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Atiyah Bott Fixpunktsatz Der wurde 1966 von Michael Atiyah und Raoul Bott bewiesen und verallgemeinert den Fixpunktsatz

Atiyah-Bott-Fixpunktsatz

Der Atiyah-Bott-Fixpunktsatz wurde 1966 von Michael Atiyah und Raoul Bott bewiesen und verallgemeinert den Fixpunktsatz von Lefschetz für glatte Mannigfaltigkeiten.

Vorbemerkungen Bearbeiten

Sei eine glatte, geschlossene Mannigfaltigkeit, dann ist die Lefschetz-Zahl

einer stetigen Selbstabbildung definiert. Mit wird die durch induzierte Abbildung bezeichnet. Die Lefschetz-Zahl ist wohldefiniert, denn die singulären Homologien einer glatten, kompakten Mannigfaltigkeit sind als Vektorräume endlichdimensional. Der Atiyah-Bott-Fixpunktsatz verallgemeinert diese Aussage nun auf eine Klasse von Kohomologien und gibt eine Formel zur Berechnung der Lefschetz-Zahl.

Sei ein elliptischer Komplex. Das heißt, ist eine Folge glatter Vektorbündel und eine Folge (geometrischer) Differentialoperatoren, so dass

  1. gilt und
  2. die Sequenz exakt ist. Dabei bezeichnet das Vektorbündel über dem Kotangentialbündel das durch induziert wird, und das Hauptsymbol von

Aufgrund der ersten Eigenschaft kann man aus jedem elliptischen Komplex eine Kohomologie gewinnen und aufgrund der zweiten Eigenschaft sind die Kohomologien endlichdimensional. Sei ein Kettenendomorphismus. Dieser induziert einen Endomorphismus von Kohomologien In Analogie zur Lefschetz-Zahl definiert man

Sei eine differenzierbare Funktion, deren Graph zur Diagonalen in transversal ist. Die Fixpunkte von sind gerade die Schnittpunkte des Graphen mit der Diagonalen. Aus der Transversalität folgt für alle Fixpunkte dass gilt, wobei die Ableitung von am Punkt ist. Ein Lift von über einem elliptischen Komplex ist eine Folge von Bündelhomomorphismen, so dass für mit

die Identität gilt. Insbesondere ist dann ein Endomorphismus von Schnitten in dem elliptischen Komplex .

Atiyah-Bott-Fixpunktformel Bearbeiten

Sei eine glatte, geschlossene Mannigfaltigkeit und eine differenzierbare Abbildung, so dass ihr Graph transversal zur Diagonalen von ist. Sei außerdem ein elliptischer Komplex, ein Lift von und der durch definierte Endomorphismus. Dann ist die Lefschetz-Zahl durch

bestimmt, wobei die Spur von an einem Fixpunkt von meint und die Ableitung von in ist.

Eine Anwendung des Atiyah-Bott-Fixpunktsatzes ist ein einfacher Beweis der Weylschen Charakterformel für die Darstellung von Liegruppen.

Spezialfall Bearbeiten

Sei der De-Rham-Komplex, hierbei ist die Algebra der Differentialformen und die Cartan-Ableitung. Dies ist ein elliptischer Komplex, daher kann man die Fixpunktformel auf diesen Komplex anwenden. Sei wieder eine differenzierbare Abbildung, so dass ihr Graph transversal zur Diagonalen von ist und der entsprechende Lift. Dann gilt für den Index

Da differenzierbar ist und nur isolierte Fixpunkte hat entspricht dies der Fixpunktformel von Lefschetz.

Geschichte Bearbeiten

Die frühe Geschichte ist mit dem Atiyah-Singer-Indexsatz verbunden. Im engeren Sinn entstanden die ersten Ideen auf einer Konferenz 1964 in Woods Hole, Massachusetts (deshalb auch Woods Hole Fixpunktsatz genannt). Anscheinend stammt der ursprüngliche Anlass aus einer Bemerkung von Martin Eichler über den Zusammenhang von Fixpunktsätzen und automorphen Formen, was Gorō Shimura auf der Konferenz Raoul Bott erläuterte. Er vermutete die Existenz eines Lefschetz-Fixpunktsatzes für holomorphe Abbildungen.

