Die Hodge Zerlegung beziehungsweise der Satz von Hodge ist eine zentrale Aussage der Hodge Theorie Diese Theorie verbindet die mathematischen Teilgebiete Analysis Differentialgeometrie und algebraische Topologie Benannt sind die Hodge Zerlegung und die Hodge Theorie nach dem Mathematiker William Vallance Douglas Hodge der diese in den 1930er Jahren als Erweiterung zur De Rham Kohomologie entwickelte Inhaltsverzeichnis 1 Elliptischer Komplex 2 Satz von Hodge 3 Beispiel De Rham Kohomologie 4 LiteraturElliptischer Komplex BearbeitenMit G displaystyle Gamma infty nbsp werden glatte Schnitte in einem Vektorbundel bezeichnet Sei M g displaystyle M g nbsp eine orientierte Riemann sche Mannigfaltigkeit und E i i displaystyle E i i nbsp eine Folge von Vektorbundeln Ein elliptischer Komplex ist eine Sequenz partieller Differentialoperatoren D i i displaystyle D i i nbsp erster Ordnung 0 G E 0 D 0 G E 1 D 1 D m 1 G E m 0 displaystyle 0 longrightarrow Gamma infty E 0 stackrel D 0 longrightarrow Gamma infty E 1 stackrel D 1 longrightarrow ldots stackrel D m 1 longrightarrow Gamma infty E m longrightarrow 0 nbsp so dass die folgenden Eigenschaften gelten Die Folge G E i D i displaystyle Gamma infty E i D i nbsp ist ein Kokettenkomplex das heisst es gilt D i D i 1 0 displaystyle D i circ D i 1 0 nbsp fur alle 1 i m displaystyle 1 leq i leq m nbsp und fur jedes x 3 T M 0 displaystyle x xi in T M backslash 0 nbsp ist die Sequenz der Hauptsymbole0 p E 0 s D 0 p E 1 s D 1 s D m 1 p E m 0 displaystyle 0 longrightarrow pi E 0 stackrel sigma D 0 longrightarrow pi E 1 stackrel sigma D 1 longrightarrow ldots stackrel sigma D m 1 longrightarrow pi E m longrightarrow 0 nbsp dd exakt Dabei bezeichnet p E i M displaystyle pi colon E i to M nbsp die Bundelprojektion Die Raume G E i displaystyle Gamma infty E i nbsp konnen beispielsweise als die Raume der Differentialformen verstanden werden Satz von Hodge BearbeitenSei nun M displaystyle M nbsp eine kompakte orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit und H i E D displaystyle H i E D nbsp die i te Kohomologiegruppe des elliptischen Komplexes G E i D i displaystyle Gamma infty E i D i nbsp Ausserdem definiere einen Laplace Operator D i G E i G E i displaystyle Delta i Gamma infty E i to Gamma infty E i nbsp durch D i D i D i D i 1 D i 1 displaystyle Delta i D i circ D i D i 1 circ D i 1 nbsp Dies ist ein elliptischer Operator Nun gilt Die i displaystyle i nbsp te Kohomologiegruppe H i E D displaystyle H i E D nbsp ist fur alle i Z displaystyle i in mathbb Z nbsp isomorph zum Kern von D i displaystyle Delta i nbsp das heisst i H i E D ker D i G E i displaystyle forall i H i E D cong ker Delta i subset Gamma infty E i nbsp dd Die Dimension der i displaystyle i nbsp ten Kohomologiegruppe ist fur alle i Z displaystyle i in mathbb Z nbsp endlichdim H i E D lt displaystyle dim H i E D lt infty nbsp dd Es existiert eine orthogonale ZerlegungG E i ker D i R D i 1 R D i displaystyle Gamma infty E i ker Delta i oplus R D i 1 oplus R D i nbsp dd Dabei bezeichnet ker displaystyle ker nbsp den Kern und R displaystyle R nbsp das Bild eines Operators Beispiel De Rham Kohomologie BearbeitenDer De Rham Komplex 0 A 0 M d 0 A 1 M d 1 d m 1 A m M 0 displaystyle 0 to mathcal A 0 M xrightarrow mathrm d 0 mathcal A 1 M xrightarrow mathrm d 1 ldots xrightarrow mathrm d m 1 mathcal A m M to 0 nbsp ist ein elliptischer Komplex Die Raume A i displaystyle mathcal A i nbsp sind wieder die Raume der Differentialformen i ten Grades und d i displaystyle mathrm d i nbsp ist die aussere Ableitung Die dazugehorige Sequenz der Hauptsymbole ist der Koszul Komplex Der Operator D d d d d displaystyle Delta mathrm d mathrm d mathrm d mathrm d nbsp ist der Hodge Laplace Operator Den Kern dieses Operators nennt man den Raum der harmonischen Differentialformen da dieser ja analog zum Raum der harmonischen Funktionen definiert ist Nach dem Satz von Hodge existiert nun ein Isomorphismus zwischen der i ten De Rham Kohomologiegruppe H d R i A M d displaystyle H mathrm dR i mathcal A M mathrm d nbsp und dem Raum der harmonischen ker D i displaystyle ker Delta i nbsp Differentialformen vom Grad i displaystyle i nbsp Ausserdem sind b i M dim H d R i A M d displaystyle b i M dim H mathrm dR i mathcal A M mathrm d nbsp wohldefinierte Zahlen da fur kompakte Mannigfaltigkeiten die De Rham Kohomologiegruppen endliche Dimension haben Diese Zahlen heissen Betti Zahlen Der Hodge Stern Operator A i M A n i M displaystyle star mathcal A i M to mathcal A n i M nbsp induziert auch einen Isomorphismus zwischen den Raumen ker D i displaystyle ker Delta i nbsp und ker D n i displaystyle ker Delta n i nbsp Dies ist die Poincare Dualitat und fur die Betti Zahlen gilt b i M b n i M displaystyle b i M b n i M nbsp Literatur BearbeitenLiviu I Nicolaescu Lectures on the geometry of manifolds 2nd edition World Scientific Singapore u a 2007 ISBN 978 981 270853 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hodge Zerlegung amp oldid 233715008
