www.wikidata.de-de.nina.az

Magnetisches Vektorpotential Physikalische GrößeName magnetisches VektorpotentialFormelzeichen A displaystyle vec A Größ

Magnetisches Vektorpotential

Physikalische Größe
Name magnetisches Vektorpotential
Formelzeichen
Größen- und
Einheitensystem 		Einheit Dimension
SI T·m = V·s·m−1 M1 L1 T−2 I−1

Das magnetische Vektorpotential , oft auch nur als Vektorpotential bezeichnet, ist in der klassischen Elektrodynamik ein Vektorfeld dessen Rotation die magnetische Flussdichte ergibt

Historisch wurde es als mathematisches Hilfsmittel entwickelt, um die magnetische Flussdichte leichter zu beschreiben. Es lässt sich u. a. auch dazu verwenden, die zur Beschreibung des elektromagnetischen Felds verwendeten Maxwell-Gleichungen zu entkoppeln und dadurch leichter lösbar zu machen.

Obwohl es zunächst nur als mathematisches Hilfsmittel eingeführt wurde, kommt ihm in der Quantenmechanik physikalische Realität zu, wie das Aharonov-Bohm-Experiment zeigt.

Das magnetische Vektorpotential hat die SI-Einheit .

Definition

Das magnetische Vektorpotential ist ein Vektorfeld, das zusammen mit dem elektrischen Potential durch die Gleichungen

definiert ist. steht für die magnetische Flussdichte, für das elektrische Feld. In der Magnetostatik ist das magnetische Vektorpotential nicht zeitabhängig. Es ist deshalb vollständig durch die erste Gleichung unabhängig vom elektrischen Potential definiert.

Das magnetische Vektorpotential ist eine Anwendung des rein mathematischen Vektorpotentials.

Berechnung

Magnetostatik

In der Magnetostatik erfüllt das Vektorpotential die Poisson-Gleichung (mit der Vakuumpermeabilität ):

Diese Differentialgleichung kann mit einer Faltung (siehe Greensche Funktion) gelöst werden, um das magnetische Vektorpotential zu erhalten:

Diese Beziehung gilt nur, wenn die Stromdichte im Unendlichen verschwindet und dabei mindestens so schnell wie gegen null geht.

Elektrodynamik

In der Elektrodynamik erweitert sich die Poisson-Gleichung zur (inhomogenen) Wellengleichung für das Vektorpotential

wobei der D’Alembert-Operator ist.

Die inhomogenen Lösungen dieser Gleichung sind das retardierte bzw. avancierte Vektorpotential

Eigenschaften

Weil die Divergenz einer Rotation immer Null ist, gilt

Die Definition sorgt so dafür, dass Induktionsgesetz und das Gaußsches Gesetz für Magnetfelder, also zwei der Maxwell-Gleichungen, automatisch erfüllt sind.

Das magnetische Vektorpotential ist als Vektorfeld außerdem nicht konservativ. Andernfalls wäre es durch den Gradienten eines skalaren Feldes darstellbar und es würde gelten:

Skalares Potential und Vektorpotential werden in der Relativitätstheorie und der Quantenelektrodynamik zum Viererpotential

zusammengefasst.

Eichungen

  • Das Vektorpotential ist nur bis auf ein Gradientenfeld bestimmt, weil die Rotation eines Gradientenfeldes immer verschwindet. Für jede skalare Funktion gilt also
  • In der Elektrodynamik, d. h. bei nicht-statischen Verhältnissen, benutzt man dagegen meist die folgende Lorenz-Eichung, die für die Berechnung elektromagnetischer Wellenfelder nützlich ist:

Elektrisches Vektorpotential

Bei der Berechnung von Feldern in ladungs- und leitungsstromfreien Gebieten, z. B. in Hohlleitern begegnet man dem elektrischen Vektorpotential , es hat die Einheit einer Linienladungsdichte .

Aufgrund der Quellenfreiheit der betrachteten Felder gilt

Um einen funktionalen Zusammenhang zwischen und zu erhalten, subtrahiert man die Gleichungen und voneinander und erhält:

Das Wirbelfeld nennt man elektrisches Vektorpotential. Es beschreibt nur zeitlich veränderliche elektrische Felder.

