Ein stochastischer Fluss bezeichnet in der Mathematik den probabilistischen Begriff des Flusses Genauer bedeutet dies fur eine Indexmenge T displaystyle T die Abbildung F s t W F P S S S S s t s t T displaystyle Phi s t Omega mathcal F P to S S mathcal S S quad s leq t quad s t in T welche die Flussgleichungen pfadweise erfullt Ein Fluss ist somit ein Zufallsfeld Der Begriff findet vor allem Anwendung in der Losungstheorie der stochastischen Differentialgleichungen Flusse werden aber ganz allgemein definiert ohne den Begriff der Differentialgleichung zu verwenden Inhaltsverzeichnis 1 Stochastische Flusse 1 1 Fluss 1 2 Stochastischer Fluss 1 2 1 Erlauterungen 1 3 Die zum Fluss assoziierte Familie von Prozessen 1 4 Brownsche Flusse 2 Literatur 3 EinzelnachweiseStochastische Flusse BearbeitenSei T displaystyle T nbsp eine Menge welche die Zeit eines Systems darstellt Fluss Bearbeiten Als Fluss f s t s t T displaystyle varphi s t s leq t in T nbsp auf einem Messraum S S displaystyle S mathcal S nbsp bezeichnet man eine Familie von messbaren Funktionen f s t S S displaystyle varphi s t S to S nbsp so dass fur alle s t displaystyle s leq t nbsp die Flussgleichungen f s t f u t f s u s u t T f s s x x displaystyle varphi s t varphi u t circ varphi s u quad s leq u leq t in T quad varphi s s x x nbsp dd erfullt sind Betrachtet man den Fluss einer Differentialgleichung so bezeichnet y s x t f s t x displaystyle y s x t varphi s t x nbsp die Losung dieser Gleichung welche zum Zeitpunkt s displaystyle s nbsp in x S displaystyle x in S nbsp startet Setzt man nun einen Wahrscheinlichkeitsraum davor das heisst man betrachtet einen Messraum S S S S displaystyle S S mathcal S S nbsp und die Zufallsvariablen F s t w W F P S S S S displaystyle Phi s t omega Omega mathcal F P to S S mathcal S S nbsp so das pfadweise die Flussgleichungen erfullt sind dann erhalt man einen stochastischen Fluss Stochastischer Fluss Bearbeiten Sei S S displaystyle S mathcal S nbsp ein Messraum id S displaystyle operatorname id S nbsp sei die Identische Abbildung und T R displaystyle T mathbb R nbsp oder T N 0 displaystyle T mathbb N 0 nbsp Ein stochastischer Fluss ist der Prozess F s t W F P S S S S s t s t T displaystyle Phi s t Omega mathcal F P to S S mathcal S S quad s leq t quad s t in T nbsp so dass die Flussgleichungen erfullt sind das heisst fur alle w W displaystyle omega in Omega nbsp F s t w F u t w F s u w s u t displaystyle Phi s t omega Phi u t omega circ Phi s u omega quad forall s leq u leq t nbsp F s s w id S displaystyle Phi s s omega operatorname id S nbsp Oder aquivalent definiere fur einen Punkt x S displaystyle x in S nbsp die Abbildung F s t w x F s t w x displaystyle Phi s t omega x Phi s t omega x nbsp dann lasst sich der stochastische Flusses auch als Familie F s t s t s t T displaystyle Phi s t s leq t s t in T nbsp von Zufallsfunktionen F s t w x W S S displaystyle Phi s t omega x Omega times S to S nbsp auffassen 1 Erlauterungen Bearbeiten Die Flussgleichungen sind in der Schreibweise F s t w x displaystyle Phi s t omega x nbsp wie folgt zu verstehen F s t w x F u t w F s u w x s u t displaystyle Phi s t omega x Phi u t left omega Phi s u omega x right quad forall s leq u leq t nbsp F s s w x x displaystyle Phi s s omega x x nbsp Die zum Fluss assoziierte Familie von Prozessen Bearbeiten Fur t 0 x T S displaystyle t 0 x in T times S nbsp definieren wir X t t 0 x F t 0 t 0 t x displaystyle X t t 0 x Phi t 0 t 0 t cdot x nbsp dann ist X t t 0 x t T displaystyle X t t 0 x t in T nbsp die dem Fluss F displaystyle Phi nbsp assoziierte Familie von stochastischen Prozessen P t 0 x P X t 0 x 1 displaystyle P t 0 x P circ left X t 0 x bullet right 1 nbsp bezeichnet die Verteilung eines Pfades des stochastischen Flusses Brownsche Flusse Bearbeiten Falls die F t i t i 1 displaystyle Phi t i t i 1 nbsp fur i 0 1 n 1 displaystyle i 0 1 dots n 1 nbsp und fur alle 0 t 1 lt t 2 lt lt t n T displaystyle 0 leq t 1 lt t 2 lt cdots lt t n leq T nbsp unabhangig sind dann nennt man F displaystyle Phi nbsp einen brownschen Fluss 2 Literatur BearbeitenHiroshi Kunita Lectures on Stochastic Flows and Applications 1990 Hiroshi Kunita Stochastic Flows and Jump Diffusions Hrsg Springer 2019 Einzelnachweise Bearbeiten Wolfgang Hackenbroch und Anton Thalmaier Stochastische Analysis Eine Einfuhrung in die Theorie der stetigen Semimartingale Hrsg Vieweg Teubner Verlag Wiesbaden ISBN 978 3 519 02229 9 S 73 Hiroshi Kunita Lectures on Stochastic Flows and Applications 1990 S 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Stochastischer Fluss amp oldid 231085956