Literatur Bearbeiten

  • Michael F. Atiyah, Raoul Bott: A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Differential Operators. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Bd. 72, Nr. 2, 1966, S. 245–250, (online).
  • Michael F. Atiyah, Raoul Bott: A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: I. In: Annals of Mathematics. Series 2, Bd. 86, Nr. 2, Sept. 1967 S. 374–407, doi:10.2307/1970694.
  • Michael F. Atiyah, Raoul Bott: A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: II. Applications. In: Annals of Mathematics. Series 2, Bd. 88, Nr. 3, Nov. 1968, S. 451–491, doi:10.2307/1970721, (Beweise und Anwendungen).
  • Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat Kernels and Dirac Operators. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20062-2, Kap. 6. 2.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Der Atiyah Bott Fixpunktsatz wurde 1966 von Michael Atiyah und Raoul Bott bewiesen und verallgemeinert den Fixpunktsatz von Lefschetz fur glatte Mannigfaltigkeiten Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 2 Atiyah Bott Fixpunktformel 3 Spezialfall 4 Geschichte 5 Literatur 6 WeblinksVorbemerkungen BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine glatte geschlossene Mannigfaltigkeit dann ist die Lefschetz Zahl L f i 0 1 i T r f i H i M Q displaystyle L f sum i geq 0 1 i mathrm Tr f i H i M mathbb Q nbsp einer stetigen Selbstabbildung f M M displaystyle f colon M to M nbsp definiert Mit f i displaystyle f i nbsp wird die durch f displaystyle f nbsp induzierte Abbildung f i H i M Q H i M Q displaystyle f i colon H i M mathbb Q to H i M mathbb Q nbsp bezeichnet Die Lefschetz Zahl ist wohldefiniert denn die singularen Homologien H i M Q displaystyle H i M mathbb Q nbsp einer glatten kompakten Mannigfaltigkeit sind als Vektorraume endlichdimensional Der Atiyah Bott Fixpunktsatz verallgemeinert diese Aussage nun auf eine Klasse von Kohomologien und gibt eine Formel zur Berechnung der Lefschetz Zahl Sei E d displaystyle E mathrm d nbsp ein elliptischer Komplex Das heisst E p i E i M i Z displaystyle E pi i colon E i to M i in mathbb Z nbsp ist eine Folge glatter Vektorbundel und d d i G E i G E i 1 i Z displaystyle mathrm d mathrm d i colon Gamma E i to Gamma E i 1 i in mathbb Z nbsp eine Folge geometrischer Differentialoperatoren so dass d i 1 d i 0 displaystyle mathrm d i 1 circ mathrm d i 0 nbsp gilt und die Sequenz p E i s d i p E i 1 displaystyle ldots to pi E i stackrel sigma mathrm d i longrightarrow pi E i 1 to ldots nbsp exakt ist Dabei bezeichnet p E i displaystyle pi E i nbsp das Vektorbundel uber dem Kotangentialbundel T M displaystyle T M nbsp das durch p T M M displaystyle pi colon T M to M nbsp induziert wird und s d i displaystyle sigma mathrm d i nbsp das Hauptsymbol von d i displaystyle mathrm d i nbsp Aufgrund der ersten Eigenschaft kann man aus jedem elliptischen Komplex eine Kohomologie K displaystyle K nbsp gewinnen und aufgrund der zweiten Eigenschaft sind die Kohomologien endlichdimensional Sei T T i i Z E d E d displaystyle T T i i in mathbb Z colon E mathrm d to E mathrm d nbsp ein Kettenendomorphismus Dieser induziert einen Endomorphismus von Kohomologien K T K G E K G E displaystyle K T colon K Gamma E to K Gamma E nbsp In Analogie zur Lefschetz Zahl definiert man L T i 0 1 i T r K i T displaystyle L T colon sum i geq 0 1 i mathrm Tr K i T nbsp Sei f M M displaystyle f colon M rightarrow M nbsp eine differenzierbare Funktion deren Graph zur Diagonalen in M M displaystyle M times M nbsp transversal ist Die Fixpunkte von f displaystyle f nbsp sind gerade die Schnittpunkte des Graphen mit der Diagonalen Aus der Transversalitat folgt fur alle Fixpunkte x displaystyle x nbsp dass det I D f x 0 displaystyle det I Df x neq 0 nbsp gilt wobei D f x displaystyle Df x nbsp die Ableitung von f displaystyle f nbsp am Punkt x displaystyle x nbsp ist Ein Lift ϕ ϕ i i displaystyle phi phi i i nbsp von f displaystyle f nbsp uber einem elliptischen Komplex ist eine Folge ϕ i f E i E i i displaystyle phi i colon f E i to E i i nbsp von Bundelhomomorphismen so dass fur T