Dieser Artikel behandelt die aussere Ableitung von Differentialformen Fur die aussere Ableitung als Bezeichnung fur die Ableitung der ausseren Funktion einer Verkettung siehe Kettenregel Die aussere Ableitung oder Cartan Ableitung ist ein Begriff aus den Bereichen Differentialgeometrie und Analysis Sie verallgemeinert die aus der Analysis bekannte Ableitung von Funktionen auf Differentialformen Der Name Cartan Ableitung erklart sich daher dass Elie Cartan 1869 1952 der Begrunder der Theorie der Differentialformen ist Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Formel fur die aussere Ableitung 2 2 Koordinatendarstellung 2 3 Darstellung uber Antisymmetrisierungsabbildung 2 4 Rucktransport 3 Adjungierte aussere Ableitung 4 Verallgemeinerung weiterer Differentialoperatoren 4 1 Be und Kreuz Flat und Sharp Isomorphismus 4 2 Kreuzprodukt 4 3 Gradient 4 4 Rotation 4 5 Divergenz 5 Hodge Laplace Operator 5 1 Definition 5 2 Eigenschaften 6 Dolbeault Operator 7 Literatur 8 FussnotenDefinition BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine n displaystyle n nbsp dimensionale glatte Mannigfaltigkeit und U displaystyle U nbsp eine offene Teilmenge Mit A k M displaystyle mathcal A k M nbsp wird hier der Raum der k displaystyle k nbsp Formen auf der Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp bezeichnet So gibt es dann fur alle k N 0 displaystyle k in mathbb N cup 0 nbsp genau eine Funktion d A k U A k 1 U displaystyle mathrm d colon mathcal A k U to mathcal A k 1 U nbsp so dass die folgenden Eigenschaften gelten d displaystyle mathrm d nbsp ist eine Antiderivation das heisst fur a A k U displaystyle alpha in mathcal A k U nbsp und b A l U displaystyle beta in mathcal A l U nbsp gilt d a b d a b 1 k a d b displaystyle mathrm d alpha wedge beta mathrm d alpha wedge beta 1 k alpha wedge mathrm d beta nbsp Sei f C U displaystyle f in C infty U nbsp dann ist d f displaystyle mathrm d f nbsp definiert als das totale Differential d d 0 displaystyle mathrm d circ mathrm d 0 nbsp Der Operator verhalt sich naturlich in Bezug auf Einschrankungen das heisst Sind U V M displaystyle U subset V subset M nbsp offene Mengen und a A k V displaystyle alpha in mathcal A k V nbsp so gilt d a U d a U displaystyle mathrm d alpha U mathrm d alpha U nbsp Es muss naturlich bewiesen werden dass ein solcher Operator existiert und eindeutig ist Dieser tragt den Namen aussere Ableitung oder Cartan Ableitung und wird meistens mit d displaystyle mathrm d nbsp bezeichnet Man verzichtet also auf den Index welcher den Grad der Differentialform angibt auf welche der Operator angewendet wird Eigenschaften BearbeitenFormel fur die aussere Ableitung Bearbeiten Man kann die aussere Ableitung auch mit Hilfe der Formel d w X 0 X k i 0 k 1 i X i w X 0 X i X k 0 i lt j k 1 i j w X i X j X 0 X i X j X k displaystyle begin array rcl mathrm d omega X 0 ldots X k amp amp sum i 0 k 1 i X i omega X 0 ldots hat X i ldots X k 0 5em amp amp sum 0 leq i lt j leq k 1 i j omega X i X j X 0 ldots hat X i ldots hat X j ldots X k end array nbsp darstellen dabei bedeutet das Zirkumflex displaystyle hat nbsp in X i displaystyle hat X i nbsp dass das entsprechende Argument wegzulassen ist displaystyle nbsp bezeichnet die Lie Klammer Koordinatendarstellung Bearbeiten Sei p M displaystyle p in M nbsp