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Boltzmann Konstante Dieser Artikel behandelt die aus der Thermodynamik Davon zu unterscheiden ist die Stefan im Strahlun

Boltzmann-Konstante

Die Boltzmann-Konstante (Formelzeichen oder ) ist ein Umrechnungsfaktor von absoluter Temperatur in Energie.

Physikalische Konstante
Name Boltzmann-Konstante
Formelzeichen oder
Wert
SI 1.380649e-23
Unsicherheit (rel.) (exakt)
Planck-Einheiten 1
Quellen und Anmerkungen
Der Wert dient zur Definition der SI-Einheiten.

Die Bedeutung der Boltzmann-Konstante liegt darin, dass die Größe ein charakteristisches Maß für die verschiedenen Energien ist, die in regelloser Weise zwischen den einzelnen Teilchen oder ganzen Teilsystemen eines makroskopischen physikalischen Systems bei der Temperatur im Zustand des thermischen Gleichgewichts übertragen werden. Diese Größe ist universell, d. h. unabhängig von sämtlichen Eigenschaften der einzelnen Teilchen des Systems oder seiner kleineren oder größeren Teilsysteme; sie wird auch als thermische Energie bezeichnet. Nach der genauen Definition ist die Wahrscheinlichkeit , mit der ein bestimmtes Teilchen oder Teilsystem aufgrund des ständigen Energieaustauschs mit den übrigen Teilen des Systems einen bestimmten Zustand der Energie einnimmt, im thermischen Gleichgewicht bis auf einen Normierungsfaktor gleich dem Boltzmann-Faktor . Dies gilt sowohl in der klassischen Physik als auch in der Quantenphysik.

Im Bereich der klassischen Physik, wo die Energie kontinuierlich variieren kann, gibt (direkt oder mit einem einfachen konstanten Faktor) auch den Durchschnittswert der Energie der einzelnen Teilchen oder Teilsysteme an. Zum Beispiel ist gleich der durchschnittlichen potentiellen Energie der Luftmoleküle, Aerosole und Staubkörnchen in der Atmosphäre, während ihre mittlere kinetische Energie gleich ist. Die Wärmekapazität einer Gasmenge ist daher in der klassischen Physik direkt proportional zur Teilchenzahl und zur Boltzmann-Konstante sowie unabhängig von der Temperatur. In der Quantenphysik, wo es zu einem bestimmten Energiewert gegebenenfalls gar keinen Zustand oder jedenfalls nicht die der klassischen Physik entsprechende Anzahl von Zuständen gibt, kann der zusätzliche Faktor temperaturabhängig sein. Das macht sich vorrangig bei tieferen Temperaturen bemerkbar, wenn die typische thermische Energie im Bereich solcher Energielücken liegt.

Wert Bearbeiten

Die Boltzmann-Konstante hat die Dimension Energie/Temperatur und den Wert

Dieser Wert gilt exakt, weil die Einheit Kelvin der absoluten Temperatur seit 2019 dadurch definiert wird, dass der Boltzmann-Konstante gerade dieser Wert zugewiesen wurde.

Mit Elektronenvolt (eV) als Energieeinheit hat die Boltzmann-Konstante den – ebenfalls exakten – Wert

Aus der Boltzmann-Konstante berechnet sich die universelle Gaskonstante mit Hilfe der Avogadro-Konstante :

Definition und Zusammenhang mit der Entropie Bearbeiten

Ludwig Boltzmann

Die Ideen von Ludwig Boltzmann präzisierend, lautet die von Max Planck gefundene fundamentale Beziehung:

Das heißt, die Entropie eines Makrozustands eines abgeschlossenen Systems im thermischen Gleichgewicht ist proportional zum natürlichen Logarithmus der Anzahl (Ergebnisraum) der entsprechend möglichen Mikrozustände (somit ein Maß für die Menge an benötigter Information zur Beschreibung des Mikrozustands). Das statistische Gewicht ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Makrozustandes.

