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Differentialgleichung Eine auch Differenzialgleichung oft durch DGL DG DGl oder Dgl abgekürzt ist eine mathematische Gle

Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung (auch Differenzialgleichung, oft durch DGL, DG, DGl. oder Dgl. abgekürzt) ist eine mathematische Gleichung für eine gesuchte Funktion von einer oder mehreren Variablen, in der auch Ableitungen dieser Funktion vorkommen. Viele Naturgesetze können mittels Differentialgleichungen formuliert werden. Differentialgleichungen sind daher ein wesentliches Werkzeug der mathematischen Modellierung. Dabei beschreibt eine Differentialgleichung das Änderungsverhalten dieser Größen zueinander. Differentialgleichungen sind ein wichtiger Untersuchungsgegenstand der Analysis, die deren Lösungstheorie untersucht. Nicht nur weil für viele Differentialgleichungen keine explizite Lösungsdarstellung möglich ist, spielt die näherungsweise Lösung mittels numerischer Verfahren eine wesentliche Rolle. Eine Differentialgleichung kann durch ein Richtungsfeld veranschaulicht werden.

Typen von Differentialgleichungen Bearbeiten

Man unterscheidet verschiedene Typen von Differentialgleichungen. Ganz grob unterteilen sie sich in die folgenden Teilgebiete. Alle der folgenden Typen können im Wesentlichen unabhängig und gleichzeitig nebeneinander auftreten.

Gewöhnliche Differentialgleichungen Bearbeiten

Hängt die gesuchte Funktion lediglich von einer Variablen ab, so spricht man von einer gewöhnlichen Differentialgleichung. Es kommen lediglich gewöhnliche Ableitungen nach der einen Veränderlichen vor.

Beispiele:

Schreibt sich die gewöhnliche Differentialgleichung für die gesuchte Funktion in der Form

so heißt die gewöhnliche Differentialgleichung implizit.

Ist die Differentialgleichung nach der höchsten Ableitung aufgelöst, d. h., es gilt

so nennt man die gewöhnliche Differentialgleichung explizit. Nicht jede Differentialgleichung, die in impliziter Form vorliegt, kann auf eine explizite Form gebracht werden. In den Anwendungen sind explizite gewöhnliche Differentialgleichungen mathematisch einfacher zu verarbeiten. Die höchste vorkommende Ableitungsordnung wird Ordnung der Differentialgleichung genannt. Beispielsweise hat eine explizite gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung die Gestalt

Es gibt eine abgeschlossene Lösungstheorie expliziter gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist linear, falls sie linear in der Funktion und ihren Ableitungen ist:

Sie ist semilinear, falls sie zwar in den Ableitungen und der Funktion auf der linken Seite linear ist, die Funktion aber auch von der Funktion und ihren Ableitungen abhängen kann, außer der höchsten Ableitung:

Partielle Differentialgleichung Bearbeiten

Hängt die gesuchte Funktion von mehreren Variablen ab und treten in der Gleichung partielle Ableitungen nach mehr als einer Variable auf, so spricht man von einer partiellen Differentialgleichung. Partielle Differentialgleichungen sind ein großes Feld und die Theorie ist mathematisch nicht abgeschlossen, sondern Gegenstand der aktuellen Forschung in mehreren Gebieten.

Ein Beispiel ist die sog. Wärmeleitungsgleichung für eine Funktion

Man unterscheidet verschiedene Typen partieller Differentialgleichungen. Zunächst gibt es lineare partielle Differentialgleichungen. Dabei gehen die gesuchte Funktion und ihre Ableitungen linear in die Gleichung ein. Die Abhängigkeit bezüglich der unabhängigen Variablen kann dabei durchaus nichtlinear sein. Die Theorie linearer partieller Differentialgleichungen ist am weitesten fortgeschritten, jedoch weit davon entfernt, abgeschlossen zu sein.

Man spricht von einer quasilinearen Gleichung, falls alle Ableitungen von höchster Ordnung linear auftreten, dies aber nicht mehr für die Funktion und Ableitungen niedrigerer Ordnung gilt. Eine quasilineare Gleichung ist schon schwieriger zu behandeln. Eine quasilineare partielle Differentialgleichung ist semilinear, falls die Koeffizientenfunktion vor den höchsten Ableitungen nicht von niedrigeren Ableitungen und der unbekannten Funktion abhängt. Gerade im Gebiet der quasi- und semilinearen Gleichungen werden zurzeit die meisten Resultate erzielt.

