www.wikidata.de-de.nina.az

Retardierte Differentialgleichung en sind ein spezieller Typ Differentialgleichung oft auch als DDE Delayed Differential

Retardierte Differentialgleichung

Retardierte Differentialgleichungen sind ein spezieller Typ Differentialgleichung, oft auch als DDE (Delayed Differential Equation) abgekürzt oder als Differentialgleichung mit nacheilendem Argument bezeichnet. Bei ihnen hängt die Ableitung einer unbekannten Funktion zum Zeitpunkt nicht nur vom Funktionswert an diesem Zeitpunkt ab, sondern auch von Funktionswerten an früheren Zeitpunkten oder von Integralen über die Funktion über vergangene Zeitintervalle. DDEs spielen in Modellen eine Rolle, in denen die Wirkung erst verspätet (retardiert) auf die Ursache folgt. Bekannte Beispiele sind in der Epidemiologie (Infektion, Inkubationszeit), Populationsentwicklung in der Biologie (Fortpflanzung, Geschlechtsreife) und Regelungstechnik (Verzögerungszeit) zu finden.

Notation Bearbeiten

Eine DDE mit einer unbekannten Funktion und einer punktweisen Verzögerung kann als

Eine DDE mit kontinuierlicher Verzögerung kann als

geschrieben werden.

Beispiele Bearbeiten

  • Populationsentwicklung

Besonderheiten Bearbeiten

Populationsentwicklung einer Art

Im Vergleich zu den Anfangswerten bei nicht-verzögerten Differentialgleichungen muss bei DDEs die Funktion über ein Zeitintervall gegeben sein, das mindestens so lang wie die maximale Verzögerung ist. Da man nun keine Startwerte wie bei nicht-verzögerten Anfangswertproblemen, sondern Startfunktionen mit prinzipiell unendlich vielen Parametern hat, spricht man auch von unendlich-dimensionalen Systemen. Eine weitere Besonderheit ist, dass Diskontinuitäten in den Anfangsbedingungen schrittweise auf höhere Ableitungen verlagert werden. Wird z. B. obige DDE mit den Parametern mit bei und initialisiert, ergibt sich die abgebildete Populationsentwicklung. Zum Zeitpunkt wird der bei vorhandene Sprung von auf auf die erste Ableitung übertragen, bei wird die Diskontinuität von der ersten Ableitung auf die zweite übertragen und so weiter, siehe auch das Beispiel schrittweises Integrieren. Anfängliche Unstetigkeiten klingen bei DDEs mit der Zeit ab.

Lösungsmethoden Bearbeiten

Die meisten DDE haben keine analytische Lösung, so dass man auf numerische Verfahren angewiesen ist.

Schrittweises Integrieren Bearbeiten

Ist eine Trennung der Variablen möglich, kann durch schrittweises Integrieren eine geschlossene Lösung gewonnen werden. Zur Veranschaulichung betrachte man eine DDE mit einer Verzögerungszeit :

und der Anfangsbedingung .

Die Lösung auf dem Intervall ist dann durch die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems

gegeben mit . Nun kann die Lösung als Anfangsbedingung für die Lösung auf dem Intervall verwendet werden. Durch N-fache Wiederholung dieser Schritte kann eine geschlossene Lösung auf dem Intervall gefunden werden.

Beispiel Bearbeiten

Die DDE mit der Anfangsbedingung für führt zur inhomogenen Differentialgleichung

Durch Trennung der Variablen gewinnt man

womit die Lösung für das Intervall bekannt ist. Für das Intervall findet man

und so weiter. Die Gesamtlösung ist dann als zusammengesetzte Funktion dieser Teillösungen gegeben:

Als nicht-verzögertes DGL-System umschreiben Bearbeiten

Manchmal kann man kontinuierliche DDE als ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen schreiben.

