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Poincaré Dualität Die benannt nach Henri Poincaré ist in der algebraischen Topologie ein grundlegender Zusammenhang zwis

Poincaré-Dualität

Die Poincaré-Dualität, benannt nach Henri Poincaré, ist in der algebraischen Topologie ein grundlegender Zusammenhang zwischen der Homologie und der Kohomologie von orientierbaren Mannigfaltigkeiten.

Aussage Bearbeiten

Sei eine n-dimensionale geschlossene orientierbare Mannigfaltigkeit und eine natürliche Zahl, dann ist die k-te singuläre Kohomologiegruppe isomorph zur (n − k)-ten singulären Homologiegruppe . Der Isomorphismus wird durch das Cap-Produkt mit der Fundamentalklasse realisiert.

Insbesondere gilt damit für die Betti-Zahlen .

Geschichte Bearbeiten

Die Identität wurde zuerst 1893 von Poincaré behauptet. 1895 gab er einen Beweis in Analysis Situs, wobei er Betti-Zahlen zunächst über Ketten von Untermannigfaltigkeiten (statt wie in seinen späteren Arbeiten über Ketten von Simplizes) definierte und zum Beweis Schnittzahlen von Untermannigfaltigkeiten benutzte. In den Addenda zu Analysis Situs definierte er Homologie als simpliziale Homologie triangulierter Mannigfaltigkeiten (diskutierte aber nicht ihre Unabhängigkeit von der Triangulierung) und gab dann den heute üblichen Beweis des Dualitätssatzes über duale Triangulierungen.

Glatte Mannigfaltigkeiten Bearbeiten

Ist die Mannigfaltigkeit zusätzlich noch glatt, dann gibt es neben der singulären Kohomologie auch die De-Rham-Kohomologie. Nach dem Satz von de Rham sind die entsprechenden singulären Kohomologie- und De-Rham-Kohomologiegruppen isomorph. Mit wird der Raum der k-Differentialformen bezeichnet. Der Hodge-Stern-Operator

induziert für jedes einen Isomorphismus zwischen den De-Rham-Kohomologiegruppen. Folgendes Diagramm kommutiert also:

Literatur Bearbeiten

  • Herbert Seifert, William Threlfall: Lehrbuch der Topologie, Teubner 1934. Scan der englischen Übersetzung (PDF; 7,4 MB)
  • Schubert, Horst: Topologie. Eine Einführung. Mathematische Leitfäden B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart 1964
  • Munkres, James R.: Elements of algebraic topology. Addison-Wesley Publishing Company, Menlo Park, CA, 1984.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0, 296–297.
  2. Henri Poincaré, Analysis Situs, Journal de l’École Polytechnique ser 2, 1 (1895) pages 1–123.
  3. Klaus Jänich: Vektoranalysis. Springer, Berlin März 2005, ISBN 3-540-23741-0, S. 129–130.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Poincare Dualitat benannt nach Henri Poincare ist in der algebraischen Topologie ein grundlegender Zusammenhang zwischen der Homologie und der Kohomologie von orientierbaren Mannigfaltigkeiten Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Geschichte 3 Glatte Mannigfaltigkeiten 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseAussage BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine n dimensionale geschlossene orientierbare Mannigfaltigkeit und k N displaystyle k in mathbb N nbsp eine naturliche Zahl dann ist die k te singulare Kohomologiegruppe H k M displaystyle H k M nbsp isomorph zur n k ten singularen Homologiegruppe H n k M displaystyle H n k M nbsp 1 Der Isomorphismus wird durch das Cap Produkt mit der Fundamentalklasse M H n M displaystyle left M right in H n M nbsp realisiert Insbesondere gilt damit fur die Betti Zahlen b k b n k displaystyle b k b n k nbsp Geschichte BearbeitenDie Identitat b k b n k displaystyle b k b n k nbsp wurde zuerst 1893 von Poincare behauptet 1895 gab er einen Beweis in Analysis Situs 2 wobei er Betti Zahlen zunachst uber Ketten von Untermannigfaltigkeiten statt wie in seinen spateren Arbeiten uber Ketten von Simplizes definierte und zum Beweis Schnittzahlen von Untermannigfaltigkeiten benutzte In den Addenda zu Analysis Situs definierte er Homologie als simpliziale Homologie triangulierter Mannigfaltigkeiten diskutierte aber nicht ihre Unabhangigkeit von der Triangulierung und gab dann den heute ublichen Beweis des Dualitatssatzes uber duale Triangulierungen Glatte Mannigfaltigkeiten BearbeitenIst die Mannigfaltigkeit zusatzlich noch glatt dann gibt es neben der singularen Kohomologie auch die De Rham Kohomologie Nach dem Satz von de Rham sind die entsprechenden singularen Kohomologie und De Rham Kohomologiegruppen isomorph Mit A k M displaystyle mathcal A k M nbsp wird der Raum der k Differentialformen bezeichnet Der Hodge Stern Operator A k M A n k M displaystyle begin aligned star colon mathcal A k M to mathcal A n k M end aligned nbsp induziert fur jedes k N displaystyle k in mathbb N nbsp einen Isomorphismus H dR k M H dR n k M displaystyle H operatorname dR k M to H operatorname dR n k M nbsp zwischen den De Rham Kohomologiegruppen Folgendes Diagramm kommutiert also 3 A k M H d R k M P o i n c A n k M H d R n k M displaystyle begin array rcl mathcal A k M amp longrightarrow amp H dR k M star big downarrow cong amp amp cong big downarrow scriptstyle operatorname Poinc mathcal A n k M amp longrightarrow amp H dR n k M end array nbsp Literatur BearbeitenHerbert Seifert William Threlfall Lehrbuch der Topologie Teubner 1934 Scan der englischen Ubersetzung PDF 7 4 MB Schubert Horst Topologie Eine Einfuhrung Mathematische Leitfaden B G Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgart 1964 Munkres James R Elements of algebraic topology Addison Wesley Publishing Company Menlo Park CA 1984 Weblinks BearbeitenIgusa Poincare Duality PDF 234 kB Hatcher The Duality Theorem PDF 140 kB Ranicki The Poincare Duality Theorem and its converse PDF 276 kB Einzelnachweise Bearbeiten Edwin H Spanier Algebraic Topology 1 corrected Springer edition Reprint Springer Berlin u a 1995 ISBN 3 540 90646 0 296 297 Henri Poincare Analysis Situs Journal de l Ecole Polytechnique ser 2 1 1895 pages 1 123 Klaus Janich Vektoranalysis Springer Berlin Marz 2005 ISBN 3 540 23741 0 S 129 130 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Poincare Dualitat amp oldid 236009275