In der Analysis bezeichnet die Lie Ableitung nach Sophus Lie die Ableitung eines Vektorfeldes oder allgemeiner eines Tensorfeldes entlang eines Vektorfeldes Auf dem Raum der Vektorfelder wird durch die Lie Ableitung eine Lie Klammer definiert die Jacobi Lie Klammer genannt wird Der Raum der Vektorfelder wird durch diese Operation zu einer Lie Algebra Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 Lie Ableitung fur Funktionen 3 Lie Ableitung von Vektorfeldern 3 1 Definition 3 2 Eigenschaften 3 2 1 Lie Klammer 3 2 2 Lokale Koordinaten 4 Eigenschaften und Lie Algebra 5 Lie Ableitung von Tensorfeldern 5 1 Definition 5 2 Eigenschaften 5 3 Differentialformen 6 Literatur 7 EinzelnachweiseMotivation BearbeitenIn der Allgemeinen Relativitatstheorie und in der geometrischen Formulierung der Hamiltonschen Mechanik wird die Lie Ableitung verwendet um Symmetrien aufzudecken diese zur Losung von Problemen auszunutzen und beispielsweise Konstanten der Bewegung zu finden Die Definition der Lie Ableitung ist wie folgt motiviert T displaystyle T nbsp sei ein Feld auf einer Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp dessen Symmetrie untersucht werden soll Die Punkte P 0 displaystyle P 0 nbsp aus M displaystyle M nbsp mogen in einem Koordinatensystem K 0 displaystyle K 0 nbsp die Koordinaten x 0 K 0 displaystyle boldsymbol x 0 K 0 nbsp haben Es moge eine glatte Verschiebung Fluss ϕ M R M displaystyle phi M times R rightarrow M nbsp geben die in Abhangigkeit eines Parameters t displaystyle t nbsp jedem beliebigen Punkt P 0 displaystyle P 0 nbsp in glatter Weise Punkte P t displaystyle P t nbsp mit den Koordinaten x t K 0 displaystyle boldsymbol x t K 0 nbsp zuordnet Weiterhin fuhren wir Koordinatensysteme K t displaystyle K t nbsp ein so dass die Punkte P t displaystyle P t nbsp in K t displaystyle K t nbsp die gleichen Koordinatenwerte haben wie die Punkte P 0 displaystyle P 0 nbsp in K 0 displaystyle K 0 nbsp Diese Koordinatensysteme sind demnach durch die Koordinatentransformation x 0 K 0 x t K t displaystyle boldsymbol x 0 K 0 boldsymbol x t K t nbsp definiert Eine Symmetrie des Feldes T displaystyle T nbsp liegt dann vor wenn bei der Verschiebung P 0 P t displaystyle P 0 rightarrow P t nbsp die Komponenten T K t P t displaystyle boldsymbol T K t P t nbsp des Feldes T displaystyle T nbsp am Punkt P t displaystyle P t nbsp ausgedruckt in den Koordinaten K t displaystyle K t nbsp die gleichen Werte haben wie die Komponenten von T displaystyle T nbsp am Punkt P 0 displaystyle P 0 nbsp ausgedruckt im Koordinatensystem K 0 displaystyle K 0 nbsp Die Bedingungsgleichung fur die Symmetrie des Feldes ist demnach T K 0 P 0 T K t P t displaystyle boldsymbol T K 0 P 0 boldsymbol T K t P t nbsp Setzt man dieses Konzept fur infinitesimale Verschiebungen um so lasst sich mit Hilfe des Tangentialvektorenfeldes X displaystyle boldsymbol X nbsp zum Fluss ϕ displaystyle phi nbsp die Verschiebung eines Punktes P 0 P e displaystyle P 0 rightarrow P varepsilon nbsp in Koordinaten als x e x 0 e X displaystyle boldsymbol x varepsilon boldsymbol x 0 varepsilon boldsymbol X nbsp schreiben Das Koordinatensystem K e displaystyle K varepsilon nbsp in seinen geforderten Eigenschaften wird durch die