Beziehungen zwischen Vektor- und Skalarpotential

Gemäß dem helmholtzschen Theorem kann (fast) jedes Vektorfeld als Superposition zweier Komponenten und aufgefasst werden, deren erste der Gradient eines Skalarpotentials ist, die zweite dagegen die Rotation eines Vektorpotentials :

Ist ein konservatives Kraftfeld, in dem die Kraft dem Prinzip des kleinsten Zwanges folgend stets der Richtung des maximalen Anstiegs des Potentials entgegengerichtet ist, gilt alternativ die Schreibweise

Literatur

  • Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Springer Verlag, 2002. ISBN 3-540-42018-5.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Physikalische GrosseName magnetisches VektorpotentialFormelzeichen A displaystyle vec A Grossen undEinheitensystem Einheit DimensionSI T m V s m 1 M1 L1 T 2 I 1Das magnetische Vektorpotential A displaystyle vec A oft auch nur als Vektorpotential bezeichnet ist in der klassischen Elektrodynamik ein Vektorfeld dessen Rotation die magnetische Flussdichte B r displaystyle vec B vec r ergibt A r B r displaystyle nabla times vec A vec r vec B vec r Historisch wurde es als mathematisches Hilfsmittel entwickelt um die magnetische Flussdichte leichter zu beschreiben Es lasst sich u a auch dazu verwenden die zur Beschreibung des elektromagnetischen Felds verwendeten Maxwell Gleichungen zu entkoppeln und dadurch leichter losbar zu machen Obwohl es zunachst nur als mathematisches Hilfsmittel eingefuhrt wurde kommt ihm in der Quantenmechanik physikalische Realitat zu wie das Aharonov Bohm Experiment zeigt Das magnetische Vektorpotential hat die SI Einheit A T m V s m displaystyle A mathrm T cdot m mathrm frac V s m Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Berechnung 2 1 Magnetostatik 2 2 Elektrodynamik 3 Eigenschaften 4 Eichungen 5 Elektrisches Vektorpotential 6 Beziehungen zwischen Vektor und Skalarpotential 7 LiteraturDefinition BearbeitenDas magnetische Vektorpotential A r t displaystyle vec A vec r t ist ein Vektorfeld das zusammen mit dem elektrischen Potential F r t displaystyle Phi vec r t durch die Gleichungen B A r t E F r t A r t t displaystyle vec B nabla times vec A vec r t qquad vec E nabla Phi vec r t frac partial vec A vec r t partial t definiert ist B displaystyle vec B steht fur die magnetische Flussdichte E displaystyle vec E fur das elektrische Feld In der Magnetostatik ist das magnetische Vektorpotential A r displaystyle vec A vec r nicht zeitabhangig Es ist deshalb vollstandig durch die erste Gleichung unabhangig vom elektrischen Potential definiert B A r displaystyle vec B nabla times vec A vec r Das magnetische Vektorpotential ist eine Anwendung des rein mathematischen Vektorpotentials Berechnung BearbeitenMagnetostatik Bearbeiten In der Magnetostatik erfullt das Vektorpotential die Poisson Gleichung mit der Vakuumpermeabilitat m 0 displaystyle mu 0 2 A r m 0 j displaystyle nabla 2 vec A vec r mu 0 vec j Diese Differentialgleichung kann mit einer Faltung siehe Greensche Funktion gelost werden um das magnetische Vektorpotential zu erhalten A r m 0 4 p j r r r d 3 r displaystyle vec A vec r frac mu 0 4 pi int frac vec j vec r left vec r vec r right mathrm d 3 r Diese Beziehung gilt nur wenn die Stromdichte j displaystyle vec j im Unendlichen verschwindet und dabei mindestens so schnell wie 1 r displaystyle 1 r gegen null geht Elektrodynamik Bearbeiten In der Elektrodynamik erweitert sich die Poisson Gleichung zur inhomogenen Wellengleichung fur das Vektorpotential A r 1 c 2 t 2 A r 2 A r m 0 j displaystyle Box vec A vec r frac 1 c 2 partial t 2 vec A vec r nabla 2 vec A vec r mu 0 vec j wobei displaystyle Box der D Alembert Operator ist Die inhomogenen Losungen dieser Gleichung sind das retardierte bzw avancierte Vektorpotential A r t m 0 4 p j r t r r d 3 r displaystyle vec A vec r t frac mu 0 4 pi int frac vec j vec r t left vec r vec r right mathrm d 3 r mit t t r r c displaystyle t t mp frac vec r vec r c Eigenschaften BearbeitenWeil die Divergenz einer Rotation immer Null ist gilt B A 0 E ϕ A t t A B t displaystyle begin aligned nabla cdot mathbf B amp nabla cdot left nabla times mathbf A right 0 nabla times mathbf E amp nabla times left nabla phi frac partial mathbf A partial