E p E 0 p k p log p E 0 log n displaystyle E n sum p k p E p E 0 cdot sum p k p log p E 0 log n nbsp Beispiele Bearbeiten Der Zustand 1 displaystyle 1 rangle nbsp enthalt keine Primonen und hat die Gesamtenergie 0 Der Zustand 256 displaystyle 256 rangle nbsp enthalt acht Teilchen im Zustand 2 dem niedrigsten Einteilchenzustand und hat die Energie log 256 E 0 displaystyle log 256 E 0 nbsp Der Zustand 360 displaystyle 360 rangle nbsp enthalt drei Teilchen im Zustand 2 zwei Teilchen im Zustand 3 und ein Teilchen im Zustand 5 Die Gesamtenergie ist log 360 E 0 displaystyle log 360 E 0 nbsp Thermodynamische Beschreibung BearbeitenDie kanonische Zustandssumme Z displaystyle Z nbsp ist gleich der Riemannschen Zeta Funktion Z T n 1 exp E n k B T n 1 exp E 0 log n k B T n 1 1 n s z s displaystyle Z T sum n 1 infty exp left frac E n k mathrm B T right sum n 1 infty exp left frac E 0 log n k mathrm B T right sum n 1 infty frac 1 n s zeta s nbsp Dabei ist s E 0 k B T displaystyle s E 0 k mathrm B T nbsp k B displaystyle k mathrm B nbsp die Boltzmann Konstante und T displaystyle T nbsp die Temperatur in Kelvin Die Divergenz der Zeta Funktion bei s 1 displaystyle s 1 nbsp entspricht der Divergenz der Zustandssumme bei der Hagedorn Temperatur T E 0 k B displaystyle T E 0 k mathrm B nbsp Fermionen BearbeitenMan kann alternativ auch fermionische Primonen betrachten Dabei kann jeder Einteilchenzustand nur einmal besetzt sein Auch dies fuhrt zu einer interessanten zahlentheoretischen Aussage die Zahlen n displaystyle n nbsp mussen dann namlich quadratfrei sein Einzelnachweise Bearbeiten Bernard L Julia Statistical theory of numbers In J M Luck P Moussa M Waldschmidt Hrsg Number Theory and Physics Proceedings of the Winter School Les Houches France March 7 16 1989 Springer Proceedings in Physics Vol 47 Springer Berlin 1990 ISBN 0387521291 S 276 293 Weblinks BearbeitenJohn Baez This Week s Finds in Mathematical Physics Week 199 8 Dezember 2003 engl Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Primonengas amp oldid 208606903