www.wikidata.de-de.nina.az

Toroidale Poloidale Zerlegung Die ist eine Zerlegung eines dreidimensionalen divergenzfreien Vektorfeldes z B des Erdmag

Toroidale-Poloidale Zerlegung

Die Toroidale-Poloidale Zerlegung ist eine Zerlegung eines dreidimensionalen, divergenzfreien Vektorfeldes, z. B. des Erdmagnetfeldes, in zwei Anteile, die jeweils nur von einem eindeutigen Skalarfeld abhängen.

Zerlegung Bearbeiten

In diesem Diagramm wird die poloidale Richtung () in rot angezeigt. Die toroidale Richtung ( oder ) ist blau dargestellt.

Die Zerlegung geht von einem Vektorpotential des dreidimensionalen divergenzfreien Vektorfeldes aus. Divergenzfrei bedeutet, dass ist, bzw. anschaulich, dass das Feld keine Quellen und Senken hat. Ein Beispiel für ein divergenzfreies Feld ist die magnetische Flussdichte. Das Vektorpotential des Vektorfeldes ist so definiert, dass die Rotation des Potentials das Vektorfeld ergibt:

Das Potential lässt sich in eine radiale und eine tangentiale Komponente aufteilen.

Dabei stellt einen für die Geometrie des Problems geeigneten Einheitsvektor dar. Für sphärische Geometrie bietet sich der Einheitsvektor in radialer Richtung an. Durch geeignete Wahl des poloidalen Vektorpotentials lässt es sich aus einem Divergenzfeld ableiten, ohne dass das Magnetfeld geändert wird.

Das Vektorfeld erhält damit die Form

und kann somit durch die beiden skalaren Potentiale und beschrieben werden.

Toroidales Feld Bearbeiten

Das toroidale Feld ergibt sich aus der Rotation des Vektorpotentials :

Durch Ausmultiplizieren der Rotation in Kugelkoordinaten sieht man, dass das Feld keine radialen Anteile hat:

Das Feld ist auf der Kugeloberfläche divergenzfrei. Es gibt keine radiale Feldkomponente. Toroidale Magnetfelder können von poloidalen Strömen angetrieben werden und umgekehrt. Das bedeutet in der Geophysik, dass die von in der Erde und in Ozeanen fließenden Wirbelströmen erzeugten toroidalen Magnetfelder an der Erdoberfläche null sind.

Der Begriff toroidal leitet sich aus der Torusform dieser Felder in rotationssymmetrischen Systemen ab – die Feldlinien verlaufen in Kreisen. Für die Beschreibung allgemeiner toroidaler Felder ist er daher missverständlich.

Poloidales Feld Bearbeiten

Das poloidale Feld entsteht aus der Rotation des Vektorpotentials .

Es hat sowohl radiale als auch tangentiale Komponenten. Der Begriff leitet sich aus der Dipol-Form beim Erdmagnetfeld ab. Da das toroidale Magnetfeld der Erde nur in ihr auftritt, beschreibt das poloidale Feld das Erdmagnetfeld oberhalb der Erdoberfläche vollständig.

Beispiele Bearbeiten

Zentraler Dipol Bearbeiten

Das Feld eines magnetischen Dipols mit Dipolmoment im Koordinatenursprung hat ein magnetisches Vektorpotential

welches sofort als poloidales Feld erkennbar ist. Dabei ist die magnetische Feldkonstante. Das damit verbundene Potential ergibt sich aus der Multipolentwicklung zu

Falls sich Dipole außerhalb des Koordinatenursprungs befinden, so enthält das Feld auch Multipolmomente anderer Ordnungen.

Radialer Dipol Bearbeiten

Wenn der zuvor beschriebene radiale Dipol entlang des magnetischen Moments verschoben wird (d. h. das magnetische Moment liegt in Radialrichtung), so ändert sich das Vektorpotential in

Das zugehörige Potential ist

Tangentialer Dipol Bearbeiten

Das bedeutet, dass aus radialen Dipolmomenten ausschließlich ein poloidales Feld erzeugt werden kann. Für die Erzeugung toroidaler Komponenten müssen tangentiale magnetische Momente beteiligt sein.

Der erste Summand stellt den poloidalen Teil des Feldes dar, der zweite den toroidalen Anteil.

Legt man das magnetische Moment auf die z-Achse und den Dipol selbst auf die x-Achse, so erhält man

Radiale und tangentiale Dipole können als Basis zum Aufbau des Magnetfeldes dienen. D. h. zusammen mit räumlichen Drehungen der Basiselemente lässt sich jede magnetische Konfiguration erstellen. Wenn man also für beide Dipole Potentiale und bestimmt, kann man für jede Konfiguration die Gesamtpotentiale errechnen.

