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Helmholtz Theorem Das auch Helmholtz Zerlegung Stokes Helmholtz Zerlegung 1 oder Fundamentalsatz der Vektoranalysis besa

Helmholtz-Theorem

Das Helmholtz-Theorem, auch Helmholtz-Zerlegung, Stokes-Helmholtz-Zerlegung oder Fundamentalsatz der Vektoranalysis besagt, dass bestimmte differenzierbare Vektorfelder als Summe eines rotationsfreien (wirbelfreien) Gradientenfelds und eines divergenzfreien (quellenfreien) Rotationsfelds geschrieben werden können.

Geschichte Bearbeiten

Die Helmholtz-Zerlegung in drei Dimensionen wurde erstmals 1849 von George Gabriel Stokes für eine Theorie der Beugung beschrieben, Hermann von Helmholtz veröffentlichte 1858 sein Papier über die hydrodynamischen Grundgleichungen, das zu seiner Forschung zu den Helmholtzschen Wirbelsätzen gehört.

Die Zerlegung hat sich zu einem wichtigen Werkzeug für viele Probleme der theoretischen Physik entwickelt, aber auch Anwendungen in der Animation, Computervision sowie Robotik gefunden. Dabei wurde die Helmholtz-Zerlegung auf höher-dimensionale Räume erweitert und als Helmholtz-Hodge-Zerlegung unter Nutzung von Differentialgeometrie und Tensorrechnung auch auf riemannschen Mannigfaltigkeiten angewandt.

Definitionen Bearbeiten

Das Helmholtz-Theorem besagt, dass es möglich ist, ein auf einem Gebiet definiertes, differenzierbares Vektorfeld als Superposition eines rotationsfreien (wirbelfreien) Gradientfelds für ein Skalarpotential und eines divergenzfreien (quellenfreien) Rotationsfelds darzustellen, so dass:

Diese Zerlegung ist allerdings nicht eindeutig.

Eine alternative Definition auf Basis von Räumen lautet: Für ein Gebiet wird der Raum der divergenzfreien Funktionen genannt, wobei und die -Norm bezeichnet. Die Zerlegung

mit wird Helmholtz-Zerlegung genannt, insofern die Zerlegung existiert. In diesem Fall gibt es eine Projektion mit , die sog. Helmholtz-Projektion.

Die Zerlegung existiert auf jeden Fall, falls der Halbraum, ein beschränktes Gebiet mit -Rand oder ein Außenraum mit -Rand ist. Für existiert die Zerlegung für beliebige Gebiete mit -Rand. Hat einen -Rand, gilt , wobei die äußere Normale ist. Für andere Fälle gibt es verschiedene Verfahren, Skalar- und Rotationsfeld zu bestimmen.

Verfahren Bearbeiten

Im drei-dimensionalen Raum Bearbeiten

Im drei-dimensionalen Raum kann ein divergenzfreies Feld als Rotation eines Vektorpotentials dargestellt werden:

Daraus folgt:

und

Es ist also möglich das Vektorfeld durch Superposition (Addition) zweier unterschiedlicher Potentiale und auszudrücken.

Die beiden einander ergänzenden Potentiale lassen sich durch die folgenden Integrale aus dem Feld gewinnen. Es handelt sich hierbei um die Faltung der Divergenz bzw. Rotation des Vektorfelds, wobei als Integralkern die Fundamentallösung der Laplace-Gleichung genutzt wird.

Hierbei ist das die Felder enthaltende Volumen. Bei Feldern, für die unbeschränkt ist, beispielsweise der gesamte drei-dimensionale Raum, so ist die mathematische Voraussetzung für die Verwendung der Faltungsintegrale, dass und für schneller als gegen geht, also . Ansonsten divergieren die obigen Integrale, lassen sich also nicht mehr berechnen. Daher wird die Helmholtz-Zerlegung in Lehrbüchern häufig überhaupt nur für Testfunktionen definiert, die diese Eigenschaft erfüllen. Otto Blumenthal zeigte allerdings bereits 1905, dass mit einem veränderten Integrationskern eine Integration für alle Felder möglich ist, die schneller als eine Potenzfunktion mit abfallen. Hierfür ersetzt man in den Integrationsgleichungen den Kern durch . Mit noch komplexeren Integrationskernen kann sogar für divergierende, allerdings nicht schneller als polynomial ansteigende, Funktionen eine numerische Lösung berechnet werden.