Beispiel Bearbeiten

Durch die Substitution erhält man durch partielle Integration

Weblinks Bearbeiten

Quellen Bearbeiten

  1. O. Arino, M.L. Hbid, E. Ait Dads (Hrsg.): Delay Differential Equations and Applications. In: NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. Springer-Verlag, Niederlande 2006.
  2. M. R. Roussel: Delay-differential equations. (PDF; 110 kB) 2005.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Retardierte Differentialgleichungen sind ein spezieller Typ Differentialgleichung oft auch als DDE Delayed Differential Equation abgekurzt oder als Differentialgleichung mit nacheilendem Argument bezeichnet Bei ihnen hangt die Ableitung einer unbekannten Funktion zum Zeitpunkt t displaystyle t nicht nur vom Funktionswert an diesem Zeitpunkt ab sondern auch von Funktionswerten an fruheren Zeitpunkten t t i displaystyle t tau i oder von Integralen uber die Funktion uber vergangene Zeitintervalle DDEs spielen in Modellen eine Rolle in denen die Wirkung erst verspatet retardiert auf die Ursache folgt Bekannte Beispiele sind in der Epidemiologie Infektion Inkubationszeit Populationsentwicklung in der Biologie Fortpflanzung Geschlechtsreife und Regelungstechnik Verzogerungszeit zu finden Inhaltsverzeichnis 1 Notation 2 Beispiele 3 Besonderheiten 4 Losungsmethoden 4 1 Schrittweises Integrieren 4 1 1 Beispiel 4 2 Als nicht verzogertes DGL System umschreiben 4 2 1 Beispiel 5 Weblinks 6 QuellenNotation BearbeitenEine DDE mit einer unbekannten Funktion x t displaystyle x t nbsp und einer punktweisen Verzogerung kann als x f t x t x t 1 x t n displaystyle dot x f t x t x tau 1 ldots x tau n nbsp notiert werden mit x d d t x t displaystyle dot x frac rm d rm d t x t nbsp und x t n x t t n displaystyle x tau n x t tau n nbsp Eine DDE mit kontinuierlicher Verzogerung kann als x f t x t 0 x t t d m t displaystyle dot x f left t x t int infty 0 x t tau rm d mu tau right nbsp geschrieben werden Beispiele BearbeitenPopulationsentwicklungSei x displaystyle x nbsp die Populationsdichte geschlechtsreifer Individuen t displaystyle tau nbsp die Dauer bis zur Geschlechtsreife a displaystyle alpha nbsp die Pro Kopf Fortpflanzungsrate m displaystyle mu nbsp die Sterberate und p displaystyle p nbsp die Wahrscheinlichkeit dass die Geschlechtsreife erreicht wird Dann entwickelt sich die Populationsdichte gemassx m x t a p x t t displaystyle dot x mu x t alpha px t tau nbsp 1 dd Besonderheiten Bearbeiten nbsp Populationsentwicklung einer ArtIm Vergleich zu den Anfangswerten bei nicht verzogerten Differentialgleichungen muss bei DDEs die Funktion x t displaystyle x t nbsp uber ein Zeitintervall gegeben sein das mindestens so lang wie die maximale Verzogerung ist Da man nun keine n displaystyle n nbsp Startwerte wie bei nicht verzogerten Anfangswertproblemen sondern Startfunktionen mit prinzipiell unendlich vielen Parametern hat spricht man auch von unendlich dimensionalen Systemen Eine weitere Besonderheit ist dass Diskontinuitaten in den Anfangsbedingungen schrittweise auf hohere Ableitungen verlagert werden Wird z B obige DDE mit den Parametern m 0 1 a p 0 5 t 3 displaystyle mu 0 1 alpha p 0 5 tau 3 nbsp mit x t 0 displaystyle x t 0 nbsp bei 3 t lt 0 displaystyle 3 leq t lt 0 nbsp und x 0 10 displaystyle x 0 10 nbsp initialisiert ergibt sich die abgebildete Populationsentwicklung Zum Zeitpunkt t 3 displaystyle t 3 nbsp wird der bei t 0 displaystyle t 0 nbsp vorhandene Sprung von x 0 displaystyle x 0 nbsp auf x 10 displaystyle x 10 nbsp auf die erste Ableitung x displaystyle dot x nbsp ubertragen bei t 6 displaystyle t 6 nbsp wird die Diskontinuitat von der ersten Ableitung