Koordinatentransformation x e x 0 e X displaystyle boldsymbol x varepsilon boldsymbol x 0 varepsilon boldsymbol X nbsp definiert Die Symmetriebedingung des Vektorfeldes T displaystyle T nbsp ist dann T K e P e T K 0 P 0 0 displaystyle boldsymbol T K varepsilon P varepsilon boldsymbol T K 0 P 0 0 nbsp Der Koeffizient des in e displaystyle varepsilon nbsp linearen Gliedes ist per Definition die Lie Ableitung von T displaystyle T nbsp in Richtung X displaystyle boldsymbol X nbsp L X T lim e 0 T K e P e T K 0 P 0 e displaystyle mathcal L X T lim varepsilon rightarrow 0 frac boldsymbol T K varepsilon P varepsilon boldsymbol T K 0 P 0 varepsilon nbsp Fur Felder T displaystyle T nbsp mit einer zu X displaystyle boldsymbol X nbsp gehorigen Symmetrie verschwindet die Lie Ableitung Im dem Sinne liefert der Ausdruck L X T 0 displaystyle mathcal L X T 0 nbsp ein Kriterium fur die Symmetrie eines Vektorfeldes T displaystyle T nbsp Lie Ableitung fur Funktionen BearbeitenIst X displaystyle X nbsp ein Vektorfeld so ist die Lie Ableitung einer differenzierbaren Funktion f displaystyle f nbsp die Anwendung von X displaystyle X nbsp auf f displaystyle f nbsp L X f X f displaystyle mathcal L X f Xf nbsp Genauer Es seien M displaystyle M nbsp eine n displaystyle n nbsp dimensionale C displaystyle mathcal C infty nbsp Mannigfaltigkeit f M R displaystyle f colon M to mathbb R nbsp eine glatte Funktion und X displaystyle X nbsp ein glattes Vektorfeld auf M displaystyle M nbsp Die Lie Ableitung L X f p displaystyle mathcal L X f p nbsp der Funktion f displaystyle f nbsp nach X displaystyle X nbsp im Punkt p M displaystyle p in M nbsp ist definiert als die Richtungsableitung von f displaystyle f nbsp nach X p displaystyle X p nbsp L X f p X p f d p f X p displaystyle mathcal L X f p X p f d p f X p nbsp In lokalen Koordinaten x 1 x n U M R n displaystyle x 1 ldots x n colon U subseteq M to mathbb R n nbsp lasst sich das Vektorfeld darstellen als X j 1 n X j x j displaystyle X sum j 1 n X j frac partial partial x j nbsp mit X j U R displaystyle X j colon U to mathbb R nbsp Fur die Lie Ableitung ergibt sich dann L X f p j 1 n X j p f x j p displaystyle mathcal L X f p sum j 1 n X j p frac partial f partial x j p nbsp Lie Ableitung von Vektorfeldern BearbeitenDefinition Bearbeiten Seien X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp zwei Vektorfelder an der n displaystyle n nbsp dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp und F t displaystyle F t nbsp der Fluss des Vektorfelds X displaystyle X nbsp Dann ist die Lie Ableitung L X Y displaystyle mathcal L X Y nbsp von Y displaystyle Y nbsp in Richtung X displaystyle X nbsp definiert durch L X Y d d t t 0 F t Y displaystyle mathcal L X Y left frac mathrm d mathrm d t right t 0 F t Y nbsp wobei F t displaystyle F t nbsp den Rucktransport des Flusses F t displaystyle F t nbsp meint Eigenschaften Bearbeiten Lie Klammer Bearbeiten Sind X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp wieder zwei Vektorfelder dann gilt fur die Lie Ableitung die Identitat L X Y f X Y f Y X f displaystyle mathcal L X Y f X Y f Y X f nbsp wobei f displaystyle f nbsp eine glatte Funktion auf einer offenen Teilmenge der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit ist Aus dieser Gleichung kann gezeigt werden dass X Y L X Y displaystyle X Y mapsto mathcal L X Y nbsp die Eigenschaften einer Lie Klammer erfullt Daher schreibt man auch X Y L X Y displaystyle X Y mathcal L X Y nbsp Insbesondere bildet also die Menge der Vektorfelder mit der Lie Ableitung eine Lie Algebra und ihre Lie Klammer displaystyle cdot cdot nbsp wird Jacobi Lie Klammer genannt 1 2 Manchmal definiert man die Lie Ableitung beziehungsweise Lie Klammer direkt durch den Term X Y f Y X f displaystyle X Y f Y X f nbsp Dabei wird manchmal auch die Umgekehrte Vorzeichenkonvention also X Y Y X X Y displaystyle X Y Y circ X X circ Y nbsp verwendet Lokale Koordinaten Bearbeiten In lokalen Koordinaten haben die Vektorfelder X displaystyle X nbsp beziehungsweise Y displaystyle Y nbsp eine Darstellungen X j 1 n X j x j displaystyle X sum j 1 n X j frac partial partial x j nbsp beziehungsweise Y j 1 n Y j x j displaystyle Y sum j 1 n Y j frac partial partial x j nbsp Fur die Lie Ableitung beziehungsweise Lie Klammer gilt dann X Y j 1 n k 1 n X k Y j x k k 1 n Y k X j x k x j displaystyle X Y sum j 1 n left sum k 1 n X k frac partial Y j partial x k sum k 1 n Y k frac partial X j partial x k right frac partial partial x j nbsp Eigenschaften und Lie Algebra BearbeitenDer Vektorraum C M R displaystyle mathcal C infty M mathbb R nbsp aller glatten Funktionen M R displaystyle M to mathbb R nbsp ist bezuglich der punktweisen Multiplikation eine Algebra Die Lie Ableitung bezuglich eines Vektorfeldes X displaystyle X nbsp ist dann eine R displaystyle mathbb R nbsp lineare Derivation L X C M R C M R displaystyle mathcal L X mathcal C infty M mathbb R to mathcal C infty M mathbb R nbsp d h sie hat die Eigenschaften L X displaystyle mathcal L X nbsp ist R displaystyle mathbb R nbsp linear L X f g L X f g f L X g displaystyle mathcal L X fg mathcal L X f g f mathcal L X g nbsp Leibniz Regel Bezeichne X M displaystyle mathcal X M nbsp die Menge aller glatten Vektorfelder auf M displaystyle M nbsp dann ist die Lie Ableitung auch eine R displaystyle mathbb R nbsp lineare Derivation auf C M R X M displaystyle mathcal C infty M mathbb R times mathcal X M nbsp und es gilt L X f Y L X f Y f L X Y displaystyle mathcal L X fY mathcal L X f Y f mathcal L X Y nbsp Leibniz Regel X Y Z L X Y Z L X Y Z Y L X Z X Y Z Y X Z displaystyle X Y Z mathcal L X Y Z mathcal L X Y Z Y mathcal L X Z X Y Z Y X Z nbsp Jacobi Identitat Dadurch wird X M displaystyle mathcal X M nbsp zu einer Lie Algebra Lie Ableitung von Tensorfeldern BearbeitenDefinition Bearbeiten Fur ein Tensorfeld T displaystyle T nbsp und ein Vektorfeld X displaystyle X nbsp mit lokalem Fluss F t displaystyle Phi t nbsp ist die Lie Ableitung von T displaystyle T nbsp bezuglich X displaystyle X nbsp definiert als L X T d d t F t T t 0 displaystyle mathcal L X T frac mathrm d mathrm d t Phi t T t 0 nbsp Eigenschaften Bearbeiten Die Lie Ableitung L X displaystyle mathcal L X nbsp ist R displaystyle mathbb R nbsp linear in X displaystyle X nbsp und fur festes X displaystyle X nbsp eine Derivation der Tensoralgebra die mit der Kontraktion vertraglich ist Die Lie Ableitung ist dadurch und durch ihre Werte auf Funktionen und Vektorfeldern bereits eindeutig charakterisiert