ein Punkt auf einer glatten Mannigfaltigkeit Die aussere Ableitung von w A k M displaystyle omega in mathcal A k M nbsp hat in diesem Punkt die Darstellung d w p 1 i 1 lt lt i k n i 1 n a i 1 i k x i p d x i d x i 1 d x i k displaystyle mathrm d omega p sum 1 leq i 1 lt ldots lt i k leq n sum i 1 n left frac partial a i 1 ldots i k partial x i right p mathrm d x i wedge mathrm d x i 1 wedge ldots wedge mathrm d x i k nbsp dabei hat w displaystyle omega nbsp die lokale Darstellung w 1 i 1 lt lt i k n a i 1 i k d x i 1 d x i k displaystyle omega sum 1 leq i 1 lt ldots lt i k leq n a i 1 ldots i k mathrm d x i 1 wedge ldots wedge mathrm d x i k nbsp Darstellung uber Antisymmetrisierungsabbildung Bearbeiten Die aussere Ableitung d 0 displaystyle mathrm d 0 nbsp von 0 displaystyle 0 nbsp Formen ist einfach durch die totale Ableitung gegeben und stets kovariant siehe auch kovariante Ableitung und antisymmetrisch Die aussere Ableitung einer k displaystyle k nbsp Form w displaystyle omega nbsp kann bis auf ein Vielfaches als Antisymmetrisierung des formalen Tensorprodukts von d 0 displaystyle mathrm d 0 nbsp mit der Form angesehen werden d k w k 1 Alt d 0 w displaystyle mathrm d k omega k 1 operatorname Alt mathrm d 0 otimes omega nbsp In Indexnotation d k w i 1 i k 1 k 1 i 1 w i 2 i k 1 displaystyle mathrm d k omega i 1 ldots i k 1 k 1 partial i 1 omega i 2 ldots i k 1 nbsp 1 Rucktransport Bearbeiten Seien M N displaystyle M N nbsp zwei glatte Mannigfaltigkeiten und f M N displaystyle f colon M to N nbsp eine einmal stetig differenzierbare Funktion Dann ist der Rucktransport f A N A M displaystyle f colon mathcal A N to mathcal A M nbsp ein Homomorphismus so dass f ps w f ps f w displaystyle f psi wedge omega f psi wedge f omega nbsp und f d w d f w displaystyle f mathrm d omega mathrm d f omega nbsp gilt In Worten sagt man auch Produktbildung bzw aussere Differentiation sind mit der pullback Relation vertraglich Adjungierte aussere Ableitung BearbeitenSei in diesem Abschnitt M g displaystyle M g nbsp eine pseudo riemannsche Mannigfaltigkeit mit Index i displaystyle i nbsp Mit displaystyle star nbsp wird im Folgenden der Hodge Stern Operator bezeichnet Der Operator d A k 1 M A k M displaystyle delta colon mathcal A k 1 M to mathcal A k M nbsp ist definiert durch d A 0 M 0 displaystyle delta mathcal A 0 M 0 nbsp und fur b A k 1 M displaystyle beta in mathcal A k 1 M nbsp durch d b 1 n k 1 i d b displaystyle delta beta 1 nk 1 i star mathrm d star beta nbsp Er wird als adjungierte aussere Ableitung oder Koableitung bezeichnet Dieser Operator ist linear und es gilt d d 0 displaystyle delta circ delta 0 nbsp In der Tat ist d displaystyle delta nbsp der zu d displaystyle mathrm d nbsp adjungierte Operator Ist die Mannigfaltigkeit zusatzlich kompakt so gilt fur die Riemannsche Metrik g displaystyle g nbsp und w n A M displaystyle omega nu in mathcal A M nbsp die Relation g d w n g w d n displaystyle g mathrm d omega nu g omega delta nu nbsp Aus diesem Grund notiert man d displaystyle delta nbsp auch als d displaystyle textstyle mathrm d nbsp da dieser ja der adjungierte Operator ist Ahnliche Dualitatsbeziehungen konnen auch fur Pseudo Riemannsche Metriken definiert werden zum Beispiel fur die Minkowski Metrik der Speziellen Relativitatstheorie bzw die Lorentz Metrik