Dieser Artikel behandelt die Hamilton Funktion in der theoretischen Mechanik Siehe Hamilton Funktion Kontrolltheorie fur die Bedeutung in der Theorie der optimalen Steuerung Die Hamilton Funktion H q 1 q 2 p 1 p 2 t displaystyle mathcal H vec q 1 vec q 2 ldots vec p 1 vec p 2 ldots t auch Hamiltonian nach William Rowan Hamilton eines Systems von Teilchen ist wenn keine rheonomen d h zeitabhangigen Zwangsbedingungen vorliegen die Gesamtenergie als Funktion der Orte und Impulse der Teilchen und gegebenenfalls der Zeit Sie ist eine Legendre Transformierte der Lagrange Funktion des Systems Statt durch die Orts und Impulskoordinaten kann der funktionale Zusammenhang auch durch die verallgemeinerten Ortskoordinaten q q 1 q 2 q n displaystyle q q 1 q 2 dotsc q n und verallgemeinerten Impulskoordinaten p p 1 p 2 p n displaystyle p p 1 p 2 dotsc p n ausgedruckt werden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Ableitung 2 2 Erhaltungsgrosse 2 3 Implikationen 3 Beispiele 3 1 Massenpunkt 3 2 Harmonischer Oszillator 3 3 Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld 4 LiteraturDefinition BearbeitenDie Hamilton Funktion ist definiert durch H q p t i 1 n q i p i L q q t mit q q q p t displaystyle mathcal H q p t left sum i 1 n dot q i p i right mathcal L q dot q t text mit dot q dot q q p t nbsp und hangt ab von der Zeit t displaystyle t nbsp den generalisierten Koordinaten q q 1 q 2 q n displaystyle q q 1 q 2 dotsc q n nbsp und den generalisierten Impulsen p p 1 p 2 p n displaystyle p p 1 p 2 dotsc p n nbsp Sie geht hervor aus einer Legendre Transformation der Lagrange Funktion L t q q displaystyle mathcal L t q dot q nbsp bezuglich der generalisierten Geschwindigkeiten die von den generalisierten Koordinaten und ihren Geschwindigkeiten q q 1 q 2 q n displaystyle dot q dot q 1 dot q 2 dotsc dot q n nbsp abhangt H t q p i 1 n q i p i L t q q displaystyle mathcal H t q p left sum i 1 n dot q i p i right mathcal L t q dot q nbsp Dabei sind auf der rechten Seite mit den Geschwindigkeiten q displaystyle dot q nbsp diejenigen Funktionen q t q p displaystyle dot q t q p nbsp gemeint die man erhalt wenn man die Definition der generalisierten Impulse p i L q i displaystyle p i frac partial mathcal L partial dot q i nbsp nach den Geschwindigkeiten auflost Eigenschaften BearbeitenAbleitung Bearbeiten Das totale Differential der Hamilton Funktion lautet d H i 1 n H q i d q i i 1 n H p i d p i H t d t displaystyle mathrm d mathcal H sum i 1 n frac partial mathcal H partial q i mathrm d q i sum i 1 n frac partial mathcal H partial p i mathrm d p i frac partial mathcal H partial t mathrm d t nbsp Aufgrund der Produktregel erhalt man d H i 1 n p i d q i q i d p i L q i d q i L q i d q i L t d t displaystyle mathrm d mathcal H sum i 1 n left p i mathrm d dot q i dot q i mathrm d p i frac partial mathcal L partial q i mathrm d q i frac partial mathcal L partial dot q i mathrm d dot q i right frac partial mathcal L partial t mathrm d t nbsp wobei wegen der Definition des verallgemeinerten Impulses L q i p i displaystyle frac partial mathcal L partial dot q i p i nbsp die ersten und letzten Terme in den Klammern die Summe 0 haben sodass gilt d H i 1 n q i d p i L q i d q i L t d t displaystyle mathrm d mathcal H sum i 1 n left dot q i mathrm d p i frac partial mathcal L partial q i mathrm d q i right frac partial mathcal L partial t mathrm d t nbsp Mit der obigen Schreibweise des totalen Differentials folgen hieraus die partiellen Ableitungen der Hamilton Funktion H p i q i displaystyle frac partial mathcal H partial p i dot q i nbsp H q i L q i p i displaystyle frac partial mathcal H partial q i frac partial mathcal L partial q i dot p i nbsp H t L t displaystyle frac partial mathcal H partial t frac partial mathcal L partial t nbsp Erhaltungsgrosse Bearbeiten Die totale Ableitung der Hamilton Funktion nach der Zeit ist identisch mit der partiellen d H d t i 1 f H p i p i H q i q i H t i 1 f q i p i p i q i H t H t displaystyle begin aligned frac mathrm d mathcal H mathrm d t amp sum i 1 f left frac partial