www.wikidata.de-de.nina.az
Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Weitere Bedeutungen sind unter Tangente Begriffsklarung aufgefuhrt Eine Tangente von lateinisch tangere beruhren ist in der Geometrie eine Gerade die eine gegebene Kurve in einem bestimmten Punkt beruhrt Beispielsweise ist die Schiene fur das Rad eine Tangente da der Auflagepunkt des Rades ein Beruhrungspunkt der beiden geometrischen Objekte Gerade und Kreis ist Tangente und Kurve haben im Beruhrungspunkt die gleiche Richtung Die Tangente ist in diesem Punkt die beste lineare Naherungsfunktion fur die Kurve Kreis mit Tangente Sekante und PassanteBesonders einfach sind die Verhaltnisse beim Kreis Alle Geraden konnen bezuglich eines Kreises unterschieden werden in Sekanten Tangenten und Passanten je nachdem ob sie mit dem Kreis zwei Punkte einen oder gar keinen Punkt gemeinsam haben Die Kreistangente trifft den Kreis also in genau einem Punkt Sie steht dort senkrecht auf dem zu diesem Punkt gehorenden Beruhrungsradius Auch im allgemeinen Fall steht die Tangente senkrecht auf dem zum Beruhrungspunkt gehorenden Radius des Krummungskreises sofern dieser existiert Sie kann aber mit der Ausgangskurve noch weitere Punkte gemeinsam haben Ist ein weiterer Punkt der Ausgangskurve oder einer anderen Kurve ebenfalls Beruhrpunkt so spricht man von einer Bitangente Inhaltsverzeichnis 1 Tangente in der Analysis 2 Differentialgeometrie 3 Synthetische und endliche Geometrie 4 Tangente an Parabel 4 1 Konstruktion 4 2 Nachweis 5 Tangente an Ellipse 5 1 Konstruktion 5 2 Nachweis 6 Siehe auch 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseTangente in der Analysis Bearbeiten nbsp Graph einer Funktion mit eingezeichneter Tangente an einem Punkt Diese Abbildung zeigt dass die Tangente mehr als einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen haben kann Graph der Funktion Tangente nbsp Funktion f x displaystyle f x nbsp mit senkrechter Tangente t displaystyle t nbsp rot Ist die gegebene Kurve der Graph einer reellen Funktion f displaystyle f nbsp dann ist die Tangente t displaystyle t nbsp im Punkt P x 0 f x 0 displaystyle P x 0 f x 0 nbsp die Gerade die dort die gleiche Steigung wie die Kurve hat Die Steigung m T displaystyle m mathrm T nbsp der Tangente t displaystyle t nbsp ist also gleich der ersten Ableitung von f displaystyle f nbsp an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp m T f x 0 displaystyle m mathrm T f x 0 nbsp Die Gleichung der Tangente t displaystyle t nbsp ist somit 1 2 y f x 0 f x 0 x x 0 displaystyle y f x 0 f x 0 cdot x x 0 nbsp siehe auch Punktsteigungsform Die Tangente entspricht der besten linearen Naherung fur die Funktion f displaystyle f nbsp an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp f x f x 0 f x 0 x x 0 displaystyle f x approx f x 0 f x 0 cdot x x 0 nbsp fur x x 0 displaystyle x approx x 0 nbsp Eine Tangente kann in der Regel nur existieren wenn die zugrunde liegende Funktion oder die zugrunde liegenden Funktionen an dieser Stelle differenzierbar ist sind vergleiche dazu aber auch Tangenten in der endlichen Geometrie Ein einfaches Gegenbeispiel Die Betragsfunktion x x displaystyle x mapsto x nbsp ist an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp nicht differenzierbar Der zugehorige Funktionsgraph hat an dieser