Im n-dimensionalen Raum Bearbeiten

Die Verallgemeinerung auf Dimensionen kann nicht mit einem Vektorpotential erfolgen, da der Rotationsoperator und das Kreuzprodukt nur in drei Dimensionen definiert sind. Das Skalarpotential ist hingegen identisch definiert wie in drei Dimensionen als

wobei als Integrationskern wieder die Fundamentallösung der Laplace-Gleichung im n-dimensionalen Raum eingesetzt wird:

mit dem Volumen des n-dimensionalen Einheitsballs und der Gamma-Funktion.

Für entspricht gerade , wodurch sich derselbe Vorfaktor wie oben ergibt. Das Rotationspotential ist eine antisymmetrische Matrix mit den Elementen:

Oberhalb der Diagonale stehen Einträge, die an der Diagonale gespiegelt erneut auftreten, allerdings mit negativem Vorzeichen. Im drei-dimensionalen Fall entsprechen die Matrixelemente gerade die Komponenten des Vektorpotentials . Ein solches Matrix-Potential lässt sich allerdings nur im dreidimensionalen Fall als Vektor schreiben, weil nur für gilt.

Wie im drei-dimensionalen Fall ist das Gradientenfeld als Gradient des Skalarpotentials definiert. Das Rotationsfeld ist hingegen im allgemeinen Fall definiert als:

also als Zeilen-Divergenz der Matrix. Im drei-dimensionalen Raum ist dies äquivalent zur Rotation des Vektorpotentials.

Genauso wie in drei Dimensionen muss die Divergenz des Vektorfelds sowie der Term für schneller als gegen gehen, oder bei durch Ersetzen des Integrationskerns durch schneller als mit d > 0 abfallen.

Für alle analytischen Vektorfelder, die auch nicht im Unendlichen gegen Null gehen müssen, lassen sich mit Methoden basierend auf der partiellen Integration und der Cauchy-Formel für mehrfache Integration die Rotations- und Skalarpotentiale analytisch berechnen. Für multivariate Polynome, Sinus-, Cosinus- und Exponentialfunktionen gibt es explizite Lösungen.

Helmholtz-Hodge-Zerlegung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten Bearbeiten

Im Rahmen der Hodge-Theorie und der De-Rham-Kohomologie verallgemeinert die Helmholtz-Hodge-Zerlegung das Helmholtz-Theorem von Vektorfeldern zu Differentialformen auf riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Eindeutigkeit und Eichung Bearbeiten

Grundsätzlich ist die Helmholtz-Zerlegung nicht eindeutig bestimmt. Addiert man zum Skalarpotential eine harmonische Funktion , die also erfüllt, so ist

ebenfalls eine Helmholtz-Zerlegung von . Für Vektorfelder , die im unendlichen gegen null abfallen, ist eine plausible Wahl, dass Skalar- und Rotations- bzw. Vektorpotential dies auch tun. Da die einzige harmonische Funktion mit dieser Eigenschaft ist, was sich aus einer Abwandlung des Satzes von Liouville folgern lässt, ist so die Eindeutigkeit des Gradienten- und Rotationsfelds sichergestellt.

Während das ursprüngliche Vektorfeld an jedem Punkt von durch Komponenten zu beschreiben ist, sind im drei-dimensionalen Fall für das skalare und das Vektorpotential zusammen Komponenten nötig. Dadurch entsteht eine Redundanz, weil die Wahl der Potentiale nicht eindeutig ist, die physikalische Beschreibung invariant gegenüber der Wahl einer Eichung. Die Eichtheorie befasst sich damit, wie verschiedene Potentiale mittels Eichtransformationen berechnet werden können, bekannte Beispiele aus der Physik sind die Coulomb-Eichung und die Lorenz-Eichung. Die Redundanz lässt sich auch beseitigen, indem der quellfreie Anteil des Vektorfeldes der toroidal-poloidalen Zerlegung unterworfen wird, wodurch letztlich insgesamt drei Skalarpotentiale zur Beschreibung ausreichen.

Anwendungen Bearbeiten

Elektrodynamik Bearbeiten

Das Helmholtz-Theorem ist besonders in der Elektrodynamik von Interesse, da sich mit seiner Hilfe die Maxwell-Gleichungen im Potentialbild schreiben und einfacher lösen lassen. Mit der Helmholtz-Zerlegung lässt sich beweisen, dass bei gegebener elektrischer Stromdichte und Ladungsdichte das elektrische Feld und die magnetische Flussdichte bestimmen lassen. Sie sind eindeutig, wenn die Dichten im unendlichen verschwinden und man dasselbe für die Potentiale annimmt.