Diese Gleichung verknüpft – über die Boltzmann-Konstante als Proportionalitätsfaktor – die Mikrozustände des abgeschlossenen Systems mit der makroskopischen Größe der Entropie und bildet die zentrale Grundlage der statistischen Physik. Sie ist in leicht abgewandelter Nomenklatur auf dem Grabstein von Ludwig Boltzmann am Wiener Zentralfriedhof eingraviert.

Die Entropieänderung ist in der klassischen Thermodynamik definiert als

mit der Wärmemenge .

Eine Entropiezunahme entspricht einem Übergang in einen neuen Makrozustand mit einer größeren Zahl möglicher Mikrozustände. Dies ist in einem abgeschlossenen (isolierten) System stets der Fall (Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik).

Gesetz der idealen Gase Bearbeiten

Die Boltzmann-Konstante erlaubt die Berechnung der mittleren thermischen Energie eines einatomigen freien Teilchens aus der Temperatur gemäß

und tritt beispielsweise im Gasgesetz für ideale Gase als eine der möglichen Proportionalitätskonstanten auf:

Bedeutung der Formelzeichen:

Bezogen auf Normalbedingungen (Temperatur und Druck ) und mit der Loschmidt-Konstanten kann die Gasgleichung umformuliert werden zu:

Zusammenhang mit der kinetischen Energie Bearbeiten

Allgemein ergibt sich für die mittlere kinetische Energie eines klassischen punktförmigen Teilchens im thermischen Gleichgewicht mit  Freiheitsgraden, die quadratisch in die Hamiltonfunktion eingehen (Äquipartitionstheorem):

So hat beispielsweise ein punktförmiges Teilchen drei Translationsfreiheitsgrade:

Ein zweiatomiges Molekül hat

  • ohne Symmetrie drei zusätzliche Rotationsfreiheitsgrade, also insgesamt sechs
  • mit einer Symmetrieachse zwei zusätzliche Rotationsfreiheitsgrade für Rotation senkrecht zur Symmetrieachse, also insgesamt fünf. Durch Rotation um die Symmetrieachse kann im Bereich thermischer Energien keine Energie gespeichert werden, da das Trägheitsmoment hier vergleichsweise klein ist und der 1. angeregte Rotationszustand daher sehr hoch liegt.

Dazu kommen bei ausreichend hohen Temperaturen noch Schwingungen der Atome gegeneinander entlang der Bindungen.

Rolle in der statistischen Physik Bearbeiten

Allgemeiner tritt die Boltzmann-Konstante in der thermischen Wahrscheinlichkeitsdichte beliebiger Systeme der statistischen Mechanik im thermischen Gleichgewicht auf. Diese lautet:

mit

Beispiel aus der Festkörperphysik Bearbeiten

In Halbleitern besteht eine Abhängigkeit der Spannung über einen p-n-Übergang von der Temperatur, die mit Hilfe der Temperaturspannung oder beschrieben werden kann:

Dabei ist

Bei Raumtemperatur (T = 293 K) beträgt der Wert der Temperaturspannung ungefähr 25 mV.