der Allgemeinen Relativitatstheorie Verallgemeinerung weiterer Differentialoperatoren BearbeitenDie aus der Vektoranalysis bekannten Differentialoperatoren kann man mit Hilfe der ausseren Ableitung d displaystyle mathrm d nbsp und dem Hodge Stern Operator displaystyle star nbsp auf Riemann sche Mannigfaltigkeiten erweitern Insbesondere erhalt man fur die Rotation eine Formel welche auf n dimensionalen Raumen operiert Im Folgenden sei M displaystyle M nbsp immer eine glatte Riemann sche Mannigfaltigkeit Be und Kreuz Flat und Sharp Isomorphismus Bearbeiten Diese beiden Isomorphismen werden durch die Riemannsche Metrik induziert Sie bilden Tangentialvektoren auf Kotangentialvektoren ab und umgekehrt Zum Verstandnis reicht es an dieser Stelle die Wirkung der Isomorphismen im dreidimensionalen Raum zu demonstrieren Sei F T p R 3 R 3 displaystyle F in T p mathbb R 3 cong mathbb R 3 nbsp ein Vektorfeld so gilt fur den Flat Operator in Standardkoordinaten von F displaystyle F nbsp F F 1 d x 1 F 2 d x 2 F 3 d x 3 T p R 3 A 1 R 3 displaystyle F flat F 1 mathrm d x 1 F 2 mathrm d x 2 F 3 mathrm d x 3 in T p mathbb R 3 cong mathcal A 1 mathbb R 3 nbsp Der Flat Operator bildet also Vektorfelder in ihren Dualraum ab Der Sharp Operator ist die dazu inverse Operation Sei n T p R 3 A 1 R 3 displaystyle nu in T p mathbb R 3 cong mathcal A 1 mathbb R 3 nbsp ein Kovektorfeld bzw eine 1 Form so gilt ebenfalls Standardkoordinaten n n 1 x 1 n 2 x 2 n 3 x 3 T p R 3 displaystyle nu sharp nu 1 frac partial partial x 1 nu 2 frac partial partial x 2 nu 3 frac partial partial x 3 in T p mathbb R 3 nbsp Kreuzprodukt Bearbeiten Das Kreuzprodukt ist zwar kein Differentialoperator und wird zudem in der Vektoranalysis nur fur dreidimensionale Vektorraume definiert Trotzdem ist es insbesondere fur die Definition der Rotation sehr wichtig Sei V displaystyle V nbsp ein Vektorraum und v w L k V displaystyle v w in Lambda k V nbsp zwei Elemente einer ausseren Potenz von V displaystyle V nbsp dann ist das verallgemeinerte Kreuzprodukt definiert durch v w v w displaystyle v times w left star v flat wedge w flat right sharp nbsp 2 Fur eine Begrundung dieser Definition siehe unter aussere Algebra Gradient Bearbeiten Es sei f R n R displaystyle f colon mathbb R n to mathbb R nbsp eine partiell differenzierbare Funktion und auf R n displaystyle mathbb R n nbsp sei das Standardskalarprodukt displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp gegeben Der Gradient der Funktion f displaystyle f nbsp im Punkt a R n displaystyle a in mathbb R n nbsp ist fur beliebiges h R n displaystyle h in mathbb R n nbsp der durch die Forderung d f a h f a h displaystyle mathrm d f a h langle nabla f a h rangle nbsp eindeutig bestimmte Vektor f a displaystyle nabla f a nbsp Mit Hilfe des Differentialformen Kalkuls kann man den Gradienten auf einer Riemann schen Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp durch f d f displaystyle nabla f mathrm d f sharp nbsp definieren Da die Menge der 0 Formen nach Definition gleich der Menge der beliebig oft differenzierbaren Funktionen ist verallgemeinert diese Definition den Gradienten von Funktionen Dies lasst sich schnell durch eine kurze Rechnung einsehen Ist f R 3 R displaystyle f colon mathbb R 3 to mathbb R nbsp eine glatte Funktion so gilt d f f x 