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Ricci Fluss In der Mathematik ist der nach der nach Gregorio Ricci Curbastro benannten Ricci Krümmung eine Deformation e

Ricci-Fluss

In der Mathematik ist der Ricci-Fluss (nach der nach Gregorio Ricci-Curbastro benannten Ricci-Krümmung) eine Deformation einer glatten riemannschen Mannigfaltigkeit und geometrischer Fluss auf der Metrik . Der Ricci-Fluss ist die quasilineare partielle Differentialgleichung

wobei der Ricci-Tensor bezüglich der Metrik ist. Oder anders gesagt, der Ricci-Fluss weist für jedes eine Metrik aus der Familie zu, welche die Gleichung löst.

Die Gleichung beschreibt eine zeitliche Veränderung der Metrik, die zur Folge hat, dass dort, wo die Ricci-Krümmung positiv ist, sich die Mannigfaltigkeit zusammenzieht und dort, wo sie negativ ist, sich die Mannigfaltigkeit ausdehnt. Heuristisch gilt, dass sich die Krümmung ähnlich wie eine Wärmeverteilung mit der Zeit gleichmäßig mittelt, und als Grenzfall eine Metrik konstanter Krümmung entsteht.

Dies allerdings mathematisch zu präzisieren und zu beweisen ist ein schwieriges Problem, weil Singularitäten (das heißt Entartungen der Metrik) im Fluss auftreten können, so dass sich dieser unter Umständen nicht beliebig lange fortsetzen lässt.

Eine wichtige Rolle spielt der Ricci-Fluss im Beweis der Geometrisierungs-Vermutung von 3-Mannigfaltigkeiten durch Grigori Perelman.

Mathematische Eigenschaften Bearbeiten

Der Ricci-Fluss ist ein Beispiel für eine Flussgleichung oder Evolutionsgleichung auf einer Mannigfaltigkeit. Andere Flussgleichungen, die nach einem ähnlichen Prinzip definiert sind, sind

  • der mittlere Krümmungsfluss für eingebettete Mannigfaltigkeiten
  • der harmonische Abbildungs-Fluss
  • der Wärmeleitungsfluss.

Die Ricci-Gleichung selbst ist eine quasi-parabolische partielle Differentialgleichung 2. Ordnung.

Äquivalent zum Ricci-Fluss ist der normalisierte Ricci-Fluss, der die Gleichung

löst. Durch den Korrekturterm , der die durchschnittliche Skalarkrümmung zur Zeit angibt, wird erreicht, dass das Volumen der Mannigfaltigkeit unter dem Fluss konstant bleibt. Der normalisierte und der nicht normalisierte Ricci-Fluss unterscheiden sich nur um eine Streckung in Raumrichtung und eine Umparametrisierung der Zeit. Beispielsweise bleibt eine runde -Sphäre unter dem normalisierten Fluss konstant, während sie unter dem nicht normalisierten Fluss in endlicher Zeit auf einen Punkt zusammenschrumpft.

Resultate Bearbeiten

Eindeutigkeit Bearbeiten

Richard S. Hamilton hat gezeigt, dass für eine abgeschlossene Riemannsche -Mannigfaltigkeit mit -Anfangsmetrik der Ricci-Fluss auf eine gewisse Zeit lang existiert, d. h. die Ricci-Gleichung besitzt eine eindeutige -Lösung für ein kleines Zeitintervall mit . Dies wird als Kurzzeitexistenz bezeichnet.

3-Mannigfaltigkeit besitzt Metrik mit konstanter positiver Schnittkrümmung Bearbeiten

Für eine glatte kompakte 3-Mannigfaltigkeit mit einer Riemannschen Metrik mit positiver Ricci-Krümmung konnte Hamilton außerdem zeigen, dass der Ricci-Fluss auf zu einer Metrik konstanter positiver Schnittkrümmung konvergiert.

Es folgt daraus, dass die 3-Mannigfaltigkeit entweder die 3-Sphäre oder ein Quotient aus der 3-Sphäre sein muss.