Siehe auch Bearbeiten

Anmerkungen Bearbeiten

  1. Dies gilt für absolut ruhende Luft. Die entsprechende Höhe heißt Skalenhöhe. Sie liegt für Moleküle in der Erdatmosphäre bei etwa 8 km. Für Aerosole von z. B. 1010-fach größerer Masse ist die Skalenhöhe um denselben Faktor kleiner, Luftströmungen vermischen die verschiedenen Höhenverteilungen die Teilchen wieder (Aufwirbeln).
  2. Vor 2019 war das Kelvin anders definiert, indem dem Tripelpunkt von reinem Wasser die Temperatur zugewiesen worden war. Bis 2019 war daher eine experimentell zu bestimmende Größe, an deren genauesten Messwert die neue Definition bestmöglich angenähert wurde.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Resolution 1 of the 26th CGPM. On the revision of the International System of Units (SI). Bureau International des Poids et Mesures, 2018, abgerufen am 15. Juni 2022 (englisch).
  2. Gilles Cohen-Tannoudji: Lambda, the Fifth Foundational Constant Considered by Einstein arxiv:1802.08317, 23. Februar 2018, abgerufen am 18. Oktober 2021
  3. „Die fundamentalen physikalischen Konstanten sind [...] und die Boltzmann-Konstante kB.“, Fundamentalkonstanten, Lexikon der Physik, Spektrum
  4. „Dabei muss man sich darüber im Klaren sein, dass die Boltzmann-Konstante [...] keine wirkliche Naturkonstante von der Art etwa der Feinstrukturkonstanten oder der elektrischen Elementarladung ist, sondern lediglich ein Skalenfaktor, dessen Bestimmung im Rahmen des gegenwärtigen [2007] Internationalen Einheitensystems (SI) überhaupt erst deshalb nötig ist, weil dieses das Kelvin als Basiseinheit mit Hilfe des Wassertripelpunktes unabhängig von den anderen Basiseinheiten (insbesondere Meter, Sekunde und Kilogramm) definiert. Implizit wird dadurch nämlich für die thermische Energie kT eine zusätzliche eigene Einheit neben dem Joule (definiert als die Arbeit 1 Newton × 1 Meter), der SI-Einheit der Energie, eingeführt.“, Bernd Fellmuth, Wolfgang Buck, Joachim Fischer, Christof Gaiser, Joachim Seidel: Neudefinition der Basiseinheit Kelvin, PTB-Mitteilungen 117 (2007), Heft 3, S. 287, online
  5. CODATA Recommended Values: Boltzmann constant. National Institute of Standards and Technology NIST, abgerufen am 15. April 2020.
  6. CODATA Recommended Values: Boltzmann constant in eV/K. National Institute of Standards and Technology NIST, abgerufen am 15. April 2020.
  7. ↑ Die oben genannte Formel für die Entropie findet sich zwar in der Form „S = k. log W“ auf Boltzmanns Grabstein, steht aber nirgendwo explizit in seinen Werken. Er hat aber den Zusammenhang zwischen Entropie und der Zahl der Zustände klar erkannt, z. B. in den Sitzungsberichten der Wiener Akademie 1877 oder den Vorlesungen über Gastheorie, Bd. 1, 1895, S. 40, siehe Ingo Müller A history of thermodynamics, Springer, S. 102.
  8. Max Planck: Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum. Vortrag – Faksimile aus den Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2 (1900). In: https://onlinelibrary.wiley.com/. 14. Dezember 1900, S. 237–245, abgerufen am 14. Dezember 2020.
  9. Die Bezeichnung der Entropie als „Maß der ‚Unordnung‘ des Makrozustands“ ist weniger genau.
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Veröffentlichungsdatum:
