Der D'Alembert-Operator ist ein Differentialoperator zweiter Ordnung, der auf Funktionen der -dimensionalen Raumzeit wirkt (z. B. ).
Sein Formelzeichen (gesprochen Box) ähnelt dem des Laplace-Operators und es gilt die Beziehung
Der D'Alembert-Operator ist der Differentialoperator der Wellengleichung und der Klein-Gordon-Gleichung und heißt auch Wellenoperator oder Quabla-Operator.
In der Physik wird auch die Konvention verwendet, dass die Zeit-Koordinate in der obig angegebenen Gleichung mit der Geschwindigkeit zusammengefasst wird. Diese Zusammenfassung lässt sich wiederum als Wegstrecke interpretieren. Dabei wäre die Koordinate die Strecke, die von der Welle in der Zeit mit der Geschwindigkeit durchlaufen wird.
Lorentzinvarianz des D'Alembert-Operators Bearbeiten
Die Koeffizienten der zweiten Ableitungen im Wellenoperator sind die Komponenten der (inversen) Raumzeitmetrik
In der ebenso verbreiteten Konvention, das Negative dieser quadratischen Form, , als Raumzeitmetrik zu bezeichnen, steht für das Negative des hier definierten D'Alembert-Operators.
So wie die Raumzeitmetrik ist der D'Alembert-Operator invariant unter Translationen und Lorentztransformationen . Angewendet auf Lorentzverkettete Funktionen ergibt er dasselbe, wie die Lorentzverkettete abgeleitete Funktion
Greensche Funktion Bearbeiten
Eine Greensche Funktion des D'Alembert-Operators erfüllt als dessen Rechtsinverses die Definitionsgleichung
Dabei bezeichnet die Diracsche Delta-Distribution. Da es sich um einen nicht explizit zeit- und ortsabhängigen Operator handelt, hängt nur von den Differenzen sowie ab, weshalb wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit die gestrichenen Koordinaten null setzen können. Für die Fouriertransformierte
ergibt sich dann folgende algebraische Gleichung:
Die Polstellen von liegen genau dort, wo die Dispersionsrelation für elektromagnetische Wellen im Vakuum () erfüllt ist. Die Lösungen der homogenen Wellengleichung fallen also genau mit den Polen der Greenschen Funktion zusammen, was ein für Antwortfunktionen typisches Resonanzverhalten ist.
Um die Rücktransformation durchführen zu können, betrachten wir die analytische Fortsetzung von für komplexe Frequenzen. Mit Hilfe des Residuenkalküls kann man die Pole bei „umschiffen“, wobei verschiedene Pfade verschiedenen Randbedingungen entsprechen. Man unterscheidet:
| Typ | ||
|---|---|---|
| Retardiert | ||
| Avanciert |
Die Greensche Funktion im Frequenzraum ist dabei im Grenzwert zu verstehen, was den verschiedenen Pfaden um die Pole im Integral entspricht.
Der Faktor entspricht dem Ausbreitungsgesetz einer Kugelwelle.
Literatur Bearbeiten
- Torsten Fließbach: Elektrodynamik. Lehrbuch zur theoretischen Physik II. 6. Auflage. Springer Spektrum Akademischer Verlag, Berlin / Heidelberg 2012, ISBN 978-3-8274-3035-9.