Das Konzept eines (Phasen-)Flusses in der Mathematik ermöglicht die Beschreibung zeitabhängiger (System-)Zustände. Es ist deshalb vor allem für die Analyse gewöhnlicher Differentialgleichungen von Bedeutung und findet damit Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und Physik. Formal ist der Fluss eine Operation einer Parameterhalbgruppe auf einer Menge . Meist, insbesondere in der Theorie der Gewöhnlichen Differentialgleichungen, wird unter einem Fluss eine Operation des Monoids verstanden.
Der Begriff ist nicht mit dem Begriff Fluss in der Netzwerktheorie, Graphentheorie und Informatik zu verwechseln (siehe Flüsse und Schnitte in Netzwerken).
Definition Bearbeiten
Sei eine Menge, eine Parametermenge. Eine Abbildung
heißt Fluss, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
und
Wir haben also eine Halbgruppenwirkung.
Die Menge
heißt Orbit von .
Falls die Abbildung differenzierbar ist, spricht man auch von einem differenzierbaren Fluss.
Man kann auch Flüsse betrachten, die zu einem anderen Zeitpunkt starten, das heißt mit Initialbedingung
Diese notiert man häufig mit oder .
Lokaler Fluss Bearbeiten
Für als Parametermenge ist allgemeiner ein lokaler Fluss für eine offene Teilmenge mit offenen Intervallen definiert, falls die Bedingungen
und
erfüllt ist. Ein lokaler Fluss mit ist ein (globaler) Fluss mit .
Diskussion Bearbeiten
Im Hinblick auf die Analyse dynamischer Systeme beschreibt der Fluss die Bewegung im Phasenraum im Laufe der Zeit. Hierbei spricht man in Abhängigkeit von der Parametermenge von einem kontinuierlichen dynamischen System () oder einem diskreten dynamischen System ().
Betrachten wir ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen
mit oder einer offenen Teilmenge davon, so werden durch den Phasenfluss die Lösungen dieses Systems in Abhängigkeit vom Anfangszustand angegeben. Man wählt dann oft auch eine implizite Form der Flussangabe und schreibt
Beispiel Bearbeiten
Beispielsweise kann man jedem Vektorfeld einen Fluss zuordnen. Dieser ist durch die maximale Integralkurve des Vektorfeldes gegeben. Tatsächlich ist jeder Fluss auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit der Fluss eines Vektorfeldes, welches man durch erhält.
Der Ricci-Fluss spielt eine zentrale Rolle in der inzwischen bewiesenen Thurston'schen Geometrisierungsvermutung, welche eine Verallgemeinerung der Poincaré'schen Vermutung ist.
Verallgemeinerungen Bearbeiten
Der stochastische Fluss ist eine probabilistische Verallgemeinerung des Flusses.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Theodor Bröcker, Klaus Jänich: Einführung in die Differentialtopologie. Springer, Berlin 1973, ISBN 3-540-06461-3, S. 80 (§ 8. Dynamische Systeme).
Literatur Bearbeiten
- Manfred Denker: Einführung in die Analysis dynamischer Systeme. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2005, ISBN 3-540-20713-9
- Werner Krabs: Dynamische Systeme: Steuerbarkeit und chaotisches Verhalten. B.G.Teubner, Leipzig 1998, ISBN 3-519-02638-4.