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Kettenkomplex Ein Ko in der Mathematik ist eine Folge von abelschen Gruppen oder R displaystyle R Moduln oder noch allge

Kettenkomplex

Ein (Ko-)Kettenkomplex in der Mathematik ist eine Folge von abelschen Gruppen oder -Moduln oder – noch allgemeiner – Objekten in einer abelschen Kategorie, die durch Abbildungen kettenartig verknüpft sind.

Definition Bearbeiten

Kettenkomplex Bearbeiten

Ein Kettenkomplex besteht aus einer Folge

von -Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

von -Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

für alle n gilt. Der Operator heißt Randoperator. Elemente von heißen n-Ketten. Elemente von

heißen n-Zykel bzw. n-Ränder. Aufgrund der Bedingung ist jeder Rand ein Zykel. Der Quotient

heißt n-te Homologiegruppe (Homologieobjekt) von , ihre Elemente heißen Homologieklassen. Zykel, die in derselben Homologieklasse liegen, heißen homolog.

Kokettenkomplex Bearbeiten

Ein Kokettenkomplex besteht aus einer Folge

von -Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

von -Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

für alle n gilt. Elemente von heißen n-Koketten. Elemente von

heißen n-Kozykel bzw. n-Koränder. Aufgrund der Bedingung ist jeder Korand ein Kozykel. Der Quotient

heißt n-te Kohomologiegruppe (Kohomologieobjekt) von , ihre Elemente Kohomologieklassen. Kozykel, die in derselben Kohomologieklasse liegen, heißen kohomolog.

Doppelkomplex Bearbeiten

Ein Doppelkomplex

Ein Doppelkomplex    in der abelschen Kategorie A ist im Wesentlichen ein Kettenkomplex in der abelschen Kategorie der Kettenkomplexe in A. Etwas genauer besteht    aus Objekten

zusammen mit Morphismen

die die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

Der Totalkomplex    des Doppelkomplex    ist der Kettenkomplex gegeben durch

mit der folgenden Randabbildung: für    mit    ist

Doppelkomplexe werden unter anderem benötigt, um zu beweisen, dass der Wert von nicht davon abhängt, ob man M auflöst oder N.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Ein Kettenkomplex ist genau dann exakt an der Stelle , wenn ist, entsprechend für Kokettenkomplexe. Die (Ko-)Homologie misst also, wie stark ein (Ko-)Kettenkomplex von der Exaktheit abweicht.
  • Ein Kettenkomplex heißt azyklisch, wenn alle seine Homologiegruppen verschwinden, er also exakt ist.

Kettenhomomorphismus Bearbeiten

Eine Funktion

heißt (Ko-)Kettenhomomorphismus, oder einfach nur Kettenabbildung, falls sie aus einer Folge von Gruppenhomomorphismen besteht, welche mit dem Randoperator vertauscht. Das heißt für den Kettenhomomorphismus:

Für den Kokettenhomomorphismus gilt entsprechend

Diese Bedingung stellt sicher, dass Zykel auf Zykel und Ränder auf Ränder abbildet.

Kettenkomplexe bilden zusammen mit den Kettenhomomorphismen die Kategorie Ch(MOD R) der Kettenkomplexe.

Euler-Charakteristik Bearbeiten

Es sei ein Kokettenkomplex aus -Moduln über einem Ring . Sind nur endlich viele Kohomologiegruppen nichttrivial, und sind diese endlichdimensional, so ist die Euler-Charakteristik des Komplexes definiert als die ganze Zahl

Sind auch die einzelnen Komponenten endlichdimensional und nur endlich viele von ihnen nichttrivial, so ist auch

Im Spezialfall eines Komplexes mit nur zwei nichttrivialen Einträgen ist diese Aussage der Rangsatz.