Fluiddynamik Bearbeiten

In der Fluiddynamik, speziell der Lösbarkeitstheorie der Navier-Stokes-Gleichungen, spielt die Helmholtz-Projektion eine wichtige Rolle. Wird die Helmholtz-Projektion auf die linearisierte inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen angewandt, erhält man die Stokes-Gleichung. Diese ist nur noch von der Geschwindigkeit der Teilchen in der Strömung abhängig, jedoch nicht mehr vom statischen Druck, wodurch die Gleichung auf eine Unbekannte reduziert werden konnte. Beide Gleichungen, die Stokes- und die linearisierte Gleichung, sind jedoch äquivalent. Der Operator wird Stokes-Operator genannt.

Theorie dynamischer Systeme Bearbeiten

In der Theorie dynamischer Systeme können mittels der Helmholtz-Zerlegung „Quasipotentiale“ bestimmt werden sowie in manchen Fällen Lyapunov-Funktionen berechnet werden.

Für einige dynamische Systeme wie das auf Edward N. Lorenz (1963) zurückgehende Lorenz-System, ein vereinfachtes Modell für atmosphärische Konvektion, lässt sich die Helmholtz-Zerlegung analytisch berechnen:

Die Helmholtz-Zerlegung von ist, mit dem Skalarpotential gegeben als:

Das quadratische Skalarpotential sorgt für eine Bewegung in Richtung des Koordinatenursprungs, was für den stabilen Fixpunkt für einige Parameterbereich verantwortlich ist. Für andere Parameter sorgt das Rotationsfeld dafür, dass ein seltsamer Attraktor entsteht, wodurch das Modell einen Schmetterlingseffekt zeigt.