Kann man schließlich auch keine lineare Abhängigkeit bezüglich der höchsten Ableitungen feststellen, nennt man die Gleichung eine nichtlineare partielle Differentialgleichung oder eine vollständig-nichtlineare partielle Differentialgleichung.

Besonders interessant in dem Gebiet partieller Differentialgleichungen sind die Gleichungen zweiter Ordnung. In diesen Spezialfällen gibt es noch weitere Klassifikationsmöglichkeiten.

Weitere Typen Bearbeiten

Beim Typus der stochastischen Differentialgleichungen treten in der Gleichung stochastische Prozesse auf. Eigentlich sind stochastische Differentialgleichungen keine Differentialgleichungen im obigen Sinne, sondern lediglich gewisse Differentialrelationen, welche als Differentialgleichung interpretiert werden können.

Der Typus der Algebro-Differentialgleichungen zeichnet sich dadurch aus, dass zusätzlich zur Differentialgleichung auch noch algebraische Relationen als Nebenbedingungen gegeben sind.

Weiter gibt es noch sogenannte retardierte Differentialgleichungen. Hier treten neben einer Funktion und ihren Ableitungen zu einem Zeitpunkt auch noch Funktionswerte bzw. Ableitungen aus der Vergangenheit auf.

Unter einer Integro-Differentialgleichung versteht man eine Gleichung, in der nicht nur die Funktion und deren Ableitungen, sondern auch noch Integrationen der Funktion auftauchen. Ein wichtiges Beispiel dazu ist die Schrödingergleichung in der Impulsdarstellung (Fredholm'sche Integralgleichung).

Je nach Anwendungsgebiet und Methodik gibt es noch weitere Typen von Differentialgleichungen.

Systeme von Differentialgleichungen Bearbeiten

Man spricht von einem System von Differentialgleichungen, wenn eine vektorwertige Abbildung ist und mehrere Gleichungen

gleichzeitig zu erfüllen sind. Lässt sich dieses implizite Differentialgleichungssystem nicht überall lokal in ein explizites System umwandeln, so handelt es sich um eine Algebro-Differentialgleichung.

Problemstellungen Bearbeiten

Differentialgleichungen sind im Allgemeinen nicht eindeutig lösbar, sondern benötigen dazu Anfangs- oder Randwerte. Im Bereich der partiellen Differentialgleichungen können auch sogenannte Anfangsrandwertprobleme auftreten.

Grundsätzlich wird bei Anfangs- oder Anfangsrandwertproblemen eine der Veränderlichen als Zeit interpretiert. Bei diesen Problemen werden gewisse Daten zu einem gewissen Zeitpunkt, nämlich dem Anfangszeitpunkt, vorgeschrieben.

Bei den Randwert- oder Anfangsrandwertproblemen wird eine Lösung der Differentialgleichung in einem beschränkten oder unbeschränkten Gebiet gesucht und wir stellen als Daten sogenannte Randwerte, welche eben auf dem Rand des Gebietes gegeben sind. Je nach Art der Randbedingungen unterscheidet man weitere Typen von Differentialgleichungen, etwa Dirichlet-Probleme oder Neumann-Probleme.

Lösungsmethoden Bearbeiten

Auf Grund der Vielfältigkeiten sowohl bei den eigentlichen Differentialgleichungen als auch bei den Problemstellungen ist es nicht möglich, eine allgemein gültige Lösungsmethodik anzugeben. Lediglich explizite gewöhnliche Differentialgleichungen können mit einer geschlossenen Theorie gelöst werden. Eine Differentialgleichung nennt man integrabel, wenn es möglich ist, sie analytisch zu lösen, also eine Lösungsfunktion (das Integral) anzugeben. Sehr viele mathematische Probleme, insbesondere nichtlineare und partielle Differentialgleichungen, sind nicht integrabel, darunter schon ganz einfach erscheinende wie die des Dreikörperproblems, des Doppelpendels oder der meisten Kreiseltypen.

