Die Klein-Gordon-Gleichung (auch Klein-Fock-Gordon-Gleichung oder Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung) ist die relativistische Feldgleichung, welche die Kinematik freier skalarer Felder bzw. Teilchen (d. h. Spin 0) bestimmt. Es handelt sich dabei um eine homogene partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die relativistisch kovariant ist, d. h. forminvariant unter Lorentz-Transformation.
Geschichte Bearbeiten
Nach Schrödingers Publikation im Jahre 1926 versuchten viele Physiker, darunter Oskar Klein und Walter Gordon, das relativistische Analogon zur Schrödingergleichung zu finden, um Wellenfunktionen zu charakterisieren, die in der Quantenmechanik den Zuständen eines freien Teilchens entsprechen. Unabhängig stießen auch Schrödinger selbst und Wladimir Fock auf die Klein-Gordon-Gleichung, weshalb sie manchmal zusätzlich nach ihnen benannt wird.
Zwar ergibt sich aus der Klein-Gordon-Gleichung die richtige Beziehung zwischen Energie und Impuls, nicht aber der Spin der untersuchten Teilchen. Deswegen stimmen bei geladenen Spin-1/2-Teilchen wie dem Elektron und dem Proton im Wasserstoffatom die aus der Klein-Gordon-Gleichung hergeleiteten Bindungsenergien nicht mit den beobachteten Energien überein; die richtige Bewegungsgleichung für diese Teilchen ist die Dirac-Gleichung. Stattdessen beschreibt die Klein-Gordon-Gleichung als skalare Differentialgleichung spinlose Teilchen korrekt, z. B. Pionen.
Herleitung Bearbeiten
Bei der Herleitung geht man von der Energie-Impuls-Beziehung
zwischen der Energie und dem Impuls eines Teilchens der Masse in der speziellen Relativitätstheorie aus. Die erste Quantisierung deutet diese Relation als Gleichung für Operatoren, die auf Wellenfunktionen wirken. Dabei sind und die Operatoren
Damit ergibt sich die Klein-Gordon-Gleichung
In diesen Einheiten, mit dem D’Alembert-Operator
und mit der abkürzenden Bezeichnung für die Raumzeitkoordinaten lautet die Klein-Gordon-Gleichung:
Da der Wellenoperator und die reduzierte Compton-Wellenlänge sich in der Minkowski-Raumzeit wie skalare Größen transformieren, ist in dieser Darstellung die relativistische Invarianz der skalaren Gleichung offensichtlich. In der relativistischen Quantentheorie verwendet man an Stelle der SI-Einheiten natürliche Einheiten, in denen und den Wert 1 haben. Dadurch ergibt sich die Klein-Gordon-Gleichung zu
Lösung Bearbeiten
Bezeichne den Vierer-Wellenvektor. Dann ist die ebene Welle
eine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung, wenn die Kreisfrequenz gemäß
oder in den Planck-Einheiten
mit dem Wellenvektor zusammenhängt. Ebenso löst die konjugiert-komplexe Welle
die Klein-Gordon-Gleichung, da diese reell ist.
Da die Klein-Gordon-Gleichung linear und homogen ist, sind Summen und komplexe Vielfache von Lösungen ebenso Lösungen. Daher löst
mit beliebigen fouriertransformierbaren Amplituden und die Klein-Gordon-Gleichung. Umgekehrt ist jede fouriertransformierbare Lösung von dieser Form.
In dieser Darstellung der Lösung ist allerdings nicht ersichtlich, dass sie im Punkt nur von ihren Anfangswerten auf und im Inneren des Lichtkegels von abhängt.
In der Quantenfeldtheorie sind und dementsprechend auch und Operatoren. Der Operator vernichtet Teilchenzustände mit Spin , beispielsweise negative Pionen, erzeugt die entgegengesetzt geladenen Antiteilchen, positive Pionen. Der adjungierte Operator vernichtet dann positive Pionen und erzeugt negative Pionen.
Für ein reelles Feld gilt . Es ist invariant unter Phasentransformationen und trägt nicht zum elektromagnetischen Strom bei. Die Teilchen, die das reelle Feld vernichtet und erzeugt, beispielsweise neutralen Pionen, sind ungeladen und stimmen mit ihren Antiteilchen überein.
Lagrangedichte Bearbeiten
Eine Lagrangedichte für ein reelles Feld , die auf die Klein-Gordon-Gleichung führt, lautet
und für ein komplexes Feld
Mit der hier gewählten Normierung der Lagrangedichten ergeben sich in der Quantenfeldtheorie für das komplexe Feld dieselben Propagatoren wie für das reelle.
Kontinuitätsgleichung Bearbeiten
Die Lagrangedichte für das komplexe Feld ist invariant unter der kontinuierlichen Schar von Transformationen
die das Feld mit einer komplexen Phase multiplizieren.
Nach dem Noether-Theorem gehört zu dieser kontinuierlichen Symmetrie ein erhaltener Strom mit Komponenten
Die 0-Komponente ist die Dichte der erhaltenen Ladung:
Diese Dichte ist nicht positiv semidefinit und kann nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte gedeutet werden. Vielmehr wird
als die elektrische Ladung und als die elektromagnetische Viererstromdichte gedeutet, an die das skalare Potential und das Vektorpotential der Elektrodynamik koppeln.
Siehe auch Bearbeiten
- Wellengleichung
- Proca-Gleichung (Spin 1)
Literatur Bearbeiten
- N. N. Bogoliubov, D. V. Shirkov: Introduction to the Theory of Quantized Fields. Wiley-Interscience, New York 1959.
- R. Courant, D. Hilbert: Methoden der mathematischen Physik. Band 2. 2. Auflage. Springer, 1968.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Eckhard Rebhan: Theoretische Physik: Relativistische Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie und Elementarteilchentheorie. Springer, Berlin Heidelberg 2010, ISBN 978-3-8274-2602-4, S. 3, 116.