mathcal H partial p i dot p i frac partial mathcal H partial q i dot q i right frac partial mathcal H partial t amp sum i 1 f left dot q i dot p i dot p i dot q i right frac partial mathcal H partial t amp frac partial mathcal H partial t end aligned nbsp Wenn die Hamilton Funktion also nicht explizit von der Zeit t displaystyle t nbsp abhangt ist ihr Wert eine Erhaltungsgrosse H H t d H d t H t 0 H k o n s t displaystyle mathcal H neq mathcal H t Rightarrow frac mathrm d mathcal H mathrm d t frac partial mathcal H partial t 0 Rightarrow mathcal H konst nbsp Implikationen Bearbeiten Die Hamilton Funktion bestimmt die zeitliche Entwicklung der Teilchenorte und impulse durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen q k H p k displaystyle dot q k frac partial mathcal H partial p k nbsp p k H q k displaystyle dot p k frac partial mathcal H partial q k nbsp Ebenso bestimmt der Hamiltonoperator die Zeitentwicklung in der Quantenmechanik Man erhalt ihn in vielen Fallen aus der Hamiltonfunktion durch kanonische Quantisierung indem man den algebraischen Ausdruck fur H t q p displaystyle mathcal H t q p nbsp als Funktion von Operatoren q displaystyle q nbsp und p displaystyle p nbsp liest die den kanonischen Vertauschungsrelationen genugen Beispiele BearbeitenMassenpunkt Bearbeiten Bei einem Teilchen der Masse m displaystyle m nbsp das sich nichtrelativistisch in einem Potential V displaystyle V nbsp bewegt setzt sich die Hamilton Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen H t q p p 2 2 m V q displaystyle mathcal H t vec q vec p frac vec p 2 2 m V vec q nbsp Fur ein relativistisches freies Teilchen mit der Energie Impuls Beziehung E 2 p 2 c 2 m 2 c 4 displaystyle E 2 vec p 2 c 2 m 2 c 4 nbsp gilt fur die Hamilton Funktion H t q p m 2 c 4 p 2 c 2 displaystyle mathcal H t vec q vec p sqrt m 2 c 4 vec p 2 c 2 nbsp Beim freien relativistischen Teilchen mit der Lagrangefunktion L m c 2 1 q 2 c 2 displaystyle mathcal L m c 2 sqrt 1 dot vec q 2 c 2 nbsp hangt der generalisierte Impuls p L q displaystyle p frac partial mathcal L partial dot q nbsp gemass p m q 1 q 2 c 2 displaystyle vec p frac m dot vec q sqrt 1 dot vec q 2 c 2 nbsp von der Geschwindigkeit ab Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion q p c 2 m 2 c 4 p 2 c 2 displaystyle dot vec q frac vec p c 2 sqrt m 2 c 4 vec p 2 c 2 nbsp des Impulses Harmonischer Oszillator Bearbeiten Die Hamilton Funktion eines eindimensionalen harmonischen Oszillators ist gegeben durch H x p x p L x x p 2 2 m m 2 w 0 2 x 2 T V E displaystyle mathcal H x p dot x p mathcal L x dot x frac p 2 2m frac m 2 omega 0 2 x 2 T V E nbsp Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld Bearbeiten In kartesischen Koordinaten q x displaystyle vec q vec x nbsp lautet die Lagrange Funktion eines Teilchens der Ladung q displaystyle q nbsp das sich durch ein elektromagnetisches Feld bewegt L 1 2 m x 2 q x A q ϕ displaystyle mathcal L frac 1 2 m dot vec x 2 q left dot vec x cdot vec A right q phi nbsp Dabei ist ϕ displaystyle phi nbsp das elektrische Potential und A displaystyle vec A nbsp das Vektorpotential des magnetischen Feldes Der kanonische Impuls ist p L x m x q A displaystyle vec p frac partial mathcal L partial dot vec x m dot vec x q vec A nbsp Diese Gleichung kann so umgestellt werden dass die Geschwindigkeit durch den Impuls ausgedruckt wird x 1 m p q A displaystyle dot vec x frac 1 m left vec p q vec A right nbsp Wird der Ausdruck fur x displaystyle dot vec x nbsp und p displaystyle vec p nbsp in die Definition der Hamilton Funktion eingesetzt ergibt sich diese zu H x p L 1 2 m p q A 2 q ϕ displaystyle mathcal H dot vec x cdot vec p mathcal L frac 1 2m left vec p q vec A right 2 q phi nbsp Literatur BearbeitenHerbert Goldstein Charles P Poole Jr John L Safko Klassische Mechanik 3 Auflage Wiley VCH Weinheim 2006 ISBN 3 527 40589 5 Wolfgang Nolting Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik 7 Auflage Springer Heidelberg 2006 ISBN 3 540 30660 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hamilton Funktion amp oldid 232952008