Etwas allgemeiner nennt man einen Kettenkomplex perfekt, wenn nur endlich viele Komponenten nichttrivial sind und jede Komponente ein endlich erzeugter projektiver Modul ist. Die Dimension ist dann durch die zugehörige Äquivalenzklasse in der K0-Gruppe von zu ersetzen und man definiert als Euler-Charakteristik

Ist jeder projektive Modul frei, etwa wenn ein Körper oder ein Hauptidealring ist, so kann man von Dimensionen reden und erhält mit . Dann fällt diese allgemeinere Definition mit der zuerst gegebenen zusammen.

Beispiele Bearbeiten

Legt man die Indizes so fest, dass sich in Grad 0 und in Grad 1 befindet, so ist
Die Euler-Charakteristik
von wird in der Theorie der Fredholm-Operatoren der Fredholm-Index von genannt. Dabei bezeichnet den Kokern von .

Literatur Bearbeiten

  • Peter John Hilton, Urs Stammbach: A Course in Homological Algebra (Graduate Texts in Mathematics 4). Springer, New York u. a. 1971, ISBN 0-387-90033-0.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. S. 7–8 in Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5.
  2. Abschnitt 2.7 in Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5.
  3. J. Cuntz, R. Meyer, J. Rosenberg: Topological and Bivariant K-Theory, Birkhäuser Verlag (2007), ISBN 3-764-38398-4, Definition 1.31
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Veröffentlichungsdatum:
Ein Ko Kettenkomplex in der Mathematik ist eine Folge von abelschen Gruppen oder R displaystyle R Moduln oder noch allgemeiner Objekten in einer abelschen Kategorie die durch Abbildungen kettenartig verknupft sind Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Kettenkomplex 1 2 Kokettenkomplex 1 3 Doppelkomplex 2 Eigenschaften 3 Kettenhomomorphismus 4 Euler Charakteristik 5 Beispiele 6 Literatur 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenKettenkomplex Bearbeiten Ein Kettenkomplex besteht aus einer Folge C n n Z displaystyle C n n in mathbb Z nbsp von R displaystyle R nbsp Moduln abelschen Gruppen Objekten einer abelschen Kategorie A und einer Folge d n C n C n 1 displaystyle d n colon C n rightarrow C n 1 nbsp von R displaystyle R nbsp Modul Homomorphismen Gruppenhomomorphismen Morphismen in A so dass d n d n 1 0 displaystyle d n circ d n 1 0 nbsp fur alle n gilt Der Operator d n displaystyle mathrm d n nbsp heisst Randoperator Elemente von C n displaystyle C n nbsp heissen n Ketten Elemente von Z n C d ker d n C n displaystyle Z n C d ker d n subseteq C n nbsp bzw B n C d i m d n 1 C n displaystyle B n C d mathop mathrm im d n 1 subseteq C n nbsp heissen n Zykel bzw n Rander Aufgrund der Bedingung d n d n 1 0 displaystyle d n d n 1 0 nbsp ist jeder Rand ein Zykel Der Quotient H n C d Z n C d B n C d displaystyle H n C d Z n C d B n C d nbsp heisst n te Homologiegruppe Homologieobjekt von C d displaystyle C d nbsp ihre Elemente heissen Homologieklassen Zykel die in derselben Homologieklasse liegen heissen homolog Kokettenkomplex Bearbeiten Ein Kokettenkomplex besteht aus einer Folge C n n Z displaystyle C n n in mathbb Z nbsp von R displaystyle R nbsp Moduln abelschen Gruppen Objekten einer abelschen Kategorie A und einer Folge d n C n C n 1 displaystyle d n colon C n rightarrow C n 1 nbsp von R displaystyle R nbsp Modul Homomorphismen Gruppenhomomorphismen Morphismen in A so dass