Lie-Theorie Bearbeiten

Ein strukturierter allgemeiner Ansatz zur Lösung von Differentialgleichungen wird über die Symmetrie und die kontinuierliche Gruppentheorie verfolgt. 1870 stellte Sophus Lie in seiner Arbeit die Theorie der Differentialgleichungen mit der Lie-Theorie auf eine allgemeingültige Grundlage. Er zeigte, dass die älteren mathematischen Theorien zur Lösung von Differentialgleichungen durch die Einführung von sogenannten Lie-Gruppen zusammengefasst werden können. Ein allgemeiner Ansatz zur Lösung von Differentialgleichungen nutzt die Symmetrie-Eigenschaft der Differentialgleichungen aus. Dabei werden kontinuierliche infinitesimale Transformationen angewendet, die Lösungen auf (andere) Lösungen der Differentialgleichung abbilden. Kontinuierliche Gruppentheorie, Lie-Algebren und Differentialgeometrie werden verwendet, um die tiefere Struktur der linearen und nichtlinearen (partiellen) Differentialgleichungen zu erfassen und die Zusammenhänge abzubilden, die schließlich zu den exakten analytischen Lösungen einer Differentialgleichung führen. Symmetriemethoden werden benutzt, um Differentialgleichungen exakt zu lösen.

Existenz und Eindeutigkeit Bearbeiten

Die Fragen der Existenz, Eindeutigkeit, Darstellung und numerischen Berechnung von Lösungen sind somit je nach Gleichung vollständig bis gar nicht gelöst. Aufgrund der Bedeutung von Differentialgleichungen in der Praxis ist hierbei die Anwendung der numerischen Lösungsverfahren besonders bei partiellen Differentialgleichungen weiter fortgeschritten als deren theoretische Untermauerung.

Eines der Millennium-Probleme ist der Existenzbeweis einer regulären Lösung für die Navier-Stokes-Gleichungen. Diese Gleichungen treten beispielsweise in der Strömungsmechanik auf.

Approximative Methoden Bearbeiten

Differentialgleichungen haben als Lösung Funktionen, die Bedingungen an ihre Ableitungen erfüllen. Eine Approximation geschieht meist, indem Raum und Zeit durch ein Rechengitter in endlich viele Teile zerlegt werden (Diskretisierung). Die Ableitungen werden dann nicht mehr durch einen Grenzwert dargestellt, sondern durch Differenzen approximiert. In der numerischen Mathematik wird der dadurch entstandene Fehler analysiert und möglichst gut abgeschätzt.

Ein frühes Verfahren, das Euler 1768 in seinem Buch Institutiones Calculi Integralis vorstellte, ist das Eulerverfahren.

Je nach Art der Gleichung werden unterschiedliche Diskretisierungsansätze gewählt, bei partiellen Differentialgleichungen etwa Finite-Differenzen-Verfahren, Finite-Volumen-Verfahren oder Finite-Elemente-Verfahren.

Die diskretisierte Differentialgleichung enthält keine Ableitungen mehr, sondern nur noch rein algebraische Ausdrücke. Damit ergibt sich entweder eine direkte Lösungsvorschrift oder ein lineares oder nichtlineares Gleichungssystem, welches dann mittels numerischer Verfahren gelöst werden kann.

Auftreten und Anwendungen Bearbeiten

Eine Vielzahl von Phänomenen in Natur und Technik kann durch Differentialgleichungen und darauf aufbauende mathematische Modelle beschrieben werden. Einige typische Beispiele sind:

Das Feld der Differentialgleichungen hat der Mathematik entscheidende Impulse verliehen. Viele Teile der aktuellen Mathematik forschen an der Existenz-, Eindeutigkeits- und Stabilitätstheorie verschiedener Typen von Differentialgleichungen.

Höhere Abstraktionsebenen Bearbeiten

Differentialgleichungen oder Differentialgleichungssysteme setzen voraus, dass ein System in algebraischer Form beschrieben und quantifiziert werden kann. Weiterhin, dass die beschreibenden Funktionen zumindest in den interessierenden Bereichen differenzierbar sind. Im naturwissenschaftlich-technischen Umfeld sind diese Voraussetzungen zwar häufig gegeben, in vielen Fällen sind sie aber nicht erfüllt. Dann kann die Struktur eines Systems nur auf einer höheren Abstraktions-Ebene beschrieben werden. Siehe hierzu in der Reihenfolge ansteigender Abstraktion:

