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Singuläre Kohomologie Die singuläre Kohomologie ist eine Methode aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Top

Singuläre Kohomologie

Die singuläre Kohomologie ist eine Methode aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie, die einem beliebigen topologischen Raum eine Folge abelscher Gruppen zuordnet. Anschaulich gesprochen zählt sie die verschieden-dimensionalen Löcher eines Raumes. Definiert ist die singuläre Kohomologie als Kohomologie zum singulären Kokettenkomplex. Genauso wie die singuläre Homologie ist sie eine Invariante des zugrunde gelegten topologischen Raums. Sie hat jedoch im Gegensatz zur singulären Homologie den Vorteil, dass die Folge ihrer Kohomologiegruppen zusammen mit dem Cup-Produkt einen Ring bilden.

Singulärer Kokettenkomplex Bearbeiten

Sei ein topologischer Raum und eine abelsche Gruppe. Mit wird der singuläre Kettenkomplex von bezeichnet. Für jede natürliche Zahl definiere

wobei die Gruppe der Gruppenhomomorphismen von nach ist. Die Elemente von heißen singuläre Koketten mit Koeffizienten in oder kurz -Koketten.

Der Randoperator des singulären Kettenkomplexes induziert einen Randoperator

der Korandoperator genannt wird. Er lässt sich durch charakterisieren, woraus folgt. Dies ergibt den Kokettenkomplex

der singulärer Kokettenkomplex genannt wird.

Singuläre Kohomologie Bearbeiten

Die singuläre Kohomologie ist nun die Kohomologie bezüglich des singulären Kokettenkomplexes. Eine -Kokette heißt Kozykel, falls gilt, und Korand, falls ein mit existiert. Im Folgenden wird mit die Gruppe der Kozykel und mit die Gruppe der Koränder bezeichnet. Beide Gruppen sind Untergruppen von . Die singuläre Kohomologie mit Koeffizienten in ist dann definiert als die Quotientengruppe

Direkt aus den Definitionen ergibt sich die folgende Interpretation der Begriffe "Kozykel" und "Korand". Eine Kokette ist ein Kozykel genau dann, wenn auf Rändern verschwindet, also für alle gilt. Eine Kokette ist ein Korand, wenn sie auf Zykeln verschwindet, also für alle mit . Insbesondere repräsentieren zwei Kozykel genau dann dieselbe Kohomologieklasse, wenn sie auf allen Zykeln dieselben Werte annehmen, also für alle mit .

Die Elemente von werden als Kohomologieklassen (mit Koeffizienten in ) bezeichnet.

Eigenschaften Bearbeiten

Kontravarianter Funktor Bearbeiten

Die singuläre Kohomologie ist ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der topologischen Räume in die Kategorie der abelschen Gruppen. Der Funktor hat also die folgenden zwei Eigenschaften. Seien und zwei stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen. Mit und werden die induzierten Kohomologiehomomorphismen bezeichnet. Dann gilt

Außerdem ist der durch die identische Abbildung induzierte Kohomologiehomomorphismus wieder die identische Abbildung.

Lange exakte Sequenz Bearbeiten

Für einen topologischen Unterraum ist der singuläre Komplex ein Unterkomplex von , und mit erhält man eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen, die durch Anwendung von eine kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen ergibt:

Daraus ergibt sich mit Methoden der homologischen Algebra die lange exakte Kohomologiesequenz

Die Gruppen heißen relative singuläre Kohomologiegruppen.

Topologische Invariante Bearbeiten

Die singulären Kohomologiegruppen sind topologische Invarianten des zugrunde liegenden Raums. Seien also und zwei topologische Räume und ein Homöomorphismus, dann sind für alle und für jede abelsche Gruppe die Kohomologiegruppen und isomorph.

Homotopie-Invarianz Bearbeiten

Homotope Abbildungen induzieren dieselben Abbildungen . Homotopieäquivalenzen induzieren Isomorphismen .

Mayer-Vietoris-Sequenz Bearbeiten

Sei eine (nicht disjunkte) Zerlegung mit

Dann gibt es eine exakte Sequenz

De-Rham-Kohomologie und Simpliziale Kohomologie Bearbeiten

Wenn eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist, dann ist isomorph zur De-Rham-Kohomologie . Wenn homöomorph zur Geometrischen Realisierung eines Simplizialkomplexes ist, dann ist isomorph zur simplizialen Kohomologie .