Computeranimation und Robotik Bearbeiten

Die Helmholtz-Zerlegung wird auch im Bereich der Computertechnik verwendet. Dazu gehört die Robotik, die Bildrekonstruktion aber auch die Computeranimation, wo die Zerlegung für eine realistische Visualisierung von Fluiden oder Vektorfeldern eingesetzt wird.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Tribikram Kundu: Ultrasonic and Electromagnetic NDE for Structure and Material Characterization. CRC Press, 2012, ISBN 1-4398-3663-9, S. 37 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. George Gabriel Stokes: On the Dynamical Theory of Diffraction. In: Transactions of the Cambridge Philosophical Society 9, 1849, S. 1–62. doi:10.1017/cbo9780511702259.015.
  3. Hermann von Helmholtz: Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 55, 1858, S. 25–55, doi:10.1515/crll.1858.55.25 (Volltext auf sub.uni-goettingen.de und digizeitschriften.de).
  4. ↑ Alp Kustepeli: On the Helmholtz Theorem and Its Generalization for Multi-Layers. In: Electromagnetics 36.3, 2016, S. 135–148, doi:10.1080/02726343.2016.1149755.
  5. ↑ Wolfgang Sprössig: On Helmholtz decompositions and their generalizations – An overview. In: Mathematical Methods in the Applied Sciences 33.4, 2009, S. 374–383, doi:10.1002/mma.1212.
  6. ↑ Harsh Bhatia, Gregory Norgard, Valerio Pascucci, Peer-Timo Bremer: The Helmholtz-Hodge Decomposition – A Survey. In: IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics 19.8, 2013, S. 1386–1404, doi:10.1109/tvcg.2012.316.
  7. ↑ Erhard Glötzl, Oliver Richters: Helmholtz decomposition and potential functions for n-dimensional analytic vector fields. In: Journal of Mathematical Analysis and Applications 525.2, 2023, doi:10.1016/j.jmaa.2023.127138, arxiv:2102.09556v3. Mathematica-Arbeitsblatt unter doi:10.5281/zenodo.7512798.
  8. G. P. Galdi, An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations. Vol. I, Springer Tracts in Natural Philosophy, vol. 38, Springer-Verlag, New York, 1994, ISBN 0-387-94172-X.
  9. Morton E. Gurtin: On Helmholtz’s theorem and the completeness of the Papkovich-Neuber stress functions for infinite domains. In: Archive for Rational Mechanics and Analysis 9.1, 1962, S. 225–233, doi:10.1007/BF00253346.
  10. ↑ Dietmar Petrascheck: The Helmholtz decomposition revisited. In: European Journal of Physics 37.1, 2015, Artikel 015201, doi:10.1088/0143-0807/37/1/015201.
  11. R. Douglas Gregory: Helmholtz's Theorem when the domain is Infinite and when the field has singular points. In: The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics 49.3, 1996, S. 439–450, doi:10.1093/qjmam/49.3.439.
  12. Otto Blumenthal: Über die Zerlegung unendlicher Vektorfelder. In: Mathematische Annalen 61.2, 1905, S. 235–250, doi:10.1007/BF01457564.
  13. ↑ Erhard Glötzl, Oliver Richters: Helmholtz Decomposition and Rotation Potentials in n-dimensional Cartesian Coordinates. 2020, arxiv:2012.13157, doi:10.48550/arXiv.2012.13157.
  14. ↑ Ton Tran-Cong: On Helmholtz’s Decomposition Theorem and Poissons’s Equation with an Infinite Domain. In: Quarterly of Applied Mathematics 51.1, 1993, S. 23–35, JSTOR:43637902.
  15. Augustin-Louis Cauchy: Trente-Cinquième Leçon. In: Résumé des leçons données à l’École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal. Imprimerie Royale, Paris 1823, S. 133–140 (gallica.bnf.fr).
  16. Hersh Bhatia, Valerio Pascucci, Peer-Timo Bremer: The Natural Helmholtz-Hodge Decomposition for Open-Boundary Flow Analysis. In: IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics 20.11, Nov. 2014, S. 1566–1578, Nov. 2014, doi:10.1109/TVCG.2014.2312012.
  17. Frank W. Warner: The Hodge Theorem. In: Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. (= Graduate Texts in Mathematics 94). Springer, New York 1983, doi:10.1007/978-1-4757-1799-0_6.
  18. Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey: Bounded Harmonic Functions. In: Harmonic Function Theory (= Graduate Texts in Mathematics 137). Springer, New York 1992, S. 31–44, doi:10.1007/0-387-21527-1_2.
  19. Alexandre J. Chorin, Jerrold E. Marsden: A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics (= Texts in Applied Mathematics 4). Springer US, New York 1990, doi:10.1007/978-1-4684-0364-0.
  20. Tomoharu Suda: Construction of Lyapunov functions using Helmholtz–Hodge decomposition. In: Discrete & Continuous Dynamical Systems – A 39.5, 2019, S. 2437–2454, doi:10.3934/dcds.2019103.
