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Berührung Mathematik Die Berührung ist ein Konzept aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie Zwei geom

Berührung (Mathematik)

Die Berührung ist ein Konzept aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie. Zwei geometrische Objekte wie zum Beispiel Funktionsgraphen, Kurven oder gekrümmte Flächen berühren sich in einem gemeinsamen Punkt, wenn die Tangenten der beiden Objekte in diesem Punkt übereinstimmen. Dieser Punkt heißt Berührungspunkt. Die Tangenten können mit Hilfe der Differentialrechnung bestimmt werden.

Verallgemeinert besteht an einem gemeinsamen Punkt eine Berührung -ter Ordnung, wenn alle Ableitungen bis zur -ten Ordnung in diesem Punkt übereinstimmen.

Berührung zweier Funktionen Bearbeiten

Seien zwei auf dem Intervall definierte Funktionen, die in einem inneren Punkt des Intervalls differenzierbar sind. Dann berühren sich die Funktionen und genau dann im Punkt , wenn

gilt.

Berührung zweier Kurven Bearbeiten

Das Konzept der Berührung zweier differenzierbarer Funktionen kann ohne Weiteres auf zwei Kurven mit differenzierbarem Weg übertragen werden.

Seien und zwei Kurven mit differenzierbarem Weg, wobei ein Intervall ist. Existiert ein Punkt mit

dann heißt Berührpunkt der beiden Kurven und .

Entsprechend heißt ein Punkt Berührpunkt -ter Ordnung von zwei Kurven mit mindestens -fach differenzierbarem Weg, wenn im Punkt alle Ableitungen der beiden Kurven übereinstimmen.

In jedem Punkt einer Kurve, in dem die Tangente die Kurve nicht in höherer Ordnung berührt, gibt es einen eindeutig bestimmten Kreis, der die Kurve in diesem Punkt in höherer Ordnung berührt. Er wird Krümmungskreis oder Schmiegungskreis genannt. Zum Beispiel ist der Einheitskreis um den Koordinatenursprung der Schmiegungskreis der Kosinus-Funktion im Punkt .

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Berührung zweier Funktionen. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  2. Heinrich Brauner: Differentialgeometrie. Vieweg, Braunschweig 1981, ISBN 3-528-03809-8, S. 81.
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Die Beruhrung ist ein Konzept aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie Zwei geometrische Objekte wie zum Beispiel Funktionsgraphen Kurven oder gekrummte Flachen beruhren sich in einem gemeinsamen Punkt wenn die Tangenten der beiden Objekte in diesem Punkt ubereinstimmen Dieser Punkt heisst Beruhrungspunkt Die Tangenten konnen mit Hilfe der Differentialrechnung bestimmt werden Verallgemeinert besteht an einem gemeinsamen Punkt eine Beruhrung n displaystyle n ter Ordnung wenn alle Ableitungen bis zur n displaystyle n ten Ordnung in diesem Punkt ubereinstimmen Inhaltsverzeichnis 1 Beruhrung zweier Funktionen 2 Beruhrung zweier Kurven 3 Siehe auch 4 EinzelnachweiseBeruhrung zweier Funktionen BearbeitenSeien f g I R displaystyle f g colon I to mathbb R nbsp zwei auf dem Intervall I R displaystyle I subset mathbb R nbsp definierte Funktionen die in einem inneren Punkt a displaystyle a nbsp des Intervalls I displaystyle I nbsp differenzierbar sind Dann beruhren sich die Funktionen f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp genau dann im Punkt a displaystyle a nbsp wenn f a g a und f a g a displaystyle f a g a qquad text und qquad f a g a nbsp gilt 1 Beruhrung zweier Kurven BearbeitenDas Konzept der Beruhrung zweier differenzierbarer Funktionen kann ohne Weiteres auf zwei Kurven mit differenzierbarem Weg ubertragen werden Seien g I R n displaystyle gamma colon I to mathbb R n nbsp und g I R n displaystyle bar gamma colon I to mathbb R n nbsp zwei Kurven mit differenzierbarem Weg wobei I R displaystyle I subset mathbb R nbsp ein Intervall ist Existiert ein Punkt a I displaystyle a in I nbsp mit g a g a und g a g a displaystyle gamma a bar gamma a qquad text und qquad gamma a bar gamma a nbsp dann heisst a displaystyle a nbsp Beruhrpunkt der beiden Kurven g a displaystyle gamma a nbsp und g displaystyle bar gamma nbsp Entsprechend heisst ein Punkt a I R displaystyle a in I subset mathbb R nbsp Beruhrpunkt k displaystyle k nbsp ter Ordnung von zwei Kurven mit mindestens k displaystyle k nbsp fach differenzierbarem Weg wenn im Punkt a displaystyle a nbsp alle k displaystyle k nbsp Ableitungen der beiden Kurven ubereinstimmen 2 In jedem Punkt einer Kurve in dem die Tangente die Kurve nicht in hoherer Ordnung beruhrt gibt es einen eindeutig bestimmten Kreis der die Kurve in diesem Punkt in hoherer Ordnung beruhrt Er wird Krummungskreis oder Schmiegungskreis genannt Zum Beispiel ist der Einheitskreis um den Koordinatenursprung der Schmiegungskreis der Kosinus Funktion im Punkt 0 1 displaystyle 0 1 nbsp Siehe auch BearbeitenBeruhrung zwischen Kreisen und Dreiecken Inkreis Ankreis Umsetzung in der Technik Zahnrad VerzahnungsgesetzEinzelnachweise Bearbeiten Beruhrung zweier Funktionen In Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik 1 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Mannheim Heidelberg 2000 ISBN 3 8274 0439 8 Heinrich Brauner Differentialgeometrie Vieweg Braunschweig 1981 ISBN 3 528 03809 8 S 81 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Beruhrung Mathematik amp oldid 206871223