Dieser Artikel behandelt die Boltzmann Konstante aus der Thermodynamik Davon zu unterscheiden ist die Stefan Boltzmann Konstante im Strahlungsgesetz schwarzer Korper Die Boltzmann Konstante Formelzeichen k displaystyle k oder k B displaystyle k mathrm B ist ein Umrechnungsfaktor von absoluter Temperatur in Energie Physikalische KonstanteName Boltzmann KonstanteFormelzeichen k displaystyle k oder k B displaystyle k mathrm B WertSI 1 380 649e 23 J K displaystyle textstyle frac mathrm J mathrm K Unsicherheit rel exakt Planck Einheiten 1Quellen und AnmerkungenDer Wert dient zur Definition der SI Einheiten 1 Die Bedeutung der Boltzmann Konstante liegt darin dass die Grosse k B T displaystyle k mathrm B T ein charakteristisches Mass fur die verschiedenen Energien ist die in regelloser Weise zwischen den einzelnen Teilchen oder ganzen Teilsystemen eines makroskopischen physikalischen Systems bei der Temperatur T displaystyle T im Zustand des thermischen Gleichgewichts ubertragen werden Diese Grosse E t h e r m k B T displaystyle E mathrm therm k mathrm B T ist universell d h unabhangig von samtlichen Eigenschaften der einzelnen Teilchen des Systems oder seiner kleineren oder grosseren Teilsysteme sie wird auch als thermische Energie bezeichnet Nach der genauen Definition ist die Wahrscheinlichkeit p displaystyle p mit der ein bestimmtes Teilchen oder Teilsystem aufgrund des standigen Energieaustauschs mit den ubrigen Teilen des Systems einen bestimmten Zustand der Energie E displaystyle E einnimmt im thermischen Gleichgewicht bis auf einen Normierungsfaktor gleich dem Boltzmann Faktor e E k B T displaystyle mathrm e E k mathrm B T Dies gilt sowohl in der klassischen Physik als auch in der Quantenphysik 2 3 4 Im Bereich der klassischen Physik wo die Energie kontinuierlich variieren kann gibt k B T displaystyle k mathrm B T direkt oder mit einem einfachen konstanten Faktor auch den Durchschnittswert der Energie der einzelnen Teilchen oder Teilsysteme an Zum Beispiel ist k B T displaystyle k mathrm B T gleich der durchschnittlichen potentiellen Energie der Luftmolekule Aerosole und Staubkornchen in der Atmosphare A 1 wahrend ihre mittlere kinetische Energie gleich 3 2 k B T displaystyle tfrac 3 2 k mathrm B T ist Die Warmekapazitat einer Gasmenge ist daher in der klassischen Physik direkt proportional zur Teilchenzahl und zur Boltzmann Konstante sowie unabhangig von der Temperatur In der Quantenphysik wo es zu einem bestimmten Energiewert E displaystyle E gegebenenfalls gar keinen Zustand oder jedenfalls nicht die der klassischen Physik entsprechende Anzahl von Zustanden gibt kann der zusatzliche Faktor temperaturabhangig sein Das macht sich vorrangig bei tieferen Temperaturen bemerkbar wenn die typische thermische Energie k B T displaystyle k mathrm B T im Bereich solcher Energielucken liegt Inhaltsverzeichnis 1 Wert 2 Definition und Zusammenhang mit der Entropie 3 Gesetz der idealen Gase 4 Zusammenhang mit der kinetischen Energie 5 Rolle in der statistischen Physik 6 Beispiel aus der Festkorperphysik 7 Siehe auch 8 Anmerkungen 9 EinzelnachweiseWert BearbeitenDie Boltzmann Konstante hat die Dimension Energie Temperatur und den Wert 5 k B 1 380 649 10 23 J K displaystyle k mathrm B 1 380 649 cdot 10 23 mathrm J K nbsp Dieser Wert gilt exakt weil die Einheit Kelvin der absoluten Temperatur seit 2019 dadurch definiert wird dass der Boltzmann Konstante gerade dieser Wert zugewiesen wurde A 2 1 Mit Elektronenvolt eV als Energieeinheit hat die Boltzmann Konstante den ebenfalls exakten Wert 6 k B 1 380 649 10 23 1 602 176 634 10 19 e V K 8 617 333 262 10 5 e V K displaystyle k mathrm B frac 1 380 649 cdot 10 23 1 602 176 634 cdot 10 19 frac mathrm eV mathrm K approx 8 617 333 262 cdot 10 5 frac mathrm eV mathrm K nbsp Aus der Boltzmann Konstante berechnet sich die universelle Gaskonstante mit Hilfe der Avogadro Konstante N A displaystyle N mathrm A nbsp R m N A k B displaystyle R mathrm m N mathrm A cdot k mathrm B nbsp Definition und Zusammenhang mit der Entropie Bearbeiten nbsp Ludwig BoltzmannDie Ideen von Ludwig Boltzmann prazisierend 7 lautet die von Max Planck gefundene 8 fundamentale Beziehung S k B ln W displaystyle S k mathrm B ln Omega nbsp Das heisst die Entropie S displaystyle S nbsp eines Makrozustands eines abgeschlossenen