Die simpliziale Kohomologie ist in der algebraischen Topologie einem Teilgebiet der Mathematik eine Methode die einem beliebigen Simplizialkomplex eine Folge abelscher Gruppen zuordnet Anschaulich gesprochen zahlt sie die Locher unterschiedlicher Dimension des zugrunde liegenden Raumes Inhaltsverzeichnis 1 Simpliziale Kohomologie 2 Funktorialitat 2 1 Simpliziale Abbildungen 2 2 Stetige Abbildungen 3 Simpliziale Kohomologie mit Koeffizienten 4 Simpliziale versus Singulare Kohomologie 5 LiteraturSimpliziale Kohomologie BearbeitenEin simplizialer Komplex K displaystyle K nbsp ist eine Menge von durch ihre Eckpunkte eindeutig bestimmten Simplizes so dass jede Seitenflache eines der Simplizes wieder in dieser Menge liegt Zu einem Simplizialkomplex K displaystyle K nbsp betrachten wir fur n 0 1 2 displaystyle n 0 1 2 ldots nbsp die freie abelsche Gruppe uber der Menge der n displaystyle n nbsp Simplizes des simplizialen Komplexes C n K displaystyle C n K nbsp Elemente von C n K displaystyle C n K nbsp sind also formale Summen der Form i 1 r a i s i displaystyle sum i 1 r a i sigma i nbsp mit a i Z displaystyle a i in mathbb Z nbsp und s i displaystyle sigma i nbsp ein n displaystyle n nbsp Simplex von K displaystyle K nbsp Dabei wird gefordert dass s i s j displaystyle sigma i sigma j nbsp gilt wenn die Simplizes s i displaystyle sigma i nbsp und s j displaystyle sigma j nbsp umgekehrte Orientierung besitzen Die zugehorige Kokettengruppe C n K displaystyle C n K nbsp wird definiert als C n K H o m C n K Z displaystyle C n K Hom C n K mathbb Z nbsp Offensichtlich ist eine Abbildung f H o m C n K Z displaystyle f in Hom C n K mathbb Z nbsp bereits eindeutig festgelegt durch ihre Werte auf n displaystyle n nbsp Simplizes Die Randabbildung C n K C n 1 K displaystyle partial colon C n K rightarrow C n 1 K nbsp bildet jeden Simplex auf die alternierende Summe seiner Seitenflachen ab das heisst v 0 v n i 0 n 1 i v 0 v i v n displaystyle partial v 0 dots v n sum i 0 n 1 i v 0 ldots hat v i ldots v n nbsp wobei v i displaystyle hat v i nbsp bedeutet dass v i displaystyle v i nbsp ausgelassen wird Sie induziert eine Korandabbildung d C n 1 K C n K displaystyle delta colon C n 1 K rightarrow C n K nbsp durch d f j 1 r a j s j j 1 r a j f s j displaystyle delta f sum j 1 r a j sigma j sum j 1 r a j f partial sigma j nbsp Man rechnet leicht nach dass d d 0 displaystyle delta circ delta 0 nbsp gilt C K d displaystyle C K delta nbsp ist also ein Kokettenkomplex Die Kohomologie dieses Kokettenkomplexes heisst die simpliziale Kohomologie von K displaystyle K nbsp und wird mit H K displaystyle H K nbsp bezeichnet Funktorialitat BearbeitenSimpliziale Abbildungen Bearbeiten Eine simpliziale Abbildung f K L displaystyle f colon K to L nbsp induziert eine Kokettenabbildung f C L C K displaystyle f C L rightarrow C K nbsp durch f c i 1 r a i s i i 1 r a i f s i displaystyle f c sum i 1 r a i sigma i sum i 1 r a i f sigma i nbsp fur c C L displaystyle c in C L nbsp und i 1 r a i s i C K displaystyle textstyle sum i 1 r a i sigma i in C K nbsp und wegen d f f d displaystyle delta f f delta nbsp eine wohldefinierte Abbildung f H L H K displaystyle f H L rightarrow H K nbsp Stetige Abbildungen Bearbeiten Sei f K L displaystyle f vert K vert to vert L vert nbsp eine stetige Abbildung zwischen den geometrischen Realisierungen zweier Simplizialkomplexe K displaystyle K nbsp und L displaystyle L nbsp Wir bezeichnen mit B d K displaystyle Bd K nbsp die baryzentrische Unterteilung von K displaystyle K nbsp und mit B d n K displaystyle Bd n K nbsp die n displaystyle n nbsp fach iterierte baryzentrische Unterteilung Es gilt B d n K K displaystyle vert Bd n K vert vert K vert nbsp Nach dem simplizialen Approximationssatz gibt es ein n N displaystyle n in mathbb N nbsp so dass f B d n K L displaystyle f vert Bd n K vert to vert L vert nbsp eine simpliziale Approximation g B d n K L displaystyle g Bd n K rightarrow L nbsp besitzt Dann wird f H L H K displaystyle f H L rightarrow H K nbsp definiert als die Verknupfung von g displaystyle g nbsp mit dem kanonischen Isomorphismus H K H B d n K displaystyle H K simeq H Bd n K nbsp Man kann zeigen dass der so definierte Homomorphismus f displaystyle f nbsp unabhangig von der Wahl der simplizialen Approximation ist Simpliziale Kohomologie mit Koeffizienten BearbeitenFur eine abelsche Gruppe G displaystyle G nbsp und einen Simplizialkomplex K displaystyle K nbsp definiert man C K G H o m C K Z G displaystyle C K G Hom C K mathbb Z G nbsp Der Korandoperator d C n K G C n 1 K G displaystyle delta colon C n K G to C n 1 K G nbsp wird wieder definiert als d f i 1 r a i s i j 1 r 1 j i 1 r a i f i s j displaystyle delta f sum i 1 r a i sigma i sum j 1 r 1 j sum i 1 r a i f partial i sigma j nbsp Die Kohomologie mit Koeffizienten in G H X G displaystyle H X G nbsp ist definiert als die Kohomologie des Kokettenkomplexes C X G d displaystyle C X G delta nbsp Simpliziale versus Singulare Kohomologie BearbeitenDie simpliziale Kohomologie eines Simplizialkomplexes ist isomorph zur singularen Kohomologie seiner geometrischen Realisierung H K G H K G displaystyle H K G H vert K vert G nbsp Literatur BearbeitenStocker Ralph Zieschang Heiner Algebraische Topologie Eine Einfuhrung 2 Auflage Mathematische Leitfaden B G Teubner Stuttgart 1994 ISBN 3 519 12226 X Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Simpliziale Kohomologie amp oldid 227468403