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • G. H. Golub, J. M. Ortega: Wissenschaftliches Rechnen und Differentialgleichungen. Eine Einführung in die Numerische Mathematik. Heldermann Verlag, Lemgo 1995, ISBN 3-88538-106-0.
  • G. Oberholz: Differentialgleichungen für technische Berufe. 4. Auflage. Verlag Anita Oberholz, Gelsenkirchen 1995, ISBN 3-9801902-4-2.
  • P.J. Olver: Equivalence, Invariants and Symmetry. Cambridge Press, 1995.
  • L. Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2. Viewegs Fachbücher der Technik, Wiesbaden 2001, ISBN 3-528-94237-1
  • H. Stephani: Differential Equations: Their Solution Using Symmetries. Edited by M. MacCallum. Cambridge University Press, 1989.
  • H. Benker: Differentialgleichungen mit MATHCAD und MATLAB. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 2005.

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: Differentialgleichung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Guido Walz (Hrsg.), Lexikon der Mathematik, Springer-Spektrum Verlag, 2017, Artikel lineare Differentialgleichung, semilineare Differentialgleichung
  2. Ivars Peterson: Filling in Blanks. In: Science News. 161. Jahrgang, Nr. 19. Society for Science, 11. Mai 2002, S. 299–300, doi:10.2307/4013521 (englisch).
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Veröffentlichungsdatum:
Eine Differentialgleichung auch Differenzialgleichung oft durch DGL DG DGl oder Dgl abgekurzt ist eine mathematische Gleichung fur eine gesuchte Funktion von einer oder mehreren Variablen in der auch Ableitungen dieser Funktion vorkommen Viele Naturgesetze konnen mittels Differentialgleichungen formuliert werden Differentialgleichungen sind daher ein wesentliches Werkzeug der mathematischen Modellierung Dabei beschreibt eine Differentialgleichung das Anderungsverhalten dieser Grossen zueinander Differentialgleichungen sind ein wichtiger Untersuchungsgegenstand der Analysis die deren Losungstheorie untersucht Nicht nur weil fur viele Differentialgleichungen keine explizite Losungsdarstellung moglich ist spielt die naherungsweise Losung mittels numerischer Verfahren eine wesentliche Rolle Eine Differentialgleichung kann durch ein Richtungsfeld veranschaulicht werden Inhaltsverzeichnis 1 Typen von Differentialgleichungen 1 1 Gewohnliche Differentialgleichungen 1 2 Partielle Differentialgleichung 1 3 Weitere Typen 1 4 Systeme von Differentialgleichungen 2 Problemstellungen 3 Losungsmethoden 3 1 Lie Theorie 3 2 Existenz und Eindeutigkeit 3 3 Approximative Methoden 4 Auftreten und Anwendungen 5 Hohere Abstraktionsebenen 6 Siehe auch 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseTypen von Differentialgleichungen BearbeitenMan unterscheidet verschiedene Typen von Differentialgleichungen Ganz grob unterteilen sie sich in die folgenden Teilgebiete Alle der folgenden Typen konnen im Wesentlichen unabhangig und gleichzeitig nebeneinander auftreten Gewohnliche Differentialgleichungen Bearbeiten Hauptartikel Gewohnliche Differentialgleichung Hangt die gesuchte Funktion lediglich von einer Variablen ab so spricht man von einer gewohnlichen Differentialgleichung Es kommen lediglich gewohnliche Ableitungen nach der einen Veranderlichen vor Beispiele y x 2 y x 5 z t 4 z t sin 3 t displaystyle y x 2 cdot y x 5 qquad ddot z t 4 cdot z t sin 3 cdot t nbsp Schreibt sich die 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Differentialgleichungen Eine gewohnliche Differentialgleichung ist linear falls sie linear in der Funktion und ihren Ableitungen ist y n x a n 1 x y n 1 x a 0 x y x b x displaystyle y n x a n 1 x y n 1 x cdots a 0 x y x b x nbsp Sie ist semilinear falls sie zwar in den Ableitungen und der Funktion auf der linken Seite linear ist die Funktion b x displaystyle b x nbsp aber auch von der Funktion y displaystyle y nbsp und ihren Ableitungen abhangen kann ausser der hochsten Ableitung 1 y n x a n 1 x y n 1 x a 0 x y x b x y x y x y n 1 x displaystyle y n x a n 1 x y n 1 x cdots a 