Ricci-Fluss mit Chirurgie Bearbeiten

Hamilton verwendete 1997 einen chirurgisch-modifizierten Ricci-Fluss um 4-dimensionale Mannigfaltigkeiten mit positiver isotropischer Krümmung zu klassifizieren (Ricci-Fluss mit Chirurgie, Ricci flow with surgery): Wenn eine Singularität auftritt, hat eine Umgebung der Singularität eine genau kontrollierbare Struktur, so dass sich diese Umgebung abschneiden lässt und durch eine Kappe (Halbsphäre plus Zylinder) ersetzen lässt. Auf dieser veränderten Mannigfaltigkeit lässt man den Fluss dann weiterfließen. Die Schwierigkeit dieser Methode liegt darin, Abschätzungen gewisser Größen auf die veränderte Mannigfaltigkeit zu übertragen und dadurch zu garantieren, dass sich die Zeitpunkte, an denen Singularitäten auftreten, nicht häufen können.

Grigori Perelman verwendete eine ähnliche Methode für den 3-dimensionalen Fall ohne Voraussetzungen und bewies dadurch die Poincaré-Vermutung.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Richard S. Hamilton: Three-manifolds with positive Ricci curvature. In: Journal of Differential Geometry. Band 17, Nr. 2, 1982, ISSN 0022-040X, S. 255–306, doi:10.4310/jdg/1214436922 (projecteuclid.org [abgerufen am 12. März 2019]).
  2. R.S.Hamilton: Four-manifolds with positive isotropic curvature. In: Commun. Anal. Geom. Band 5, 1997, S. 1–92.