Im Unterschied zu einem Zusammenhang ist L X displaystyle mathcal L X nbsp nicht C displaystyle mathcal C infty nbsp linear in X displaystyle X nbsp Differentialformen Bearbeiten Sei M displaystyle M nbsp eine C displaystyle mathcal C infty nbsp Mannigfaltigkeit X displaystyle X nbsp ein Vektorfeld auf M displaystyle M nbsp und a L k 1 M displaystyle alpha in Lambda k 1 M nbsp eine k 1 displaystyle k 1 nbsp Differentialform auf M displaystyle M nbsp Durch Evaluation kann man eine Art inneres Produkt zwischen X displaystyle X nbsp und a displaystyle alpha nbsp definieren i X a X 1 X k a X X 1 X k displaystyle i X alpha X 1 ldots X k alpha X X 1 ldots X k nbsp und erhalt die Abbildung i X L k 1 M L k M a i X a displaystyle i X Lambda k 1 M to Lambda k M alpha mapsto i X alpha nbsp Diese Abbildung hat die folgenden Eigenschaften i X displaystyle i X nbsp ist R displaystyle mathbb R nbsp linear fur beliebiges f L 0 M displaystyle f in Lambda 0 M nbsp gilt i f X a f i X a displaystyle i fX alpha fi X alpha nbsp fur eine beliebige Differentialform b displaystyle beta nbsp uber M displaystyle M nbsp und a L k M displaystyle alpha in Lambda k M nbsp gilti X a b i X a b 1 k a i X b displaystyle i X alpha wedge beta i X alpha wedge beta 1 k alpha wedge i X beta nbsp dd Weiter oben wurde die Lie Ableitung bezuglich eines Vektorfeldes X displaystyle X nbsp fur Funktionen uber M displaystyle M nbsp definiert L X f i X d f displaystyle mathcal L X f i X df nbsp Fur echte Differentialformen kann die Lie Ableitung bezuglich eines Vektorfeldes X displaystyle X nbsp durch L X a i X d d i X a displaystyle mathcal L X alpha left i X circ d d circ i X right alpha nbsp berechnet werden Diese Gleichung kann aus der Definition der Lie Ableitung fur Tensorfelder hergeleitet werden Sie tragt den Namen Cartan Formel 3 Sie hat die folgenden Eigenschaften L f X a f L X a d f i X a displaystyle mathcal L fX alpha f mathcal L X alpha df wedge i X alpha nbsp L X a b L X a b a L X b displaystyle mathcal L X alpha wedge beta mathcal L X alpha wedge beta alpha wedge mathcal L X beta nbsp L X L Y a L X L Y a L Y L X a L X Y a displaystyle mathcal L X mathcal L Y alpha mathcal L X mathcal L Y alpha mathcal L Y mathcal L X alpha mathcal L X Y alpha nbsp L X i Y a i X L Y a i X Y a displaystyle mathcal L X i Y alpha i X mathcal L Y alpha i X Y alpha nbsp Literatur BearbeitenUwe Storch Hartmut Wiebe Lehrbuch der Mathematik Band 4 Analysis auf Mannigfaltigkeiten Funktionentheorie Funktionalanalysis Spektrum Heidelberg 2001 ISBN 3 8274 0137 2 Sylvestre Gallot Dominique Hulin Jacques Lafontaine Riemannian Geometry 2 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 1990 ISBN 3 540 52401 0Einzelnachweise Bearbeiten R Abraham Jerrold E Marsden T Ratiu Manifolds tensor analysis and applications Applied mathematical sciences 75 2 Auflage Springer New York NY u a 1988 ISBN 0 387 96790 7 S 277 279 Anthony M Bloch Nonholonomic mechanics and control Springer New York 2003 ISBN 0 387 95535 6 S 87 John M Lee Introduction to Smooth Manifolds Graduate Texts in Mathematics 218 Springer Verlag New York NY u a 2003 ISBN 0 387 95448 1 S 473 477 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lie Ableitung amp oldid 236075338