Systems im thermischen Gleichgewicht ist proportional zum naturlichen Logarithmus der Anzahl W displaystyle Omega nbsp Ergebnisraum der entsprechend moglichen Mikrozustande somit ein Mass fur die Menge an benotigter Information 9 zur Beschreibung des Mikrozustands Das statistische Gewicht W displaystyle Omega nbsp ist ein Mass fur die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Makrozustandes Diese Gleichung verknupft uber die Boltzmann Konstante als Proportionalitatsfaktor die Mikrozustande des abgeschlossenen Systems mit der makroskopischen Grosse der Entropie und bildet die zentrale Grundlage der statistischen Physik Sie ist in leicht abgewandelter Nomenklatur auf dem Grabstein von Ludwig Boltzmann am Wiener Zentralfriedhof eingraviert 7 Die Entropieanderung ist in der klassischen Thermodynamik definiert als D S d Q T displaystyle Delta S int frac mathrm d Q T nbsp mit der Warmemenge Q displaystyle Q nbsp Eine Entropiezunahme D S gt 0 displaystyle Delta S gt 0 nbsp entspricht einem Ubergang in einen neuen Makrozustand mit einer grosseren Zahl moglicher Mikrozustande Dies ist in einem abgeschlossenen isolierten System stets der Fall Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik Gesetz der idealen Gase BearbeitenDie Boltzmann Konstante erlaubt die Berechnung der mittleren thermischen Energie eines einatomigen freien Teilchens aus der Temperatur gemass E t h e r m 3 2 k B T displaystyle E mathrm therm frac 3 2 k mathrm B T nbsp und tritt beispielsweise im Gasgesetz fur ideale Gase als eine der moglichen Proportionalitatskonstanten auf p V N k B T displaystyle pV N k mathrm B T nbsp Bedeutung der Formelzeichen p displaystyle p nbsp Druck V displaystyle V nbsp Volumen N displaystyle N nbsp Teilchenzahl T displaystyle T nbsp Absolute TemperaturBezogen auf Normalbedingungen Temperatur T 0 displaystyle T 0 nbsp und Druck p 0 displaystyle p 0 nbsp und mit der Loschmidt Konstanten N L N V 0 displaystyle N mathrm L tfrac N V 0 nbsp kann die Gasgleichung umformuliert werden zu N V 1 k B p T N L T 0 p 0 p T N L p p 0 T 0 T displaystyle begin aligned Leftrightarrow frac N V amp frac 1 k mathrm B frac p T amp left N mathrm L frac T 0 p 0 right frac p T amp N mathrm L frac p p 0 frac T 0 T end aligned nbsp Zusammenhang mit der kinetischen Energie BearbeitenAllgemein ergibt sich fur die mittlere kinetische Energie eines klassischen punktformigen Teilchens im thermischen Gleichgewicht mit f displaystyle f nbsp Freiheitsgraden die quadratisch in die Hamiltonfunktion eingehen Aquipartitionstheorem E k i n f 2 k B T displaystyle langle E mathrm kin rangle frac f 2 k mathrm B T nbsp So hat beispielsweise ein punktformiges Teilchen drei Translationsfreiheitsgrade E k i n 3 2 k B T displaystyle langle E mathrm kin rangle frac 3 2 k mathrm B T nbsp Ein zweiatomiges Molekul hat ohne Symmetrie drei zusatzliche Rotationsfreiheitsgrade also insgesamt sechs mit einer Symmetrieachse zwei zusatzliche Rotationsfreiheitsgrade fur Rotation senkrecht zur Symmetrieachse also insgesamt funf Durch Rotation um die Symmetrieachse kann im Bereich thermischer Energien keine Energie gespeichert werden da das Tragheitsmoment hier vergleichsweise klein ist und der 1 angeregte Rotationszustand daher sehr hoch liegt Dazu kommen bei ausreichend hohen Temperaturen noch Schwingungen der Atome gegeneinander entlang der Bindungen Rolle in der statistischen Physik BearbeitenAllgemeiner tritt die Boltzmann Konstante in der thermischen Wahrscheinlichkeitsdichte r t h displaystyle rho mathrm th nbsp beliebiger Systeme der statistischen Mechanik im thermischen Gleichgewicht auf Diese lautet r t h e E k B T Z displaystyle rho mathrm th frac mathrm e frac E k mathrm B T Z nbsp mit dem Boltzmann Faktor e E k B T displaystyle mathrm e