  21. Tomoharu Suda: Application of Helmholtz–Hodge decomposition to the study of certain vector fields. In: Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 53.37, 2020, S. 375703. doi:10.1088/1751-8121/aba657.
  22. Joseph Xu Zhou, M. D. S. Aliyu, Erik Aurell, Sui Huang: Quasi-potential landscape in complex multi-stable systems. In: Journal of The Royal Society Interface 9.77, 2012, S. 3539–3553, doi:10.1098/rsif.2012.0434.
  23. Edward N. Lorenz: Deterministic Nonperiodic Flow. In: Journal of the Atmospheric Sciences 20.2, 1963, S. 130–141, doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2.
  24. Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe: Strange Attractors: The Locus of Chaos. In: Chaos and Fractals. Springer, New York, S. 655–768. doi:10.1007/978-1-4757-4740-9_13.
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Das Helmholtz Theorem auch Helmholtz Zerlegung Stokes Helmholtz Zerlegung 1 oder Fundamentalsatz der Vektoranalysis besagt dass bestimmte differenzierbare Vektorfelder als Summe eines rotationsfreien wirbelfreien Gradientenfelds und eines divergenzfreien quellenfreien Rotationsfelds geschrieben werden konnen Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Definitionen 3 Verfahren 3 1 Im drei dimensionalen Raum 3 2 Im n dimensionalen Raum 3 3 Helmholtz Hodge Zerlegung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten 4 Eindeutigkeit und Eichung 5 Anwendungen 5 1 Elektrodynamik 5 2 Fluiddynamik 5 3 Theorie dynamischer Systeme 5 4 Computeranimation und Robotik 6 EinzelnachweiseGeschichte BearbeitenDie Helmholtz Zerlegung in drei Dimensionen wurde erstmals 1849 2 von George Gabriel Stokes fur eine Theorie der Beugung beschrieben Hermann von Helmholtz veroffentlichte 1858 3 sein Papier uber die hydrodynamischen Grundgleichungen 4 das zu seiner Forschung zu den Helmholtzschen Wirbelsatzen gehort Die Zerlegung hat sich zu einem wichtigen Werkzeug fur viele Probleme der theoretischen Physik entwickelt 4 5 aber auch Anwendungen in der Animation Computervision sowie Robotik gefunden 6 Dabei wurde die Helmholtz Zerlegung auf hoher dimensionale Raume erweitert und als Helmholtz Hodge Zerlegung unter Nutzung von Differentialgeometrie und Tensorrechnung auch auf riemannschen Mannigfaltigkeiten angewandt 4 5 6 7 Definitionen BearbeitenDas Helmholtz Theorem besagt dass es moglich ist ein auf einem Gebiet W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp definiertes differenzierbares Vektorfeld f x C 1 W R n displaystyle vec f vec x in C 1 Omega mathbb R n nbsp als Superposition eines rotationsfreien wirbelfreien Gradientfelds g x grad F x displaystyle vec g vec x operatorname grad Phi vec x nbsp fur ein Skalarpotential F C 2 W R n displaystyle Phi in C 2 Omega mathbb R n nbsp und eines divergenzfreien quellenfreien Rotationsfelds r x displaystyle vec r vec x nbsp darzustellen so dass g x grad F x div r x 0 f x g x r x displaystyle begin aligned vec g vec x amp operatorname grad Phi vec x operatorname div vec r vec x amp 0 vec f vec x amp vec g vec x vec r vec x end aligned nbsp Diese Zerlegung ist allerdings nicht eindeutig Eine alternative Definition auf Basis von Raumen lautet Fur ein Gebiet W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp wird L s p W u C W div u 0 p displaystyle L sigma p Omega overline vec u in C Omega operatorname div cdot vec u 0 cdot p nbsp der Raum der divergenzfreien Funktionen genannt wobei und p displaystyle cdot p nbsp die p displaystyle p nbsp Norm bezeichnet Die Zerlegung L p W L s p W G p displaystyle L p Omega L sigma p Omega oplus G p nbsp mit G p u grad F F L loc 1 W und grad F L p W displaystyle G p vec u operatorname grad Phi Phi in L text loc 1 Omega text und operatorname grad Phi in L p Omega nbsp wird Helmholtz Zerlegung genannt insofern die Zerlegung existiert In diesem Fall gibt es eine Projektion P displaystyle P nbsp mit P L p W L s p W displaystyle PL p Omega L sigma p Omega nbsp die sog Helmholtz Projektion Die Zerlegung existiert auf jeden Fall falls W displaystyle Omega nbsp der Halbraum ein beschranktes Gebiet mit C 2 displaystyle C 2 nbsp Rand oder ein Aussenraum mit C 2 displaystyle C 2 nbsp Rand ist Fur p 2 displaystyle p 2 nbsp existiert die Zerlegung fur beliebige Gebiete mit C 2 displaystyle C 2 nbsp Rand 8 Hat W displaystyle Omega nbsp einen C 1 displaystyle C 1 nbsp Rand gilt L s p W u L p W div u 0 und u n 0 auf W displaystyle L sigma p Omega u in L p Omega operatorname div vec u 0 text und vec u cdot vec nu 0 text auf partial Omega nbsp wobei n displaystyle vec nu nbsp