0 x y x b x y x y x cdots y n 1 x nbsp Partielle Differentialgleichung Bearbeiten Hauptartikel Partielle Differentialgleichung Hangt die gesuchte Funktion von mehreren Variablen ab und treten in der Gleichung partielle Ableitungen nach mehr als einer Variable auf so spricht man von einer partiellen Differentialgleichung Partielle Differentialgleichungen sind ein grosses Feld und die Theorie ist mathematisch nicht abgeschlossen sondern Gegenstand der aktuellen Forschung in mehreren Gebieten Ein Beispiel ist die sog Warmeleitungsgleichung fur eine Funktion u t x displaystyle u t x nbsp t u t x a 2 x 2 u t x displaystyle tfrac partial partial t u t x a tfrac partial 2 partial x 2 u t x nbsp Man unterscheidet verschiedene Typen partieller Differentialgleichungen Zunachst gibt es lineare partielle Differentialgleichungen Dabei gehen die gesuchte Funktion und ihre Ableitungen linear in die Gleichung ein Die Abhangigkeit bezuglich der unabhangigen Variablen kann dabei durchaus nichtlinear sein Die Theorie linearer partieller Differentialgleichungen ist am weitesten fortgeschritten jedoch weit davon entfernt abgeschlossen zu sein Man spricht von einer quasilinearen Gleichung falls alle Ableitungen von hochster Ordnung linear auftreten dies aber nicht mehr fur die Funktion und Ableitungen niedrigerer Ordnung gilt Eine quasilineare Gleichung ist schon schwieriger zu behandeln Eine quasilineare partielle Differentialgleichung ist semilinear falls die Koeffizientenfunktion vor den hochsten Ableitungen nicht von niedrigeren Ableitungen und der unbekannten Funktion abhangt Gerade im Gebiet der quasi und semilinearen Gleichungen werden zurzeit die meisten Resultate erzielt Kann man schliesslich auch keine lineare Abhangigkeit bezuglich der hochsten Ableitungen feststellen nennt man die Gleichung eine nichtlineare partielle Differentialgleichung oder eine vollstandig nichtlineare partielle Differentialgleichung Besonders interessant in dem Gebiet partieller Differentialgleichungen sind die Gleichungen zweiter Ordnung In diesen Spezialfallen gibt es noch weitere Klassifikationsmoglichkeiten Weitere Typen Bearbeiten Beim Typus der stochastischen Differentialgleichungen treten in der Gleichung stochastische Prozesse auf Eigentlich sind stochastische Differentialgleichungen keine Differentialgleichungen im obigen Sinne sondern lediglich gewisse Differentialrelationen welche als Differentialgleichung interpretiert werden konnen Der Typus der Algebro Differentialgleichungen zeichnet sich dadurch aus dass zusatzlich zur Differentialgleichung auch noch algebraische Relationen als Nebenbedingungen gegeben sind Weiter gibt es noch sogenannte retardierte Differentialgleichungen Hier treten neben einer Funktion und ihren Ableitungen zu einem Zeitpunkt t displaystyle t nbsp auch noch Funktionswerte bzw Ableitungen aus der Vergangenheit auf Unter einer Integro Differentialgleichung versteht man eine Gleichung in der nicht nur die Funktion und deren Ableitungen sondern auch noch Integrationen der Funktion auftauchen Ein wichtiges Beispiel dazu ist die Schrodingergleichung in der Impulsdarstellung Fredholm sche Integralgleichung Je nach Anwendungsgebiet und Methodik gibt es noch weitere Typen von Differentialgleichungen Systeme von Differentialgleichungen Bearbeiten Man spricht von einem System von Differentialgleichungen wenn y y 1 y k displaystyle y y 1 ldots y k nbsp eine vektorwertige Abbildung ist und mehrere Gleichungen F l x y D y D n y 0 l 1 k displaystyle F l left x y Dy ldots D n y right 0 qquad l 1 ldots k nbsp gleichzeitig zu erfullen sind Lasst sich dieses implizite Differentialgleichungssystem nicht uberall lokal in ein explizites System umwandeln so handelt es sich um eine Algebro Differentialgleichung Problemstellungen BearbeitenDifferentialgleichungen sind im Allgemeinen nicht eindeutig losbar sondern benotigen dazu Anfangs oder Randwerte Im Bereich der partiellen Differentialgleichungen konnen auch sogenannte