d n d n 1 0 displaystyle d n circ d n 1 0 nbsp fur alle n gilt Elemente von C n displaystyle C n nbsp heissen n Koketten Elemente von Z n ker d n C n displaystyle Z n ker d n subseteq C n nbsp bzw B n im d n 1 C n displaystyle B n operatorname im d n 1 subseteq C n nbsp heissen n Kozykel bzw n Korander Aufgrund der Bedingung d n d n 1 0 displaystyle d n d n 1 0 nbsp ist jeder Korand ein Kozykel Der Quotient H n C d Z n C d B n C d displaystyle H n C d Z n C d B n C d nbsp heisst n te Kohomologiegruppe Kohomologieobjekt von C d displaystyle C d nbsp ihre Elemente Kohomologieklassen Kozykel die in derselben Kohomologieklasse liegen heissen kohomolog Doppelkomplex Bearbeiten nbsp Ein DoppelkomplexEin Doppelkomplex 1 D displaystyle D nbsp in der abelschen Kategorie A ist im Wesentlichen ein Kettenkomplex in der abelschen Kategorie der Kettenkomplexe in A Etwas genauer besteht D displaystyle D nbsp aus Objekten D p q ob A p q Z displaystyle D p q in operatorname ob A quad p q in mathbb Z nbsp zusammen mit Morphismen D p q d D p 1 q displaystyle D p q xrightarrow d D p 1 q nbsp und D p q d D p q 1 p q Z displaystyle D p q xrightarrow d D p q 1 quad forall p q in mathbb Z nbsp die die folgenden drei Bedingungen erfullen d d 0 d d 0 d d d d 0 displaystyle d circ d 0 quad d circ d 0 quad d circ d d circ d 0 nbsp Der Totalkomplex Tot D displaystyle operatorname Tot D nbsp des Doppelkomplex D displaystyle D nbsp ist der Kettenkomplex gegeben durch Tot D n p q n D p q displaystyle operatorname Tot D n bigoplus p q n D p q nbsp mit der folgenden Randabbildung fur x D p q displaystyle x in D p q nbsp mit p q n displaystyle p q n nbsp ist d n x d x d x D p 1 q D p q 1 Tot D n 1 displaystyle d n x d x d x in D p 1 q oplus D p q 1 subseteq operatorname Tot D n 1 nbsp Doppelkomplexe werden unter anderem benotigt um zu beweisen dass der Wert von Tor R M N displaystyle operatorname Tor R M N nbsp nicht davon abhangt ob man M auflost oder N 2 Eigenschaften BearbeitenEin Kettenkomplex C d displaystyle C bullet d bullet nbsp ist genau dann exakt an der Stelle i displaystyle i nbsp wenn H i C d 0 displaystyle H i C bullet d bullet 0 nbsp ist entsprechend fur Kokettenkomplexe Die Ko Homologie misst also wie stark ein Ko Kettenkomplex von der Exaktheit abweicht Ein Kettenkomplex heisst azyklisch wenn alle seine Homologiegruppen verschwinden er also exakt ist Kettenhomomorphismus BearbeitenEine Funktion f A d A B d B displaystyle f colon A bullet d A bullet to B bullet d B bullet nbsp heisst Ko Kettenhomomorphismus oder einfach nur Kettenabbildung falls sie aus einer Folge von Gruppenhomomorphismen f n A n B n displaystyle f n colon A n rightarrow B n nbsp besteht welche mit dem Randoperator d displaystyle d nbsp vertauscht Das heisst fur den Kettenhomomorphismus d B n f n f n 1 d A n displaystyle d B n circ f n f n 1 circ d A n nbsp Fur den Kokettenhomomorphismus gilt entsprechend d B n f n f n 1 d A n displaystyle d B n circ f n f n 1 circ d A n nbsp Diese Bedingung stellt sicher dass f displaystyle f nbsp Zykel auf Zykel und Rander auf Rander abbildet Kettenkomplexe bilden zusammen mit den Kettenhomomorphismen die Kategorie Ch MOD R der Kettenkomplexe Euler Charakteristik BearbeitenEs sei C d displaystyle C d nbsp ein Kokettenkomplex aus R displaystyle