auf die zweite ubertragen und so weiter siehe auch das Beispiel schrittweises Integrieren Anfangliche Unstetigkeiten klingen bei DDEs mit der Zeit ab Losungsmethoden BearbeitenDie meisten DDE haben keine analytische Losung so dass man auf numerische Verfahren angewiesen ist 2 Schrittweises Integrieren Bearbeiten Ist eine Trennung der Variablen moglich kann durch schrittweises Integrieren eine geschlossene Losung gewonnen werden Zur Veranschaulichung betrachte man eine DDE mit einer Verzogerungszeit t displaystyle tau nbsp d d t x t f x t x t t displaystyle frac rm d rm d t x t f x t x t tau nbsp und der Anfangsbedingung ϕ t t 0 R n displaystyle phi t colon tau 0 to mathbb R n nbsp Die Losung x 1 t displaystyle x 1 t nbsp auf dem Intervall 0 t displaystyle 0 tau nbsp ist dann durch die Losung des inhomogenen Anfangswertproblems d d t x 1 t f x 1 t ϕ t t displaystyle frac rm d rm d t x 1 t f x 1 t phi t tau nbsp gegeben mit x 1 0 ϕ 0 displaystyle x 1 0 phi 0 nbsp Nun kann die Losung x 1 t displaystyle x 1 t nbsp als Anfangsbedingung ps t x 1 t displaystyle psi t x 1 t nbsp fur die Losung x 2 t displaystyle x 2 t nbsp auf dem Intervall t 2 t displaystyle tau 2 tau nbsp verwendet werden Durch N fache Wiederholung dieser Schritte kann eine geschlossene Losung auf dem Intervall 0 N t displaystyle 0 N tau nbsp gefunden werden Beispiel Bearbeiten Die DDE d d t x t x t 1 displaystyle frac rm d rm d t x t x t 1 nbsp mit der Anfangsbedingung x t ϕ t 1 displaystyle x t phi t 1 nbsp fur t 0 displaystyle t leq 0 nbsp fuhrt zur inhomogenen Differentialgleichung d d t x 1 t 1 displaystyle frac rm d rm d t x 1 t 1 nbsp fur t 0 1 displaystyle t in 0 1 nbsp Durch Trennung der Variablen gewinnt man x 1 0 x 1 t d x 0 t 1 d t displaystyle int x 1 0 x 1 t rm d x int 0 t 1 rm d t nbsp x 1 t 1 t displaystyle x 1 t 1 t nbsp x 1 t t 1 displaystyle x 1 t t 1 nbsp womit die Losung fur das Intervall 0 t 1 displaystyle 0 leq t leq 1 nbsp bekannt ist Fur das Intervall 1 t 2 displaystyle 1 leq t leq 2 nbsp findet man x 2 1 x 2 t d x 1 t t d t displaystyle int x 2 1 x 2 t rm d x int 1 t t rm d t nbsp x 2 t 2 t 2 2 1 2 displaystyle x 2 t 2 frac t 2 2 frac 1 2 nbsp x 2 t t 2 2 3 2 displaystyle x 2 t frac t 2 2 frac 3 2 nbsp und so weiter Die Gesamtlosung ist dann als zusammengesetzte Funktion dieser Teillosungen gegeben x t x 1 t 0 t 1 x 2 t 1 t 2 x N t N 1 t N displaystyle x t begin cases x 1 t amp 0 leq t leq 1 x 2 t amp 1 leq t leq 2 dots amp dots x N t amp N 1 leq t leq N end cases nbsp Als nicht verzogertes DGL System umschreiben Bearbeiten Manchmal kann man kontinuierliche DDE als ein System gewohnlicher Differentialgleichungen schreiben Beispiel Bearbeiten d d t x t f t x t 0 x t t e l t d t displaystyle frac rm d rm d t x t f left t x t int infty 0 x t tau e lambda tau rm d tau right nbsp Durch die Substitution y t 0 x t t e l t d t displaystyle y t int infty 0 x t tau e lambda tau rm d tau nbsp erhalt man durch partielle Integration d d t x t f t x t y t d d t y t x t l y t displaystyle frac rm d rm d t x t f t x t y t quad frac rm d rm d t y t x t lambda y t nbsp Weblinks BearbeitenDDEs auf Scholarpedia org Partial DDEs auf Scholarpedia org Homepage von XPPAUT einem kostenlosen Programm mit dem unter anderem DDEs numerisch integriert werden konnen Quellen Bearbeiten O Arino M L Hbid E Ait Dads Hrsg Delay Differential Equations and Applications In NATO Science Series II Mathematics Physics and Chemistry Springer Verlag Niederlande 2006 M R Roussel Delay differential equations PDF 110 kB 2005 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Retardierte Differentialgleichung amp oldid 197681238