Anfangsrandwertprobleme auftreten Grundsatzlich wird bei Anfangs oder Anfangsrandwertproblemen eine der Veranderlichen als Zeit interpretiert Bei diesen Problemen werden gewisse Daten zu einem gewissen Zeitpunkt namlich dem Anfangszeitpunkt vorgeschrieben Bei den Randwert oder Anfangsrandwertproblemen wird eine Losung der Differentialgleichung in einem beschrankten oder unbeschrankten Gebiet gesucht und wir stellen als Daten sogenannte Randwerte welche eben auf dem Rand des Gebietes gegeben sind Je nach Art der Randbedingungen unterscheidet man weitere Typen von Differentialgleichungen etwa Dirichlet Probleme oder Neumann Probleme Losungsmethoden BearbeitenAuf Grund der Vielfaltigkeiten sowohl bei den eigentlichen Differentialgleichungen als auch bei den Problemstellungen ist es nicht moglich eine allgemein gultige Losungsmethodik anzugeben Lediglich explizite gewohnliche Differentialgleichungen konnen mit einer geschlossenen Theorie gelost werden Eine Differentialgleichung nennt man integrabel wenn es moglich ist sie analytisch zu losen also eine Losungsfunktion das Integral anzugeben Sehr viele mathematische Probleme insbesondere nichtlineare und partielle Differentialgleichungen sind nicht integrabel darunter schon ganz einfach erscheinende wie die des Dreikorperproblems des Doppelpendels oder der meisten Kreiseltypen Lie Theorie Bearbeiten Hauptartikel Lie Theorie Ein strukturierter allgemeiner Ansatz zur Losung von Differentialgleichungen wird uber die Symmetrie und die kontinuierliche Gruppentheorie verfolgt 1870 stellte Sophus Lie in seiner Arbeit die Theorie der Differentialgleichungen mit der Lie Theorie auf eine allgemeingultige Grundlage Er zeigte dass die alteren mathematischen Theorien zur Losung von Differentialgleichungen durch die Einfuhrung von sogenannten Lie Gruppen zusammengefasst werden konnen Ein allgemeiner Ansatz zur Losung von Differentialgleichungen nutzt die Symmetrie Eigenschaft der Differentialgleichungen aus Dabei werden kontinuierliche infinitesimale Transformationen angewendet die Losungen auf andere Losungen der Differentialgleichung abbilden Kontinuierliche Gruppentheorie Lie Algebren und Differentialgeometrie werden verwendet um die tiefere Struktur der linearen und nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen zu erfassen und die Zusammenhange abzubilden die schliesslich zu den exakten analytischen Losungen einer Differentialgleichung fuhren Symmetriemethoden werden benutzt um Differentialgleichungen exakt zu losen Existenz und Eindeutigkeit Bearbeiten Die Fragen der Existenz Eindeutigkeit Darstellung und numerischen Berechnung von Losungen sind somit je nach Gleichung vollstandig bis gar nicht gelost Aufgrund der Bedeutung von Differentialgleichungen in der Praxis ist hierbei die Anwendung der numerischen Losungsverfahren besonders bei partiellen Differentialgleichungen weiter fortgeschritten als deren theoretische Untermauerung Eines der Millennium Probleme ist der Existenzbeweis einer regularen Losung fur die Navier Stokes Gleichungen Diese Gleichungen treten beispielsweise in der Stromungsmechanik auf Approximative Methoden Bearbeiten Differentialgleichungen haben als Losung Funktionen die Bedingungen an ihre Ableitungen erfullen Eine Approximation geschieht meist indem Raum und Zeit durch ein Rechengitter in endlich viele Teile zerlegt werden Diskretisierung Die Ableitungen werden dann nicht mehr durch einen Grenzwert dargestellt sondern durch Differenzen approximiert In der numerischen Mathematik wird der dadurch entstandene Fehler analysiert und moglichst gut abgeschatzt Ein fruhes Verfahren das Euler 1768 in seinem Buch Institutiones Calculi Integralis vorstellte ist das Eulerverfahren Je nach Art der Gleichung werden unterschiedliche Diskretisierungsansatze gewahlt bei partiellen Differentialgleichungen etwa Finite Differenzen Verfahren Finite Volumen Verfahren oder Finite Elemente Verfahren Die diskretisierte Differentialgleichung enthalt keine Ableitungen mehr