die aussere Normale ist Fur andere Falle gibt es verschiedene Verfahren Skalar und Rotationsfeld zu bestimmen Verfahren BearbeitenIm drei dimensionalen Raum Bearbeiten Im drei dimensionalen Raum kann ein divergenzfreies Feld als Rotation eines Vektorpotentials A x displaystyle vec A vec x nbsp dargestellt werden r x rot A x displaystyle vec r vec x operatorname rot vec A vec x nbsp Daraus folgt rot g x rot grad F x 0 displaystyle operatorname rot vec g vec x operatorname rot operatorname grad Phi vec x equiv 0 nbsp und div r x div rot A x 0 displaystyle operatorname div vec r vec x operatorname div operatorname rot vec A vec x equiv 0 nbsp Es ist also moglich das Vektorfeld f x displaystyle vec f vec x nbsp durch Superposition Addition zweier unterschiedlicher Potentiale F x displaystyle Phi vec x nbsp und A x displaystyle vec A vec x nbsp auszudrucken f x g x r x grad F x rot A x displaystyle vec f vec x vec g vec x vec r vec x operatorname grad Phi vec x operatorname rot vec A vec x nbsp Die beiden einander erganzenden Potentiale lassen sich durch die folgenden Integrale aus dem Feld f x displaystyle vec f vec x nbsp gewinnen Es handelt sich hierbei um die Faltung der Divergenz bzw Rotation des Vektorfelds wobei als Integralkern die Fundamentallosung der Laplace Gleichung genutzt wird 9 10 F x 1 4 p V div f x x x d 3 x displaystyle Phi vec x frac 1 4 pi int V frac operatorname div vec f vec x vec x vec x mathrm d 3 x nbsp A x 1 4 p V rot f x x x d 3 x displaystyle vec A vec x frac 1 4 pi int V frac operatorname rot vec f vec x vec x vec x mathrm d 3 x nbsp Hierbei ist V displaystyle V nbsp das die Felder enthaltende Volumen Bei Feldern fur die V displaystyle V nbsp unbeschrankt ist beispielsweise der gesamte drei dimensionale Raum so ist die mathematische Voraussetzung fur die Verwendung der Faltungsintegrale dass div f x displaystyle operatorname div vec f vec x nbsp und rot f x displaystyle operatorname rot vec f vec x nbsp fur r displaystyle r to infty nbsp schneller als 1 x displaystyle tfrac 1 vec x nbsp gegen 0 displaystyle 0 nbsp geht also lim x f x x 0 displaystyle lim nolimits vec x to infty vec f vec x vec x 0 nbsp 11 Ansonsten divergieren die obigen Integrale lassen sich also nicht mehr berechnen Daher wird die Helmholtz Zerlegung in Lehrbuchern haufig uberhaupt nur fur Testfunktionen definiert die diese Eigenschaft erfullen 10 Otto Blumenthal zeigte allerdings bereits 1905 dass mit einem veranderten Integrationskern eine Integration fur alle Felder moglich ist die schneller als eine Potenzfunktion x d displaystyle vec x d nbsp mit d gt 0 displaystyle d gt 0 nbsp abfallen Hierfur ersetzt man in den Integrationsgleichungen den Kern K x x displaystyle K x x nbsp durch K x x K x x K 0 x displaystyle K vec x vec x K vec x vec x K 0 vec x nbsp 12 Mit noch komplexeren Integrationskernen kann sogar fur divergierende allerdings nicht schneller als polynomial ansteigende Funktionen eine numerische Losung berechnet werden 13 14 Im n dimensionalen Raum Bearbeiten Die Verallgemeinerung auf n displaystyle n nbsp Dimensionen kann nicht mit einem Vektorpotential erfolgen da der Rotationsoperator und das Kreuzprodukt nur in drei Dimensionen definiert sind Das Skalarpotential ist hingegen identisch definiert wie in drei Dimensionen als G x R n div f x K x x d x R n i f i x i x K x x d x displaystyle G vec x int mathbb R n operatorname div vec f vec x K vec x vec x dx int mathbb R n sum i frac partial f i partial x i vec x K vec x vec x dx nbsp wobei als Integrationskern K x x displaystyle K vec x vec x nbsp wieder die Fundamentallosung der Laplace Gleichung im n dimensionalen Raum eingesetzt wird K x x 1 2 p log x x n 2 1 n 2 n V n x x 2 n sonst displaystyle K vec x vec x begin cases frac 1 2 pi log vec x vec x amp n 2 frac 1 n 2 n V n vec x vec x 2 n amp text sonst end cases nbsp mit V n p n 2 G n 2 1 displaystyle V n pi frac n 2 Gamma big tfrac n 2 1 big nbsp dem Volumen des n dimensionalen Einheitsballs und G x displaystyle Gamma vec x nbsp der Gamma Funktion Fur n 3 displaystyle n 3 nbsp entspricht V n displaystyle V n nbsp gerade 4 p 3 displaystyle frac 4 pi 3 nbsp wodurch sich derselbe Vorfaktor wie oben ergibt Das Rotationspotential ist eine antisymmetrische Matrix mit den Elementen R i j x R n f i x j x f j x i x K x x d x displaystyle R ij vec x int mathbb R n left frac partial f i partial x j vec x frac partial f j partial x i vec x right K vec x vec x dx nbsp Oberhalb der Diagonale stehen n 2 