Stelle einen Knick so dass es hier sinnlos ist von der Tangente zu sprechen Ist eine Funktion an einer Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp ihres Definitionsbereichs zwar nicht differenzierbar strebt der Wert der Ableitungsfunktion fur x x 0 displaystyle x to x 0 nbsp betragsmassig jedoch gegen Unendlich so hat der Funktionsgraph an dieser Stelle eine senkrechte Tangente eine Parallele zur y Achse also keine lineare Funktion als Tangente 1 Ein Beispiel hierfur ist die Funktion f x x 2 5 3 falls 2 5 x x 2 5 3 falls x lt 2 5 displaystyle f x begin cases sqrt 3 x 2 5 amp text falls 2 5 leq x sqrt 3 x 2 5 amp text falls x lt 2 5 end cases nbsp Diese ist zwar fur alle reellen Zahlen definiert aber an der Stelle x 0 2 5 displaystyle x 0 2 5 nbsp nicht differenzierbar ist Dort liegt eine senkrechte Tangente vor Als Wendetangente bezeichnet man eine Tangente die durch einen Wendepunkt einer Funktion verlauft Dabei durchdringt bzw durchsetzt sie den Funktionsgraphen der von einer Halbebene bezuglich der Tangente in die andere Halbebene wechselt Dennoch fasst man diesen Punkt als Beruhrpunkt und nicht als Schnittpunkt auf da die Steigung von Funktion und Gerade ubereinstimmen 3 Differentialgeometrie Bearbeiten nbsp Raumkurve mit TangenteEine regulare Kurve im R n displaystyle mathbb R n nbsp sei durch eine auf dem reellen Intervall a b displaystyle a b nbsp definierte Funktion g a b R n displaystyle gamma colon a b to mathbb R n nbsp mit g t 0 displaystyle gamma t neq 0 nbsp fur alle t a b displaystyle t in a b nbsp gegeben Ist g t 0 displaystyle gamma t 0 nbsp mit t 0 a b displaystyle t 0 in a b nbsp ein Kurvenpunkt so nennt man die erste Ableitung von g displaystyle gamma nbsp an der Stelle t 0 displaystyle t 0 nbsp also g t 0 displaystyle gamma t 0 nbsp einen Tangentialvektor Eine Kurventangente in diesem Punkt ist eine Gerade durch den Punkt g t 0 displaystyle gamma t 0 nbsp die die gleiche Richtung wie der Tangentialvektor hat 1 Synthetische und endliche Geometrie Bearbeiten Hauptartikel Quadratische Menge In der synthetischen Geometrie und der endlichen Geometrie kann der Begriff Tangente fur geeignete Mengen allein mit Begriffen der Inzidenz also ohne Differenzierbarkeitsvoraussetzungen definiert werden 4 Fur eine quadratische Menge in einer projektiven Ebene ist eine Tangente eine Gerade die mit dieser Menge genau einen Punkt gemeinsam hat oder ganz in ihr enthalten ist Mit dieser Definition existiert speziell fur ein Oval in einer projektiven Ebene in jedem Punkt des Ovals genau eine Tangente Keine Gerade hat mit dem Oval mehr als zwei Punkte gemein Analytisch bedeutet dies fur eine projektive Quadrik uber einer papposschen projektiven Ebene die dem Fano Axiom genugt dem wichtigsten Spezialfall einer quadratischen Menge Eine projektive Gerade ist genau dann Tangente der Quadrik wenn der Koeffizientenvektor der Geraden die homogene quadratische Gleichung erfullt die die Quadrik als Punktmenge definiert Der dritte Fall ist fur die reelle euklidische Ebene wenn man sie als affinen Ausschnitt der reellen projektiven Ebene mit dem Standardskalarprodukt ansieht gleichbedeutend dazu dass der Gradient der Funktionsgleichung die die Quadrik definiert in dem Punkt in der die Gerade die Quadrik beruhrt ein Normalenvektor dieser Geraden ist