sondern nur noch rein algebraische Ausdrucke Damit ergibt sich entweder eine direkte Losungsvorschrift oder ein lineares oder nichtlineares Gleichungssystem welches dann mittels numerischer Verfahren gelost werden kann Auftreten und Anwendungen BearbeitenEine Vielzahl von Phanomenen in Natur und Technik kann durch Differentialgleichungen und darauf aufbauende mathematische Modelle beschrieben werden Einige typische Beispiele sind Vielen physikalischen Theorien liegen Differentialgleichungen zu Grunde Bewegungsgleichungen oder Schwingungen in der newtonschen Mechanik das Belastungsverhalten von Bauteilen die Elektrodynamik wird von den Maxwell Gleichungen die Quantenmechanik von der Schrodingergleichung beherrscht in der Astronomie die Bahnen der Himmelskorper und die Turbulenzen im Innern der Sonne in der Biologie etwa Prozesse bei Wachstum bei Stromungen oder in Muskeln oder in der Evolutionstheorie in der Chemie die Kinetik von Reaktionen in der Elektrotechnik das Verhalten von Netzwerken mit energiespeichernden Elementen in der Differentialgeometrie das Verhalten von Flachen in der Stromungsmechanik das Verhalten ebendieser Stromungen in der Okonomie die Analyse von wirtschaftlichen Wachstumsprozessen Wachstumstheorie in der Informatik beispielsweise das Image Inpainting das Herausrechnen von Schrift oder Logos aus Bildern 2 Das Feld der Differentialgleichungen hat der Mathematik entscheidende Impulse verliehen Viele Teile der aktuellen Mathematik forschen an der Existenz Eindeutigkeits und Stabilitatstheorie verschiedener Typen von Differentialgleichungen Hohere Abstraktionsebenen BearbeitenDifferentialgleichungen oder Differentialgleichungssysteme setzen voraus dass ein System in algebraischer Form beschrieben und quantifiziert werden kann Weiterhin dass die beschreibenden Funktionen zumindest in den interessierenden Bereichen differenzierbar sind Im naturwissenschaftlich technischen Umfeld sind diese Voraussetzungen zwar haufig gegeben in vielen Fallen sind sie aber nicht erfullt Dann kann die Struktur eines Systems nur auf einer hoheren Abstraktions Ebene beschrieben werden Siehe hierzu in der Reihenfolge ansteigender Abstraktion Systemtheorie Ontologie Informatik Ontologie Philosophie Formale Begriffsanalyse Mathematik Ordnungsrelation Mathematik Siehe auch BearbeitenIntegralgleichungLiteratur BearbeitenG H Golub J M Ortega Wissenschaftliches Rechnen und Differentialgleichungen Eine Einfuhrung in die Numerische Mathematik Heldermann Verlag Lemgo 1995 ISBN 3 88538 106 0 G Oberholz Differentialgleichungen fur technische Berufe 4 Auflage Verlag Anita Oberholz Gelsenkirchen 1995 ISBN 3 9801902 4 2 P J Olver Equivalence Invariants and Symmetry Cambridge Press 1995 L Papula Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2 Viewegs Fachbucher der Technik Wiesbaden 2001 ISBN 3 528 94237 1 H Stephani Differential Equations Their Solution Using Symmetries Edited by M MacCallum Cambridge University Press 1989 H Benker Differentialgleichungen mit MATHCAD und MATLAB Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2005 Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Differentialgleichung Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Matroids Matheplanet Differentialgleichungen Anleitungen zum Losen diverser Differentialgleichungen mit Beispielen Mathematik Online Kurs zum Thema Differentialgleichung der Uni Stuttgart Dorte Haftendorn Differentialgleichungen Numerik Beispiele Isoklinen Uni Luneburg Arthur Mattuck Differential Equations Academic Earth MITEinzelnachweise Bearbeiten Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik Springer Spektrum Verlag 2017 Artikel lineare Differentialgleichung semilineare Differentialgleichung Ivars Peterson Filling in Blanks In Science News 161 Jahrgang Nr 19 Society for Science 11 Mai 2002 S 299 300 doi 10 2307 4013521 englisch Normdaten Sachbegriff GND 4012249 9 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Differentialgleichung amp oldid 228624095