t right frac partial partial t left nabla times mathbf A right frac partial mathbf B partial t end aligned Die Definition sorgt so dafur dass Induktionsgesetz und das Gausssches Gesetz fur Magnetfelder also zwei der Maxwell Gleichungen automatisch erfullt sind Das magnetische Vektorpotential ist als Vektorfeld ausserdem nicht konservativ Andernfalls ware es durch den Gradienten eines skalaren Feldes a displaystyle alpha darstellbar und es wurde gelten B r A r a 0 displaystyle vec B vec r nabla times vec A vec r nabla times nabla alpha equiv 0 Skalares Potential und Vektorpotential werden in der Relativitatstheorie und der Quantenelektrodynamik zum Viererpotential A m F c A displaystyle A mu left Phi c vec A right zusammengefasst Eichungen Bearbeiten Hauptartikel Eichtransformation Das Vektorpotential ist nur bis auf ein Gradientenfeld bestimmt weil die Rotation eines Gradientenfeldes immer verschwindet Fur jede skalare Funktion x r t displaystyle chi vec r t gilt alsoA r t A r t x r t B r t A r t A r t x A r t B r t displaystyle begin aligned vec A vec r t amp vec A vec r t nabla chi vec r t Rightarrow vec B vec r t amp nabla times vec A vec r t nabla times vec A vec r t nabla times nabla chi nabla times vec A vec r t vec B vec r t end aligned dd Verschieden geeichte Vektorpotentiale fuhren also auf dasselbe magnetische Feld Dies wird als Eichinvarianz bezeichnet In der Magnetostatik kann das Vektorpotential uber die Coulomb Eichung quellfrei gemacht werden das bedeutet A r 0 displaystyle nabla cdot vec A vec r 0 dd In der Elektrodynamik d h bei nicht statischen Verhaltnissen benutzt man dagegen meist die folgende Lorenz Eichung die fur die Berechnung elektromagnetischer Wellenfelder nutzlich ist A r t 1 c 2 t F r t 0 displaystyle nabla cdot vec A vec r t frac 1 c 2 partial t Phi vec r t 0 Dabei ist F r t displaystyle Phi vec r t das skalare Potential s u und c displaystyle c die Lichtgeschwindigkeit dd Elektrisches Vektorpotential BearbeitenBei der Berechnung von Feldern in ladungs und leitungsstromfreien Gebieten z B in Hohlleitern begegnet man dem elektrischen Vektorpotential F displaystyle vec F es hat die Einheit einer Linienladungsdichte C m displaystyle frac C m Aufgrund der Quellenfreiheit der betrachteten Felder gilt div D 0 displaystyle operatorname div vec D 0 bzw div E 0 displaystyle operatorname div vec E 0 sowie div rot F 0 displaystyle operatorname div operatorname rot vec F 0 Um einen funktionalen Zusammenhang zwischen D r displaystyle vec D r und F r displaystyle vec F r zu erhalten subtrahiert man die Gleichungen div D 0 displaystyle operatorname div vec D 0 und div rot F 0 displaystyle operatorname div operatorname rot vec F 0 voneinander und erhalt div D rot F 0 displaystyle operatorname div vec D operatorname rot vec F 0 Das Wirbelfeld F displaystyle vec F nennt man elektrisches Vektorpotential Es beschreibt nur zeitlich veranderliche elektrische Felder Beziehungen zwischen Vektor und Skalarpotential BearbeitenGemass dem helmholtzschen Theorem kann fast jedes Vektorfeld K r displaystyle vec K vec r als Superposition zweier Komponenten F r displaystyle vec F vec r und G r displaystyle vec G vec r aufgefasst werden deren erste der Gradient eines Skalarpotentials F r displaystyle Phi vec r ist die zweite dagegen die Rotation eines Vektorpotentials G r displaystyle vec Gamma vec r K r F r G r grad F r rot G r F r G r displaystyle vec K vec r vec F vec r vec G vec r operatorname grad Phi vec r operatorname rot vec Gamma vec r nabla Phi vec r nabla times vec Gamma vec r Ist F r displaystyle vec F vec r ein konservatives Kraftfeld in dem die Kraft F displaystyle vec F dem Prinzip des kleinsten Zwanges folgend stets der Richtung des maximalen Anstiegs des Potentials F displaystyle Phi entgegengerichtet ist gilt alternativ die Schreibweise K r F r G r grad F r rot G r F r G r displaystyle vec K vec r vec F vec r vec G vec r operatorname grad Phi vec r operatorname rot vec Gamma vec r nabla Phi vec r nabla times vec Gamma vec r Literatur BearbeitenAdolf J Schwab Begriffswelt der Feldtheorie Springer Verlag 2002 ISBN 3 540 42018 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Magnetisches Vektorpotential amp oldid 233186629