R nbsp Moduln uber einem Ring R displaystyle R nbsp Sind nur endlich viele Kohomologiegruppen nichttrivial und sind diese endlichdimensional so ist die Euler Charakteristik des Komplexes definiert als die ganze Zahl x C d i 1 i dim K H i C d Z displaystyle chi C d sum i 1 i dim K mathrm H i C d in mathbb Z nbsp Sind auch die einzelnen Komponenten C i displaystyle C i nbsp endlichdimensional und nur endlich viele von ihnen nichttrivial so ist auch x C d i 1 i dim K C i Z displaystyle chi C d sum i 1 i dim K C i in mathbb Z nbsp Im Spezialfall eines Komplexes C 0 C 1 displaystyle C 0 to C 1 nbsp mit nur zwei nichttrivialen Eintragen ist diese Aussage der Rangsatz Etwas allgemeiner nennt man einen Kettenkomplex perfekt wenn nur endlich viele Komponenten C i displaystyle C i nbsp nichttrivial sind und jede Komponente ein endlich erzeugter projektiver Modul ist Die Dimension ist dann durch die zugehorige Aquivalenzklasse in der K0 Gruppe von R displaystyle R nbsp zu ersetzen und man definiert als Euler Charakteristik x C d i 1 i C i K 0 R displaystyle chi C d sum i 1 i C i in K 0 R nbsp 3 Ist jeder projektive Modul frei etwa wenn R displaystyle R nbsp ein Korper oder ein Hauptidealring ist so kann man von Dimensionen reden und erhalt K 0 R Z displaystyle K 0 R cong mathbb Z nbsp mit R n n displaystyle R n mathrel hat n nbsp Dann fallt diese allgemeinere Definition mit der zuerst gegebenen zusammen Beispiele BearbeitenSimplizialkomplex Der singulare Kettenkomplex zur Definition der singularen Homologie und der singularen Kohomologie topologischer Raume Gruppen ko homologie Jeder Homomorphismus f A B displaystyle f colon A to B nbsp definiert einen Kokettenkomplex C d 0 0 A B 0 0 displaystyle C d ldots to 0 to 0 to A to B to 0 to 0 to ldots nbsp dd Legt man die Indizes so fest dass sich A displaystyle A nbsp in Grad 0 und B displaystyle B nbsp in Grad 1 befindet so istH 0 C d ker f displaystyle H 0 C d ker f nbsp und H 1 C d c o k e r f displaystyle H 1 C d mathrm coker f nbsp dd Die Euler Charakteristikdim ker f dim c o k e r f displaystyle dim ker f dim mathrm coker f nbsp dd von C d displaystyle C d nbsp wird in der Theorie der Fredholm Operatoren der Fredholm Index von f displaystyle f nbsp genannt Dabei bezeichnet c o k e r f displaystyle mathrm coker f nbsp den Kokern von f displaystyle f nbsp Ein elliptischer Komplex oder ein Dirac Komplex ist ein Kokettenkomplex der in der Globalen Analysis von Bedeutung ist Diese treten zum Beispiel im Zusammenhang mit dem Atiyah Bott Fixpunktsatz auf Literatur BearbeitenPeter John Hilton Urs Stammbach A Course in Homological Algebra Graduate Texts in Mathematics 4 Springer New York u a 1971 ISBN 0 387 90033 0 Einzelnachweise Bearbeiten S 7 8 in Charles A Weibel An introduction to homological algebra Cambridge Studies in Advanced Mathematics Band 38 Cambridge University Press 1994 ISBN 0 521 43500 5 Abschnitt 2 7 in Charles A Weibel An introduction to homological algebra Cambridge Studies in Advanced Mathematics Band 38 Cambridge University Press 1994 ISBN 0 521 43500 5 J Cuntz R Meyer J Rosenberg Topological and Bivariant K Theory Birkhauser Verlag 2007 ISBN 3 764 38398 4 Definition 1 31 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kettenkomplex amp oldid 211294244 Kokettenkomplex