Insofern lasst sich ein gegenuber dem reellen durch Ableitung definierten verallgemeinerter algebraischer Tangentenbegriff auch durch formale Gradientenberechnung bilden Vergleiche hierzu auch die Abbildung in der Einleitung Der mit dem Rechter Winkel Symbol gekennzeichnete Radius des Kreises stellt gleichzeitig die Richtung eines Normalenvektors der eingezeichneten Tangente und vom Mittelpunkt zum Beruhrpunkt orientiert die Richtung des Gradienten der Kreisgleichung in deren Beruhrpunkt dar Tangente an Parabel Bearbeiten Hauptartikel Parabel Mathematik nbsp Bild 2 Nachweis Tangente an Parabel mittels zwei gleichen Kreisen nbsp Bild 1 Konstruktion Tangente an Parabel mittels zwei gleichen Kreisen Konstruktion Bearbeiten Es beginnt mit dem Eintragen des Graphen beispielsweise der Parabel y 1 4 x 2 displaystyle y tfrac 1 4 x 2 nbsp Bild 1 mit dem Abstand F S 1 displaystyle FS 1 nbsp darin ist F displaystyle F nbsp der Brennpunkt und S displaystyle S nbsp der Scheitelpunkt Der frei gewahlte Punkt P displaystyle P nbsp wird mit F displaystyle F nbsp verbunden Es folgen der Kreis k 1 displaystyle k 1 nbsp um P displaystyle P nbsp mit Radius P F displaystyle PF nbsp und der Kreis k 2 displaystyle k 2 nbsp um F displaystyle F nbsp mit gleichem Radius Schnittpunkt ist A displaystyle A nbsp auf der Mittelachse Abschliessend wird eine Gerade durch die Punkte A displaystyle A nbsp und P displaystyle P nbsp gezogen Aufgrund dessen dass das Dreieck A F P displaystyle AFP nbsp gleichschenklig und die Halfte einer Raute ist siehe Bild 2 wirkt die Gerade rot als Winkelhalbierende und liefert somit die Tangente im Punkt P displaystyle P nbsp Nachweis Bearbeiten Der Punkt P displaystyle P nbsp ist nach Definition dann ein Punkt einer Parabel wenn sein Abstand zur Leitlinie P l displaystyle Pl nbsp gleich dem Abstand P F displaystyle PF nbsp zum Brennpunkt ist Die Tangente ist die Winkelhalbierende w h displaystyle wh nbsp der Winkelweite die von den Winkelschenkeln P l displaystyle Pl nbsp und P F displaystyle PF nbsp eingeschlossen ist 5 Vergleicht man Bild 2 mit Bild 1 so ist erkennbar Der Kreis k 1 displaystyle k 1 nbsp im Bild 1 stellt wegen P F P l displaystyle PF Pl nbsp den Bezug zur nicht eingezeichneten Leitlinie l displaystyle l nbsp her Dagegen liefert der Kreis k 2 displaystyle k 2 nbsp den Punkt A displaystyle A nbsp Wegen P l P F F S displaystyle Pl PF FS nbsp und den gleichen Innenwinkel der angedeuteten Raute ist die Gerade rot durch A displaystyle A nbsp und P displaystyle P nbsp die gesuchte Winkelhalbierende w h displaystyle wh nbsp und somit auch die Tangente im Punkt P displaystyle P nbsp Tangente an Ellipse Bearbeiten Hauptartikel Ellipse nbsp Konstruktion Tangente an Ellipse mittels drei gleichen KreisenKonstruktion Bearbeiten Auf einer gegebenen Ellipse e displaystyle e nbsp mit den Brennpunkten F 1 displaystyle F 1 nbsp und F 2 displaystyle F 2 nbsp wird zuerst ein beliebiger Punkt P displaystyle P nbsp bestimmt Eine Halbgerade ab dem Punkt F 2 displaystyle F 2 nbsp durch P displaystyle P nbsp schliesst sich an Nach dem Verbinden des Punktes P displaystyle P nbsp mit F 1 displaystyle F 1 nbsp folgt ein Kreis k 1 displaystyle k 1 nbsp um P displaystyle P nbsp mit dem Radius P F 1 displaystyle PF 1 nbsp Schnittpunkt mit der Halbgeraden ist F