1 d x 1 f x 2 d x 2 f x 3 d x 3 f x 1 x 1 f x 2 x 2 f x 3 x 3 displaystyle mathrm d f sharp begin pmatrix frac partial f partial x 1 mathrm d x 1 frac partial f partial x 2 mathrm d x 2 frac partial f partial x 3 mathrm d x 3 end pmatrix sharp frac partial f partial x 1 frac partial partial x 1 frac partial f partial x 2 frac partial partial x 2 frac partial f partial x 3 frac partial partial x 3 nbsp In euklidischen Vektorraumen notiert man dies haufig wie folgt d f f x 1 f x 2 f x 3 f x 1 f x 2 f x 3 displaystyle mathrm d f sharp begin pmatrix frac partial f partial x 1 frac partial f partial x 2 frac partial f partial x 3 end pmatrix sharp begin pmatrix frac partial f partial x 1 frac partial f partial x 2 frac partial f partial x 3 end pmatrix nbsp Rotation Bearbeiten In der Vektoranalysis ist die Rotation eine Abbildung r o t T p R 3 T p R 3 displaystyle mathrm rot colon T p mathbb R 3 to T p mathbb R 3 nbsp Fur allgemeine Vektorfelder gilt r o t f f d f displaystyle mathrm rot f nabla times f left star left mathrm d f flat right right sharp nbsp Folgende Rechnung zeigt dass man fur die Dimension n 3 displaystyle n 3 nbsp den bekannten Ausdruck fur die Rotation erhalt d f 1 d x 1 f 2 d x 2 f 3 d x 3 d f 1 d x 1 d f 2 d x 2 d f 3 d x 3 f 1 x 1 d x 1 d x 1 f 1 x 2 d x 2 d x 1 f 1 x 3 d x 3 d x 1 f 2 x 1 d x 1 d x 2 f 2 x 2 d x 2 d x 2 f 2 x 3 d x 3 d x 2 f 3 x 1 d x 1 d x 3 f 3 x 2 d x 2 d x 3 f 3 x 3 d x 3 d x 3 f 3 x 2 f 2 x 3 d x 2 d x 3 f 1 x 3 f 3 x 1 d x 3 d x 1 f 2 x 1 f 1 x 2 d x 1 d x 2 displaystyle begin array cl amp mathrm d f 1 cdot mathrm d x 1 f 2 cdot mathrm d x 2 f 3 cdot mathrm d x 3 amp mathrm d f 1 wedge mathrm d x 1 mathrm d f 2 wedge mathrm d x 2 mathrm d f 3 wedge mathrm d x 3 0 5em amp frac partial f 1 partial x 1 cdot mathrm d x 1 wedge mathrm d x 1 frac partial f 1 partial x 2 cdot mathrm d x 2 wedge mathrm d x 1 frac partial f 1 partial x 3 cdot mathrm d x 3 wedge mathrm d x 1 amp frac partial f 2 partial x 1 cdot mathrm d x 1 wedge mathrm d x 2 frac partial f 2 partial x 2 cdot mathrm d x 2 wedge mathrm d x 2 frac partial f 2 partial x 3 cdot mathrm d x 3 wedge mathrm d x 2 amp frac partial f 3 partial x 1 cdot mathrm d x 1 wedge mathrm d x 3 frac partial f 3 partial x 2 cdot mathrm d x 2 wedge mathrm d x 3 frac partial f 3 partial x 3 cdot mathrm d x 3 wedge mathrm d x 3 0 5em amp left frac partial f 3 partial x 2 frac partial f 2 partial x 3 right cdot mathrm d x 2 wedge mathrm d x 3 left frac partial f 1 partial x 3 frac partial f 3 partial x 1 right cdot mathrm d x 3 wedge mathrm d x 1 left frac partial f 2 partial x 1 frac partial f 1 partial x 2 right cdot mathrm d x 1 wedge mathrm d x 2 end array nbsp Diese Formel erhalt man sofort indem man die Definition des Gradienten in die des Kreuzproduktes einsetzt Divergenz Bearbeiten Ebenso gibt es eine Verallgemeinerung der Divergenz diese lautet d i v f f d f displaystyle mathrm div f nabla cdot f star mathrm d star f flat nbsp Hodge Laplace Operator BearbeitenDer Hodge Laplace Operator ist ein spezieller verallgemeinerter Laplace Operator Solche Operatoren haben in der Differentialgeometrie eine wichtige Bedeutung Definition Bearbeiten Sei M displaystyle M nbsp eine glatte Riemann sche Mannigfaltigkeit so ist der Hodge Laplace Operator definiert durch D d d d d displaystyle