displaystyle textstyle binom n 2 nbsp Eintrage die an der Diagonale gespiegelt erneut auftreten allerdings mit negativem Vorzeichen Im drei dimensionalen Fall entsprechen die Matrixelemente gerade die Komponenten des Vektorpotentials A A 1 A 2 A 3 R 23 R 31 R 12 displaystyle A A 1 A 2 A 3 R 23 R 31 R 12 nbsp Ein solches Matrix Potential lasst sich allerdings nur im dreidimensionalen Fall als Vektor schreiben weil n 2 n displaystyle textstyle binom n 2 n nbsp nur fur n 3 displaystyle n 3 nbsp gilt Wie im drei dimensionalen Fall ist das Gradientenfeld als Gradient des Skalarpotentials G displaystyle G nbsp definiert Das Rotationsfeld ist hingegen im allgemeinen Fall definiert als r x k x k R i k x 1 i n displaystyle vec r vec x left sum nolimits k partial x k R ik vec x 1 leq i leq n right nbsp also als Zeilen Divergenz der Matrix Im drei dimensionalen Raum ist dies aquivalent zur Rotation des Vektorpotentials 7 13 Genauso wie in drei Dimensionen muss die Divergenz des Vektorfelds sowie der Term f i x j f j x i displaystyle tfrac partial f i partial x j tfrac partial f j partial x i nbsp fur x displaystyle vec x to infty nbsp schneller als 1 x 2 displaystyle tfrac 1 vec x 2 nbsp gegen 0 displaystyle 0 nbsp gehen oder bei durch Ersetzen des Integrationskerns K x x displaystyle K vec x vec x nbsp durch K x x K x x K 0 x displaystyle K vec x vec x K vec x vec x K 0 vec x nbsp schneller als x d displaystyle vec x d nbsp mit d gt 0 abfallen 14 Fur alle analytischen Vektorfelder die auch nicht im Unendlichen gegen Null gehen mussen lassen sich mit Methoden basierend auf der partiellen Integration und der Cauchy Formel fur mehrfache Integration 15 die Rotations und Skalarpotentiale analytisch berechnen Fur multivariate Polynome Sinus Cosinus und Exponentialfunktionen gibt es explizite Losungen 7 Helmholtz Hodge Zerlegung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten Bearbeiten Im Rahmen der Hodge Theorie und der De Rham Kohomologie verallgemeinert die Helmholtz Hodge Zerlegung das Helmholtz Theorem von Vektorfeldern zu Differentialformen auf riemannschen Mannigfaltigkeiten 6 16 17 Eindeutigkeit und Eichung BearbeitenGrundsatzlich ist die Helmholtz Zerlegung nicht eindeutig bestimmt Addiert man zum Skalarpotential G x displaystyle G vec x nbsp eine harmonische Funktion H x displaystyle H vec x nbsp die also D H x 0 displaystyle Delta H vec x 0 nbsp erfullt so ist g x grad G x H x g x grad H x r x r x grad H x displaystyle begin aligned vec g vec x amp operatorname grad G vec x H vec x vec g vec x operatorname grad H vec x vec r vec x amp vec r vec x operatorname grad H vec x end aligned nbsp ebenfalls eine Helmholtz Zerlegung von f x displaystyle vec f vec x nbsp Fur Vektorfelder f displaystyle vec f nbsp die im unendlichen gegen null abfallen ist eine plausible Wahl dass Skalar und Rotations bzw Vektorpotential dies auch tun Da H x 0 displaystyle H vec x 0 nbsp die einzige harmonische Funktion mit dieser Eigenschaft ist was sich aus einer Abwandlung des Satzes von Liouville folgern lasst ist so die Eindeutigkeit des Gradienten und Rotationsfelds sichergestellt 18 Wahrend das ursprungliche Vektorfeld an jedem Punkt von W displaystyle Omega nbsp durch n displaystyle n nbsp Komponenten zu beschreiben ist sind im drei dimensionalen Fall fur das skalare und das Vektorpotential zusammen n 1 displaystyle n 1 nbsp Komponenten notig Dadurch entsteht eine Redundanz weil die Wahl der Potentiale nicht eindeutig ist die physikalische Beschreibung invariant gegenuber der Wahl einer Eichung Die Eichtheorie befasst sich damit wie verschiedene Potentiale mittels Eichtransformationen berechnet werden konnen bekannte Beispiele aus der Physik sind die Coulomb Eichung und die Lorenz Eichung Die Redundanz lasst sich auch beseitigen indem der quellfreie Anteil des Vektorfeldes der toroidal poloidalen Zerlegung unterworfen wird wodurch letztlich insgesamt drei Skalarpotentiale zur Beschreibung ausreichen Anwendungen BearbeitenElektrodynamik Bearbeiten Das Helmholtz Theorem ist besonders in der Elektrodynamik von Interesse da sich mit seiner Hilfe die Maxwell Gleichungen im Potentialbild schreiben und einfacher losen lassen Mit der Helmholtz Zerlegung lasst sich beweisen dass bei gegebener elektrischer Stromdichte und Ladungsdichte das elektrische Feld und die magnetische Flussdichte bestimmen lassen Sie sind eindeutig wenn die Dichten im unendlichen verschwinden und man dasselbe fur die Potentiale annimmt 10 Fluiddynamik Bearbeiten