In der Mathematik beschreibt der Fluss eines Vektorfeldes die Bewegung entlang der Lösungskurven der durch das Vektorfeld gegebenen gewöhnlichen Differentialgleichung.
Definition Bearbeiten
Sei ein -Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge (oder allgemeiner auf einer offenen Teilmenge einer Mannigfaltigkeit). Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen gibt es für jedes eine eindeutige maximale Lösung
der Differentialgleichung
Hierbei ist das (eventuell unendliche) maximale Intervall, auf dem eine Lösung definiert ist. Wir bezeichnen diese vom Startwert abhängende Kurve mit .
Sei . Dann heißt die durch
gegebene Abbildung der Fluss des Vektorfeldes .
Eigenschaften Bearbeiten
Der Fluss eines Vektorfeldes ist ein Fluss, d. h. eine einparametrige Transformationsgruppe. Es gilt also
und
für alle .
Beispiel Bearbeiten
Der Fluss des auf dem definierten Vektorfeldes
ist gegeben durch
Vollständige Vektorfelder Bearbeiten
Das Vektorfeld heißt ein vollständiges Vektorfeld, wenn sein Fluss für alle Zeiten definiert, also
für alle , oder äquivalent ist.
Vektorfelder mit kompaktem Träger sind stets vollständig. Dies gilt insbesondere für Vektorfelder auf kompakten Mannigfaltigkeiten.
Literatur Bearbeiten
- John Lee: „Introduction to smooth manifolds“, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-21752-9
- Vladimir Arnold: „Ordinary differential equations“, Universitext, Springer, ISBN 978-3-540-34563-3
Weblinks Bearbeiten
- Flow of a Vectorfield (nLab)