i G ϕ i f G E i G E i displaystyle T i Gamma phi i circ f colon Gamma E i to Gamma E i nbsp mit G E i f G f E i G ϕ i G E i displaystyle Gamma E i stackrel f longrightarrow Gamma f E i stackrel Gamma phi i longrightarrow Gamma E i nbsp die Identitat T i 1 d i d i T i displaystyle T i 1 mathrm d i mathrm d i T i nbsp gilt Insbesondere ist dann T T i i G E G E displaystyle T colon T i i Gamma E to Gamma E nbsp ein Endomorphismus von Schnitten in dem elliptischen Komplex E d displaystyle E mathrm d nbsp Atiyah Bott Fixpunktformel BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine glatte geschlossene Mannigfaltigkeit und f M M displaystyle f colon M to M nbsp eine differenzierbare Abbildung so dass ihr Graph transversal zur Diagonalen von M M displaystyle M times M nbsp ist Sei ausserdem E d displaystyle E mathrm d nbsp ein elliptischer Komplex ϕ displaystyle phi nbsp ein Lift von f displaystyle f nbsp und T G E G E displaystyle T Gamma E to Gamma E nbsp der durch T G ϕ f displaystyle T Gamma phi circ f nbsp definierte Endomorphismus Dann ist die Lefschetz Zahl L T displaystyle L T nbsp durch L T x M f x x i 1 i Spur ϕ i x det I D f x displaystyle L T sum x in M f x x frac sum i 1 i operatorname Spur phi i x det I Df x nbsp bestimmt wobei Spur ϕ j x displaystyle operatorname Spur phi j x nbsp die Spur von ϕ j displaystyle phi j nbsp an einem Fixpunkt x displaystyle x nbsp von f displaystyle f nbsp meint und D f x displaystyle Df x nbsp die Ableitung von f displaystyle f nbsp in x displaystyle x nbsp ist Eine Anwendung des Atiyah Bott Fixpunktsatzes ist ein einfacher Beweis der Weylschen Charakterformel fur die Darstellung von Liegruppen Spezialfall BearbeitenSei A M d displaystyle mathcal A M mathrm d nbsp der De Rham Komplex hierbei ist A M G L T M displaystyle mathcal A M Gamma Lambda T M nbsp die Algebra der Differentialformen und d displaystyle mathrm d nbsp die Cartan Ableitung Dies ist ein elliptischer Komplex daher kann man die Fixpunktformel auf diesen Komplex anwenden Sei f M M displaystyle f colon M to M nbsp wieder eine differenzierbare Abbildung so dass ihr Graph transversal zur Diagonalen von M M displaystyle M times M nbsp ist und ϕ L T M L T M displaystyle phi colon Lambda T M to Lambda T M nbsp der entsprechende Lift Dann gilt fur den Index L T x M f x x det I D f x det I D f x displaystyle L T sum x in M f x x frac det I Df x det I Df x nbsp Da f displaystyle f nbsp differenzierbar ist und nur isolierte Fixpunkte hat entspricht dies der Fixpunktformel von Lefschetz Geschichte BearbeitenDie fruhe Geschichte ist mit dem Atiyah Singer Indexsatz verbunden Im engeren Sinn entstanden die ersten Ideen auf einer Konferenz 1964 in Woods Hole Massachusetts deshalb auch Woods Hole Fixpunktsatz genannt Anscheinend stammt der ursprungliche Anlass aus einer Bemerkung von Martin Eichler uber den Zusammenhang von Fixpunktsatzen und automorphen Formen was Gorō Shimura auf der Konferenz Raoul Bott erlauterte Er vermutete die Existenz eines Lefschetz Fixpunktsatzes fur holomorphe Abbildungen Literatur BearbeitenMichael F Atiyah Raoul Bott A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Differential Operators In Bulletin of the American Mathematical Society Bd 72 Nr 2 1966 S 245 250 online Michael F Atiyah Raoul Bott A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes I In Annals of Mathematics Series 2 Bd 86 Nr 2 Sept 1967 S 374 407 doi 10 2307 1970694 Michael F Atiyah Raoul Bott A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes II Applications In Annals of Mathematics Series 2 Bd 88 Nr 3 Nov 1968 S 451 491 doi 10 2307 1970721 Beweise und Anwendungen Nicole Berline Ezra Getzler Michele Vergne Heat Kernels and Dirac Operators Springer Berlin u a 2004 ISBN 3 540 20062 2 Kap 6 2 Weblinks BearbeitenAbschnitt in Aufsatz uber Botts Werk von Tu englisch Treffen zum 35 Geburtstag des Theorems in Woods Hole englisch Memento vom 6 Januar 2004 im Internet Archive Vortrag von McPherson zur Woods Hole Konferenz englisch PDF Datei 560 kB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Atiyah Bott Fixpunktsatz amp oldid 232731273