Cup-Produkt Bearbeiten

Im Gegensatz zur singulären Homologie ist es bei singulären Kohomologieklassen möglich, auf ihnen ein assoziatives, graduiert kommutatives und distributives Produkt zu definieren. Dieses wird Cup-Produkt genannt und induziert auf den Kohomologiegruppen eine Ringstruktur.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ John M. Lee: Introduction to Topological Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 202). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2000, ISBN 0-387-98759-2, S. 329.
  2. ↑ John M. Lee: Introduction to Topological Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 202). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2000, ISBN 0-387-98759-2, S. 330.
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Die singulare Kohomologie ist eine Methode aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie die einem beliebigen topologischen Raum eine Folge abelscher Gruppen zuordnet Anschaulich gesprochen zahlt sie die verschieden dimensionalen Locher eines Raumes Definiert ist die singulare Kohomologie als Kohomologie zum singularen Kokettenkomplex Genauso wie die singulare Homologie ist sie eine Invariante des zugrunde gelegten topologischen Raums Sie hat jedoch im Gegensatz zur singularen Homologie den Vorteil dass die Folge ihrer Kohomologiegruppen zusammen mit dem Cup Produkt einen Ring bilden Inhaltsverzeichnis 1 Singularer Kokettenkomplex 2 Singulare Kohomologie 3 Eigenschaften 3 1 Kontravarianter Funktor 3 2 Lange exakte Sequenz 3 3 Topologische Invariante 3 4 Homotopie Invarianz 3 5 Mayer Vietoris Sequenz 3 6 De Rham Kohomologie und Simpliziale Kohomologie 4 Cup Produkt 5 Siehe auch 6 EinzelnachweiseSingularer Kokettenkomplex BearbeitenSei X displaystyle X nbsp ein topologischer Raum und G displaystyle G nbsp eine abelsche Gruppe Mit C p X displaystyle C p X nbsp wird der singulare Kettenkomplex von X displaystyle X nbsp bezeichnet Fur jede naturliche Zahl p gt 0 displaystyle p gt 0 nbsp definiere C p X G Hom C p X G displaystyle C p X G operatorname Hom C p X G nbsp wobei Hom C p X G displaystyle operatorname Hom C p X G nbsp die Gruppe der Gruppenhomomorphismen von C p X displaystyle C p X nbsp nach G displaystyle G nbsp ist Die Elemente von C p X G displaystyle C p X G nbsp heissen singulare Koketten mit Koeffizienten in G displaystyle G nbsp oder kurz p displaystyle p nbsp Koketten Der Randoperator p C p X C p 1 X displaystyle partial p colon C p X to C p 1 X nbsp des singularen Kettenkomplexes induziert einen Randoperator d p C p X G C p 1 X G displaystyle delta p colon C p X G to C p 1 X G nbsp der Korandoperator genannt wird Er lasst sich durch d ϕ c ϕ c displaystyle delta phi c phi partial c nbsp charakterisieren woraus d p 1 d p 0 displaystyle delta p 1 delta p 0 nbsp folgt Dies ergibt den Kokettenkomplex C p 1 X G d p 1 C p X G d p C p 1 X G d p 1 displaystyle ldots longrightarrow C p 1 X G stackrel delta p 1 longrightarrow C p X G stackrel delta p longrightarrow C p 1 X G stackrel delta p 1 longrightarrow ldots nbsp der singularer Kokettenkomplex genannt wird 1 Singulare Kohomologie BearbeitenDie singulare Kohomologie ist nun die Kohomologie bezuglich des singularen Kokettenkomplexes Eine p displaystyle p nbsp Kokette ϕ displaystyle phi nbsp heisst Kozykel falls d ϕ 0 displaystyle delta phi 0 nbsp gilt und Korand falls ein ps C p 1 X G displaystyle psi in C p 1 X G nbsp mit d ps ϕ displaystyle delta psi phi nbsp existiert Im Folgenden wird mit Z p X G displaystyle Z p X G nbsp die Gruppe der Kozykel und mit B p X G displaystyle B p X G nbsp die Gruppe der Korander bezeichnet Beide Gruppen sind Untergruppen von C p X G displaystyle C p X G nbsp Die singulare Kohomologie H p X G displaystyle H p X G nbsp mit Koeffizienten in G displaystyle G nbsp ist dann definiert als die Quotientengruppe 1 H p X G Z p X G B p X G displaystyle H p X G Z p X G B p X G nbsp Direkt aus den Definitionen ergibt sich die folgende Interpretation der Begriffe Kozykel und Korand Eine Kokette ϕ C p X G displaystyle phi C p X rightarrow G nbsp ist ein Kozykel genau dann wenn ϕ displaystyle phi nbsp auf Randern verschwindet also ϕ c 0 displaystyle phi partial c 0 nbsp fur alle c C p 1 X displaystyle c in C p 1 X nbsp gilt Eine Kokette ist ein Korand wenn sie auf Zykeln verschwindet also ϕ z 0 displaystyle phi z 0 nbsp fur alle z C p X displaystyle z in C p X nbsp mit z 0 displaystyle partial z 0 nbsp Insbesondere reprasentieren zwei Kozykel ϕ ϕ C p X R displaystyle phi phi prime C p X rightarrow mathbb R