Anwendung Bearbeiten

  • Toroidale Magnetfelder werden in Kernfusionsanlagen für den Einschluss des Fusionsplasmas verwendet, siehe Fusion mittels magnetischen Einschlusses oder Tokamak.
  • In der Geo- oder Heliodynamik und real in Erde und Sonne treten poloidale und toroidale Magnetfelder auf.
  • Bei der numerischen Lösung der MHD-Gleichungen mit sphärischen Begrenzungen bieten sich Spektralverfahren auf Basis poloidaler und toroidaler Funktionen an.
  • Sendemasten senden im Nahfeld toroidale Magnetfelder und poloidale elektrische Felder aus, Ferritantennen (Magnetantennen) hingegen poloidale Magnetfelder und toroidale elektrische Felder.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. D. D. Joseph: Stability of Fluid Motions I, 1. Auflage. Springer, 1976, ISBN 3-642-80993-6.
  2. Jan Dostal: Prädikation ozeanischer Tidensignale in Satellitenbeobachtungen des Erdmagnetfeldes (PDF; 10 MB) S. 21ff ISSN 1610-0956
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Toroidale Poloidale Zerlegung ist eine Zerlegung eines dreidimensionalen divergenzfreien Vektorfeldes z B des Erdmagnetfeldes in zwei Anteile die jeweils nur von einem eindeutigen Skalarfeld abhangen Inhaltsverzeichnis 1 Zerlegung 2 Toroidales Feld 3 Poloidales Feld 4 Beispiele 4 1 Zentraler Dipol 4 2 Radialer Dipol 4 3 Tangentialer Dipol 5 Anwendung 6 Literatur 7 EinzelnachweiseZerlegung Bearbeiten nbsp In diesem Diagramm wird die poloidale Richtung 8 displaystyle theta nbsp in rot angezeigt Die toroidale Richtung z displaystyle zeta nbsp oder ϕ displaystyle phi nbsp ist blau dargestellt Die Zerlegung geht von einem Vektorpotential A displaystyle vec A nbsp des dreidimensionalen divergenzfreien Vektorfeldes F displaystyle vec F nbsp aus Divergenzfrei bedeutet dass div F 0 displaystyle operatorname div vec F 0 nbsp ist bzw anschaulich dass das Feld keine Quellen und Senken hat Ein Beispiel fur ein divergenzfreies Feld ist die magnetische Flussdichte Das Vektorpotential des Vektorfeldes ist so definiert dass die Rotation des Potentials das Vektorfeld ergibt F rot A displaystyle vec F operatorname rot vec A nbsp Das Potential lasst sich in eine radiale A r displaystyle vec A r nbsp und eine tangentiale Komponente A t displaystyle vec A t nbsp aufteilen A A r A t PS e r e r A 2 displaystyle vec A vec A r vec A t Psi vec e r vec e r times vec A 2 nbsp Dabei stellt e r displaystyle vec e r nbsp einen fur die Geometrie des Problems geeigneten Einheitsvektor dar Fur spharische Geometrie bietet sich der Einheitsvektor in radialer Richtung an 1 Durch geeignete Wahl des poloidalen Vektorpotentials A 2 displaystyle vec A 2 nbsp lasst es sich aus einem Divergenzfeld ableiten ohne dass das Magnetfeld geandert wird A 2 x displaystyle vec A 2 nabla chi nbsp Das Vektorfeld F displaystyle vec F nbsp erhalt damit die Form F rot PS e r rot rot x e r displaystyle vec F operatorname rot Psi vec e r operatorname rot operatorname rot chi vec e r nbsp und kann somit durch die beiden skalaren Potentiale PS displaystyle Psi nbsp und x displaystyle chi nbsp beschrieben werden Toroidales Feld BearbeitenDas toroidale Feld T displaystyle T nbsp ergibt sich aus der Rotation des Vektorpotentials A r displaystyle vec A r nbsp T rot A r rot PS e r displaystyle T operatorname rot vec A r operatorname rot Psi vec e r nbsp Durch Ausmultiplizieren der Rotation in Kugelkoordinaten sieht man dass das Feld keine radialen Anteile hat T rot A r 1 sin 8 PS f e 8 PS 8 e f displaystyle T operatorname rot vec A r frac 1 sin theta frac partial Psi partial varphi vec e theta frac partial Psi partial theta vec e varphi nbsp Das Feld ist auf der Kugeloberflache divergenzfrei Es gibt keine radiale Feldkomponente Toroidale Magnetfelder konnen von poloidalen Stromen angetrieben werden und umgekehrt Das bedeutet in der Geophysik dass die von in der Erde und in Ozeanen fliessenden Wirbelstromen erzeugten toroidalen Magnetfelder an der Erdoberflache null sind 2 Der Begriff toroidal leitet sich aus der Torusform dieser Felder in rotationssymmetrischen Systemen ab die Feldlinien verlaufen in Kreisen Fur die Beschreibung allgemeiner toroidaler Felder ist er daher missverstandlich Poloidales Feld BearbeitenDas poloidale Feld P displaystyle P nbsp entsteht aus der Rotation des Vektorpotentials A t displaystyle vec A t nbsp P rot A t rot e r x displaystyle P operatorname rot vec A t operatorname rot vec e r times nabla chi nbsp Es hat sowohl radiale als auch tangentiale Komponenten