frac E k mathrm B T nbsp der kanonischen Zustandssumme Z displaystyle Z nbsp als Normierungskonstante Beispiel aus der Festkorperphysik BearbeitenIn Halbleitern besteht eine Abhangigkeit der Spannung uber einen p n Ubergang von der Temperatur die mit Hilfe der Temperaturspannung ϕ T displaystyle phi T nbsp oder U T displaystyle U T nbsp beschrieben werden kann ϕ T U T k B T e displaystyle phi T U T frac k mathrm B cdot T e nbsp Dabei ist T displaystyle T nbsp die absolute Temperatur in Kelvin e displaystyle e nbsp die Elementarladung Bei Raumtemperatur T 293 K betragt der Wert der Temperaturspannung ungefahr 25 mV Siehe auch BearbeitenKinetische GastheorieAnmerkungen Bearbeiten Dies gilt fur absolut ruhende Luft Die entsprechende Hohe heisst Skalenhohe Sie liegt fur Molekule in der Erdatmosphare bei etwa 8 km Fur Aerosole von z B 1010 fach grosserer Masse ist die Skalenhohe um denselben Faktor kleiner Luftstromungen vermischen die verschiedenen Hohenverteilungen die Teilchen wieder Aufwirbeln Vor 2019 war das Kelvin anders definiert indem dem Tripelpunkt von reinem Wasser die Temperatur T 273 16 K displaystyle T 273 16 mathrm K nbsp zugewiesen worden war Bis 2019 war k B displaystyle k mathrm B nbsp daher eine experimentell zu bestimmende Grosse an deren genauesten Messwert die neue Definition bestmoglich angenahert wurde Einzelnachweise Bearbeiten a b Resolution 1 of the 26th CGPM On the revision of the International System of Units SI Bureau International des Poids et Mesures 2018 abgerufen am 15 Juni 2022 englisch Gilles Cohen Tannoudji Lambda the Fifth Foundational Constant Considered by Einstein arxiv 1802 08317 23 Februar 2018 abgerufen am 18 Oktober 2021 Die fundamentalen physikalischen Konstanten sind und die Boltzmann Konstante kB Fundamentalkonstanten Lexikon der Physik Spektrum Dabei muss man sich daruber im Klaren sein dass die Boltzmann Konstante keine wirkliche Naturkonstante von der Art etwa der Feinstrukturkonstanten oder der elektrischen Elementarladung ist sondern lediglich ein Skalenfaktor dessen Bestimmung im Rahmen des gegenwartigen 2007 Internationalen Einheitensystems SI uberhaupt erst deshalb notig ist weil dieses das Kelvin als Basiseinheit mit Hilfe des Wassertripelpunktes unabhangig von den anderen Basiseinheiten insbesondere Meter Sekunde und Kilogramm definiert Implizit wird dadurch namlich fur die thermische Energie kT eine zusatzliche eigene Einheit neben dem Joule definiert als die Arbeit 1 Newton 1 Meter der SI Einheit der Energie eingefuhrt Bernd Fellmuth Wolfgang Buck Joachim Fischer Christof Gaiser Joachim Seidel Neudefinition der Basiseinheit Kelvin PTB Mitteilungen 117 2007 Heft 3 S 287 online CODATA Recommended Values Boltzmann constant National Institute of Standards and Technology NIST abgerufen am 15 April 2020 CODATA Recommended Values Boltzmann constant in eV K National Institute of Standards and Technology NIST abgerufen am 15 April 2020 a b Die oben genannte Formel fur die Entropie findet sich zwar in der Form S k log W auf Boltzmanns Grabstein steht aber nirgendwo explizit in seinen Werken Er hat aber den Zusammenhang zwischen Entropie und der Zahl der Zustande klar erkannt z B in den Sitzungsberichten der Wiener Akademie 1877 oder den Vorlesungen uber Gastheorie Bd 1 1895 S 40 siehe Ingo Muller A history of thermodynamics Springer S 102 Max Planck Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum Vortrag Faksimile aus den Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2 1900 In https onlinelibrary wiley com 14 Dezember 1900 S 237 245 abgerufen am 14 Dezember 2020 Die Bezeichnung der Entropie als Mass der Unordnung des Makrozustands ist weniger genau Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Boltzmann Konstante amp oldid 237018422