In der Fluiddynamik speziell der Losbarkeitstheorie der Navier Stokes Gleichungen spielt die Helmholtz Projektion eine wichtige Rolle Wird die Helmholtz Projektion auf die linearisierte inkompressiblen Navier Stokes Gleichungen angewandt erhalt man die Stokes Gleichung Diese ist nur noch von der Geschwindigkeit der Teilchen in der Stromung abhangig jedoch nicht mehr vom statischen Druck wodurch die Gleichung auf eine Unbekannte reduziert werden konnte Beide Gleichungen die Stokes und die linearisierte Gleichung sind jedoch aquivalent Der Operator P D displaystyle P Delta nbsp wird Stokes Operator genannt 19 Theorie dynamischer Systeme Bearbeiten In der Theorie dynamischer Systeme konnen mittels der Helmholtz Zerlegung Quasipotentiale bestimmt werden sowie in manchen Fallen Lyapunov Funktionen berechnet werden 20 21 22 Fur einige dynamische Systeme wie das auf Edward N Lorenz 1963 23 zuruckgehende Lorenz System ein vereinfachtes Modell fur atmospharische Konvektion lasst sich die Helmholtz Zerlegung analytisch berechnen x f x a x 2 x 1 x 1 b x 3 x 2 x 1 x 2 c x 3 displaystyle dot vec x vec f vec x big a x 2 x 1 x 1 b x 3 x 2 x 1 x 2 cx 3 big nbsp Die Helmholtz Zerlegung von f x displaystyle vec f vec x nbsp ist mit dem Skalarpotential F x a 2 x 1 2 1 2 x 2 2 c 2 x 3 2 displaystyle Phi vec x tfrac a 2 x 1 2 tfrac 1 2 x 2 2 tfrac c 2 x 3 2 nbsp gegeben als g x a x 1 x 2 c x 3 r x a x 2 b x 1 x 1 x 3 x 1 x 2 displaystyle begin aligned vec g vec x amp big ax 1 x 2 cx 3 big vec r vec x amp big ax 2 bx 1 x 1 x 3 x 1 x 2 big end aligned nbsp Das quadratische Skalarpotential sorgt fur eine Bewegung in Richtung des Koordinatenursprungs was fur den stabilen Fixpunkt fur einige Parameterbereich verantwortlich ist Fur andere Parameter sorgt das Rotationsfeld dafur dass ein seltsamer Attraktor entsteht wodurch das Modell einen Schmetterlingseffekt zeigt 7 24 Computeranimation und Robotik Bearbeiten Die Helmholtz Zerlegung wird auch im Bereich der Computertechnik verwendet Dazu gehort die Robotik die Bildrekonstruktion aber auch die Computeranimation wo die Zerlegung fur eine realistische Visualisierung von Fluiden oder Vektorfeldern eingesetzt wird 6 Einzelnachweise Bearbeiten Tribikram Kundu Ultrasonic and Electromagnetic NDE for Structure and Material Characterization CRC Press 2012 ISBN 1 4398 3663 9 S 37 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche George Gabriel Stokes On the Dynamical Theory of Diffraction In Transactions of the Cambridge Philosophical Society 9 1849 S 1 62 doi 10 1017 cbo9780511702259 015 Hermann von Helmholtz Uber Integrale der hydrodynamischen Gleichungen welche den Wirbelbewegungen entsprechen In Journal fur die reine und angewandte Mathematik 55 1858 S 25 55 doi 10 1515 crll 1858 55 25 Volltext auf sub uni goettingen de und digizeitschriften de a b c Alp Kustepeli On the Helmholtz Theorem and Its Generalization for Multi Layers In Electromagnetics 36 3 2016 S 135 148 doi 10 1080 02726343 2016 1149755 a b Wolfgang Sprossig On Helmholtz decompositions and their generalizations An overview In Mathematical Methods in the Applied Sciences 33 4 2009 S 374 383 doi 10 1002 mma 1212 a b c d Harsh Bhatia Gregory Norgard Valerio Pascucci Peer Timo Bremer The Helmholtz Hodge Decomposition A Survey In IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics 19 8 2013 S 1386 1404 doi 10 1109 tvcg 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Hodge Theorem In Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups Graduate Texts in Mathematics 94 Springer New York 1983 doi 10 1007 978 1 4757 1799 0 6 Sheldon Axler Paul Bourdon Wade Ramey Bounded Harmonic Functions In Harmonic Function Theory Graduate Texts in Mathematics 137 Springer New York 1992 S 31 44 doi 10 1007 0 387 21527 1 2 Alexandre J Chorin Jerrold E Marsden A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics Texts in Applied Mathematics 4 Springer US New York 1990 doi 10 1007 978 1 4684 0364 0 Tomoharu Suda Construction of Lyapunov functions using Helmholtz Hodge decomposition In Discrete amp Continuous Dynamical Systems A 39 5 2019 S 2437 2454 doi 10 3934 dcds 2019103 Tomoharu Suda Application of Helmholtz Hodge decomposition to the study of certain vector fields In Journal of Physics A Mathematical and Theoretical 53 37 2020 S 375703 doi 10 1088 1751 8121 aba657 Joseph Xu Zhou M D S Aliyu Erik Aurell Sui Huang Quasi potential landscape in complex multi stable 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