Der Begriff leitet sich aus der Dipol Form beim Erdmagnetfeld ab Da das toroidale Magnetfeld der Erde nur in ihr auftritt beschreibt das poloidale Feld das Erdmagnetfeld oberhalb der Erdoberflache vollstandig Beispiele BearbeitenZentraler Dipol Bearbeiten Das Feld eines magnetischen Dipols mit Dipolmoment m displaystyle vec m nbsp im Koordinatenursprung hat ein magnetisches Vektorpotential A r m 0 4 p m r r 3 displaystyle vec A vec r frac mu 0 4 pi frac vec m times vec r r 3 nbsp welches sofort als poloidales Feld erkennbar ist Dabei ist m 0 displaystyle mu 0 nbsp die magnetische Feldkonstante Das damit verbundene Potential x displaystyle chi nbsp ergibt sich aus der Multipolentwicklung zu x r m 0 4 p m r r 3 displaystyle chi vec r frac mu 0 4 pi frac vec m cdot vec r r 3 nbsp Falls sich Dipole ausserhalb des Koordinatenursprungs befinden so enthalt das Feld auch Multipolmomente anderer Ordnungen Radialer Dipol Bearbeiten Wenn der zuvor beschriebene radiale Dipol entlang des magnetischen Moments verschoben wird d h das magnetische Moment liegt in Radialrichtung so andert sich das Vektorpotential in A t r m 0 4 p m r c m r c m 3 m 0 4 p m r r c m 3 displaystyle vec A t vec r frac mu 0 4 pi frac vec m times left vec r vec c m right left vec r vec c m right 3 frac mu 0 4 pi frac vec m times vec r left vec r vec c m right 3 nbsp Das zugehorige Potential x displaystyle chi nbsp ist x r m 0 4 p m r c m r c m 3 displaystyle chi vec r frac mu 0 4 pi frac vec m left vec r vec c m right left vec r vec c m right 3 nbsp Tangentialer Dipol Bearbeiten Das bedeutet dass aus radialen Dipolmomenten ausschliesslich ein poloidales Feld erzeugt werden kann Fur die Erzeugung toroidaler Komponenten mussen tangentiale magnetische Momente beteiligt sein A r m 0 4 p m r c m r c m 3 m 0 4 p m r m c m m c m e r e r r c m 3 m 0 4 p m c m e r e r r c m 3 displaystyle vec A vec r frac mu 0 4 pi frac vec m times left vec r vec c perp m right left vec r vec c perp m right 3 frac mu 0 4 pi frac vec m times vec r left vec m times vec c perp m left left vec m times vec c perp m right vec e r right vec e r right left vec r vec c perp m right 3 frac mu 0 4 pi frac left left vec m times vec c perp m right vec e r right vec e r left vec r vec c perp m right 3 nbsp Der erste Summand stellt den poloidalen Teil des Feldes dar der zweite den toroidalen Anteil A t r m 0 4 p m c m e r e r r c m 3 displaystyle vec A t vec r frac mu 0 4 pi frac left left vec m times vec c perp m right vec e r right vec e r left vec r vec c perp m right 3 nbsp Legt man das magnetische Moment auf die z Achse und den Dipol selbst auf die x Achse so erhalt man B t rot A r rot PS e r m 0 m c m 4 p rot y r 2 r c m 3 r displaystyle vec B t operatorname rot vec A r operatorname rot left Psi vec e r right frac mu 0 m c perp m 4 pi operatorname rot left frac y r 2 left vec r vec c perp m right 3 vec r right nbsp Radiale und tangentiale Dipole konnen als Basis zum Aufbau des Magnetfeldes dienen D h zusammen mit raumlichen Drehungen der Basiselemente lasst sich jede magnetische Konfiguration erstellen Wenn man also fur beide Dipole Potentiale ps displaystyle psi nbsp und x displaystyle chi nbsp bestimmt kann man fur jede Konfiguration die Gesamtpotentiale errechnen Anwendung BearbeitenToroidale Magnetfelder werden in Kernfusionsanlagen fur den Einschluss des Fusionsplasmas verwendet siehe Fusion mittels magnetischen Einschlusses oder Tokamak In der Geo oder Heliodynamik und real in Erde und Sonne treten poloidale und toroidale Magnetfelder auf Bei der numerischen Losung der MHD Gleichungen mit spharischen Begrenzungen bieten sich Spektralverfahren auf Basis poloidaler und toroidaler Funktionen an Sendemasten senden im Nahfeld toroidale Magnetfelder und poloidale elektrische Felder aus Ferritantennen Magnetantennen hingegen poloidale Magnetfelder und toroidale elektrische Felder Literatur BearbeitenEric W Weisstein Toroidal Field In MathWorld englisch Eric W Weisstein Poloidal Field In MathWorld englisch Eric W Weisstein Divergenceless Field In MathWorld englisch toroidal field englisch Ubungsblatt der LMU Munchen PDF 847 kB Einzelnachweise Bearbeiten D D Joseph Stability of Fluid Motions I 1 Auflage Springer 1976 ISBN 3 642 80993 6 Jan Dostal Pradikation ozeanischer Tidensignale in Satellitenbeobachtungen des Erdmagnetfeldes PDF 10 MB S 21ff ISSN 1610 0956 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Toroidale Poloidale Zerlegung amp oldid 225256689