Delta mathrm d delta delta mathrm d nbsp Eine Funktion f R n R displaystyle f colon mathbb R n to mathbb R nbsp heisst harmonisch wenn sie die Laplace Gleichung D f 0 displaystyle Delta f 0 nbsp erfullt Analog definiert man die harmonischen Differentialformen Eine Differentialform w A M displaystyle omega in mathcal A M nbsp heisst harmonisch falls die Hodge Laplace Gleichung D w 0 displaystyle Delta omega 0 nbsp erfullt ist Mit H k M displaystyle mathcal H k M nbsp wird die Menge aller harmonischen Formen auf M displaystyle M nbsp notiert Dieser Raum ist aufgrund der Hodge Zerlegung isomorph zur entsprechenden De Rham Kohomologiegruppe Eigenschaften Bearbeiten Der Hodge Laplace Operator hat folgende Eigenschaften D D displaystyle star Delta Delta star nbsp also falls w displaystyle omega nbsp harmonisch ist so ist auch w displaystyle star omega nbsp harmonisch Der Operator D displaystyle Delta nbsp ist selbstadjungiert bezuglich einer Riemannschen Metrik g das heisst fur alle w n A M displaystyle omega nu in mathcal A M nbsp gilt g D w n g w D n displaystyle g Delta omega nu g omega Delta nu nbsp Notwendig und hinreichend fur die Gleichung D w 0 displaystyle Delta omega 0 nbsp ist dass d w 0 displaystyle mathrm d omega 0 nbsp und d w 0 displaystyle delta omega 0 nbsp gilt Dolbeault Operator Bearbeiten Hauptartikel Komplexe Differentialform Zwei weitere Differentialoperatoren welche mit der Cartan Ableitung in Verbindung stehen sind der Dolbeault und der Dolbeault Quer Operator auf Mannigfaltigkeiten So kann man die Raume der Differentialformen vom Grad p q displaystyle p q nbsp einfuhren welche durch A p q displaystyle mathcal A p q nbsp notiert werden und erhalt auf naturliche Weise die Abbildungen A p q A p 1 q displaystyle partial colon mathcal A p q to mathcal A p 1 q nbsp und A p q A p q 1 displaystyle overline partial colon mathcal A p q to mathcal A p q 1 nbsp mit d displaystyle mathrm d partial overline partial nbsp In lokalen Koordinaten haben diese Differentialoperatoren die Darstellungen I J f I J d z I d z J I J K f I J z K d z K d z I d z J displaystyle partial left sum I J f I J mathrm d z I wedge mathrm d overline z J right sum I J K frac partial f I J partial z K mathrm d z K wedge mathrm d z I wedge mathrm d overline z J nbsp und I J f I J d z I d z J I J K f I J z K d z K d z I d z J displaystyle overline partial left sum I J f I J mathrm d z I wedge mathrm d overline z J right sum I J K frac partial f I J partial overline z K mathrm d overline z K wedge mathrm d z I wedge mathrm d overline z J nbsp Literatur BearbeitenR Abraham J E Marsden T Ratiu Manifolds Tensor Analysis and Applications Springer Berlin 2003 ISBN 3 540 96790 7 S Morita Geometry of Differential Forms AMS ISBN 0 8218 1045 6 Fussnoten Bearbeiten Ivan Avramidi Notes on Differential Forms PDF 112 kB 2003 Damit hangt eine in der Physik benutzte Sprachregelung zusammen nach welcher man polare und axiale Vektoren unterscheidet das Kreuzprodukt zweier polarer Vektoren ergibt zum Beispiel einen axialen Vektor Die als L displaystyle mathbf L nbsp bzw D displaystyle mathbf D nbsp bezeichneten Grossen der theoretischen Mechanik Drehimpulse bzw Drehmomente sind z B axiale Vektoren Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Aussere Ableitung amp oldid 236829351