Literatur/Weblinks Bearbeiten

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In der Mathematik ist der Ricci Fluss nach der nach Gregorio Ricci Curbastro benannten Ricci Krummung eine Deformation einer glatten riemannschen Mannigfaltigkeit M g displaystyle M g und geometrischer Fluss auf der Metrik g displaystyle g Der Ricci Fluss ist die quasilineare partielle Differentialgleichung t g t 2 Ric t t a b displaystyle frac partial partial t g t 2 operatorname Ric t quad t in a b wobei Ric t displaystyle operatorname Ric t der Ricci Tensor bezuglich der Metrik g t displaystyle g t ist Oder anders gesagt der Ricci Fluss weist M displaystyle M fur jedes t displaystyle t eine Metrik aus der Familie g t t a b displaystyle g t t in a b zu welche die Gleichung lost 1 Die Gleichung beschreibt eine zeitliche Veranderung der Metrik die zur Folge hat dass dort wo die Ricci Krummung positiv ist sich die Mannigfaltigkeit zusammenzieht und dort wo sie negativ ist sich die Mannigfaltigkeit ausdehnt Heuristisch gilt dass sich die Krummung ahnlich wie eine Warmeverteilung mit der 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Fluss der Warmeleitungsfluss Die Ricci Gleichung selbst ist eine quasi parabolische partielle Differentialgleichung 2 Ordnung Aquivalent zum Ricci Fluss ist der normalisierte Ricci Fluss der die Gleichung t g t 2 Ric t 2 r t g t displaystyle frac partial partial t g t 2 operatorname Ric t 2r t g t nbsp lost Durch den Korrekturterm r t displaystyle r t nbsp der die durchschnittliche Skalarkrummung zur Zeit t displaystyle t nbsp angibt wird erreicht dass das Volumen der Mannigfaltigkeit unter dem Fluss konstant bleibt Der normalisierte und der nicht normalisierte Ricci Fluss unterscheiden sich nur um eine Streckung in Raumrichtung und eine Umparametrisierung der Zeit Beispielsweise bleibt eine runde n displaystyle n nbsp Sphare unter dem normalisierten Fluss konstant wahrend sie unter dem nicht normalisierten Fluss in endlicher Zeit auf einen Punkt zusammenschrumpft Resultate BearbeitenEindeutigkeit Bearbeiten Richard S Hamilton hat gezeigt dass fur eine abgeschlossene Riemannsche C displaystyle C infty nbsp Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp mit C displaystyle C infty nbsp Anfangsmetrik g 0 displaystyle g 0 nbsp der Ricci Fluss auf M displaystyle M nbsp eine gewisse Zeit lang existiert d h die Ricci Gleichung besitzt eine eindeutige C displaystyle C infty nbsp Losung g t displaystyle g t nbsp fur ein kleines Zeitintervall 0 t 0 t 0 0 displaystyle 0 t 0 t 0 in 0 infty nbsp mit g 0 g 0 displaystyle g 0 g 0 nbsp Dies wird als Kurzzeitexistenz bezeichnet 3 Mannigfaltigkeit besitzt Metrik mit konstanter positiver Schnittkrummung Bearbeiten Fur eine glatte kompakte 3 Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp mit einer Riemannschen Metrik g 0 displaystyle g 0 nbsp mit positiver Ricci Krummung konnte Hamilton ausserdem zeigen dass der Ricci Fluss auf M displaystyle M nbsp zu einer Metrik konstanter positiver Schnittkrummung konvergiert Es folgt daraus dass die 3 Mannigfaltigkeit entweder die 3 Sphare oder ein Quotient aus der 3 Sphare sein muss Ricci Fluss mit Chirurgie Bearbeiten Hamilton verwendete 1997 einen chirurgisch modifizierten Ricci Fluss um 4 dimensionale Mannigfaltigkeiten mit positiver isotropischer Krummung zu klassifizieren Ricci Fluss mit Chirurgie Ricci flow with surgery 2 Wenn eine Singularitat auftritt hat eine Umgebung der Singularitat eine genau kontrollierbare Struktur so dass sich diese Umgebung abschneiden lasst und durch eine Kappe Halbsphare plus Zylinder ersetzen lasst Auf dieser veranderten Mannigfaltigkeit lasst man den Fluss dann weiterfliessen Die Schwierigkeit dieser Methode liegt darin Abschatzungen gewisser Grossen auf die veranderte Mannigfaltigkeit zu ubertragen und dadurch zu garantieren dass sich die Zeitpunkte an denen Singularitaten auftreten nicht haufen konnen Grigori Perelman verwendete eine ahnliche Methode fur den 3 dimensionalen Fall ohne Voraussetzungen und bewies dadurch die Poincare Vermutung Einzelnachweise Bearbeiten Richard S Hamilton Three manifolds with positive Ricci curvature In Journal of Differential Geometry Band 17 Nr 2 1982 ISSN 0022 040X S 255 306 doi 10 4310 jdg 1214436922 projecteuclid org abgerufen am 12 Marz 2019 R S Hamilton Four manifolds with positive isotropic curvature In Commun Anal Geom Band 5 1997 S 1 92 Literatur Weblinks BearbeitenBennet Chow Dan Knopf The Ricci flow an introduction AMS 2004 englisch ISBN 0 8218 3515 7 Michael T Anderson Geometrization of 3 Manifolds via the Ricci Flow PDF 150 kB Notices of the AMS 2004 englisch Uberblick uber Perelmans Beweis und den Ricci Fluss Grisha Perelman The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications Preprint 2002 englisch Grisha Perelman Ricci flow with surgery on three manifolds Preprint 2003 englisch Bruce Kleiner John Lott Notes and commentary on Perelman s Ricci flow papers englisch umfangreiche Materialsammlung zum Ricci Fluss und zu Perelmans Beweis J Rubinstein R Sinclair Visualizating Ricci Flow on Manifolds of Revolution PDF 2 7 MB 2004 englisch Bilder vom Ricci Fluss auf Rotationsflachen ab Seite 8 Richard Bamler Recent developments in Ricci flows Notices of the AMS 68 1486 1498 2021 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ricci Fluss amp oldid 234789147