nbsp genau dann dieselbe Kohomologieklasse wenn sie auf allen Zykeln dieselben Werte annehmen also ϕ z ϕ z displaystyle phi z phi prime z nbsp fur alle z C p X displaystyle z in C p X nbsp mit z 0 displaystyle partial z 0 nbsp Die Elemente von H X G displaystyle H X G nbsp werden als Kohomologieklassen mit Koeffizienten in G displaystyle G nbsp bezeichnet Eigenschaften BearbeitenKontravarianter Funktor Bearbeiten Die singulare Kohomologie ist ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der topologischen Raume in die Kategorie der abelschen Gruppen Der Funktor hat also die folgenden zwei Eigenschaften Seien f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp und g Y Z displaystyle g colon Y to Z nbsp zwei stetige Abbildungen zwischen topologischen Raumen Mit f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp werden die induzierten Kohomologiehomomorphismen bezeichnet Dann gilt g f f g displaystyle g circ f f circ g nbsp Ausserdem ist der durch die identische Abbildung induzierte Kohomologiehomomorphismus wieder die identische Abbildung 2 Lange exakte Sequenz Bearbeiten Fur einen topologischen Unterraum Y X displaystyle Y subseteq X nbsp ist der singulare Komplex C Y displaystyle C bullet Y nbsp ein Unterkomplex von C X displaystyle C bullet X nbsp und mit C X Y C X C Y displaystyle C bullet X Y C bullet X C bullet Y nbsp erhalt man eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen die durch Anwendung von Hom G displaystyle operatorname Hom cdot G nbsp eine kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen ergibt 0 C X Y G C X G C Y G 0 displaystyle 0 to C bullet X Y G to C bullet X G to C bullet Y G to 0 nbsp Daraus ergibt sich mit Methoden der homologischen Algebra die lange exakte Kohomologiesequenz H k X Y G H k X G H k Y G H k 1 X Y G H k 1 X G H k 1 Y G displaystyle dots to H k X Y G to H k X G to H k Y G to H k 1 X Y G to H k 1 X G to H k 1 Y G to dots nbsp Die Gruppen H k X Y G displaystyle H k X Y G nbsp heissen relative singulare Kohomologiegruppen Topologische Invariante Bearbeiten Die singularen Kohomologiegruppen sind topologische Invarianten des zugrunde liegenden Raums Seien also X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp zwei topologische Raume und f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp ein Homoomorphismus dann sind fur alle p displaystyle p nbsp und fur jede abelsche Gruppe G displaystyle G nbsp die Kohomologiegruppen H p X G displaystyle H p X G nbsp und H p Y G displaystyle H p Y G nbsp isomorph 2 Homotopie Invarianz Bearbeiten Homotope Abbildungen f g X Y displaystyle f g colon X to Y nbsp induzieren dieselben Abbildungen f g H Y G H X G displaystyle f g colon H Y G to H X G nbsp Homotopieaquivalenzen f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp induzieren Isomorphismen f H Y G H X G displaystyle f colon H Y G to H X G nbsp Mayer Vietoris Sequenz Bearbeiten Sei X A B displaystyle X A cup B nbsp eine nicht disjunkte Zerlegung mit X i n t A i n t B displaystyle X int A cup int B nbsp Dann gibt es eine exakte Sequenz H n X G H n A G H n B G H n A B G H n 1 X G displaystyle cdots rightarrow H n X G rightarrow H n A G oplus H n B G rightarrow H n A cap B G rightarrow H n 1 X G rightarrow cdots nbsp De Rham Kohomologie und Simpliziale Kohomologie Bearbeiten Wenn X displaystyle X nbsp eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist dann ist H X R displaystyle H X mathbb R nbsp isomorph zur De Rham Kohomologie H d R X displaystyle H dR X nbsp Wenn X displaystyle X nbsp homoomorph zur Geometrischen Realisierung K displaystyle mid K mid nbsp eines Simplizialkomplexes K displaystyle K nbsp ist dann ist H X G displaystyle H X G nbsp isomorph zur simplizialen Kohomologie H K G displaystyle H K G nbsp Cup Produkt Bearbeiten Hauptartikel Cup Produkt Im Gegensatz zur singularen Homologie ist es bei singularen Kohomologieklassen moglich auf ihnen ein assoziatives graduiert kommutatives und distributives Produkt zu definieren Dieses wird Cup Produkt genannt und induziert auf den Kohomologiegruppen eine Ringstruktur Siehe auch BearbeitenUniverselles KoeffiziententheoremEinzelnachweise Bearbeiten a b John M Lee Introduction to Topological Manifolds Graduate Texts in Mathematics 202 Springer Verlag New York NY u a 2000 ISBN 0 387 98759 2 S 329 a b John M Lee Introduction to Topological Manifolds Graduate Texts in Mathematics 202 Springer Verlag New York NY u a 2000 ISBN 0 387 98759 2 S 330 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Singulare Kohomologie amp oldid 239334093