displaystyle F nbsp Nun zieht man den Kreis k 2 displaystyle k 2 nbsp um F displaystyle F nbsp mit gleichem Radius und ebenso den Kreis k 3 displaystyle k 3 nbsp um F 1 displaystyle F 1 nbsp dabei ergibt sich der Schnittpunkt A displaystyle A nbsp Abschliessend wird eine Gerade rot die gesuchte Tangente durch die Punkte A displaystyle A nbsp und P displaystyle P nbsp gezogen Nachweis Bearbeiten Der Punkt P displaystyle P nbsp ist nach Definition nur dann ein Punkt einer Ellipse wenn die Gerade die durch ihn geht die Winkelhalbierende w h displaystyle wh nbsp des Winkels F 1 P F displaystyle F 1 P F nbsp ist 6 Da die beiden Kreise k 1 displaystyle k 1 nbsp und k 2 displaystyle k 2 nbsp mit dem Schnittpunkt A displaystyle A nbsp die Halbierung des Aussenwinkels F 1 P F displaystyle F 1 P F nbsp der Brennstrahlen F 1 P displaystyle F 1 P nbsp und F 2 P displaystyle F 2 P nbsp vorbereitet haben ist die Gerade rot eine Winkelhalbierende w h displaystyle wh nbsp dieses Winkels und somit die Tangente im Punkt P displaystyle P nbsp Siehe auch BearbeitenHyperbel Tangente als Winkelhalbierende Differentialrechnung Kurvendiskussion Tangentialraum SubtangenteLiteratur BearbeitenTangente In Schulerduden Mathematik I Bibliographisches Institut amp F A Brockhaus 2008 ISBN 978 3 411 04208 1 S 443 444 Tangente In Schulerduden Mathematik II Bibliographisches Institut amp F A Brockhaus 2004 ISBN 3 411 04275 3 S 393 394 Guido Walz Lexikon der Mathematik Band 5 Springer 2 Auflage 2017 ISBN 978 3 662 53505 9 S 173 176 online auf spektrum de Irl C Bivens What a Tangent Line Is When It Isn t a Limit In The College Mathematics Journal Band 17 Nr 2 Mathematical Association of America 1986 S 133 43 JSTOR Hugh Thurston Tangents to Graphs In Mathematics Magazine Band 61 Nr 5 Mathematical Association of America 1988 S 292 94 JSTOR Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Tangente Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen nbsp Commons Tangency Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Tangent Line Definition Formula amp Newton s Method Eric W Weisstein Tangent Line In MathWorld englisch Tangente und Normale auf 123mathe de Tangente auf zeno org Eintrage in diversen alteren Lexika Einzelnachweise Bearbeiten a b c Guido Walz Lexikon der Mathematik Band 5 Springer 2 Auflage 2017 ISBN 978 3 662 53505 9 S 173 176 online auf spektrum de Tangente In Schulerduden Mathematik II Bibliographisches Institut amp F A Brockhaus 2004 ISBN 3 411 04275 3 S 393 394 Wendetangente In Schulerduden Mathematik II Bibliographisches Institut amp F A Brockhaus 2004 ISBN 3 411 04275 3 S 448 Albrecht Beutelspacher Ute Rosenbaum Projektive Geometrie Von den Grundlagen bis zu den Anwendungen Vieweg Studium Aufbaukurs Mathematik 2 durchgesehene und erweiterte Auflage Vieweg Wiesbaden 2004 ISBN 3 528 17241 X 4 Quadratische Mengen Inhaltsverzeichnis abgerufen am 31 Juli 2013 Dieter Nesselmann Tangente der Parabel Vorkurs Mathematik Teil Geometrie und lineare Algebra Universitat Rostock 24 Juni 2014 abgerufen am 19 Oktober 2023 Peter Lesky 5 2 Tangente in einem Ellipsenpunkt mit Beweis Kegelschnitte Universitat Stuttgart 2020 S 67 68 abgerufen am 20 Oktober 2023 Normdaten Sachbegriff GND 7643634 2 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Tangente amp oldid 238532411