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Dirichlet-Randbedingung

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Als Dirichlet-Randbedingung (nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet) bezeichnet man im Zusammenhang mit Differentialgleichungen (genauer: Randwertproblemen) Werte, die auf dem jeweiligen Rand des Definitionsbereichs von der Funktion angenommen werden sollen.

Weitere Randbedingungen sind beispielsweise Neumann-Randbedingungen oder schiefe Randbedingungen.

Gewöhnliche Differentialgleichung Bearbeiten

Das Dirichletproblem Bearbeiten

Im Falle einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist der Definitionsbereich der Funktion ein abgeschlossenes Intervall. Folglich besteht der Rand des Definitionsbereiches nur aus dem rechten und dem linken Intervall-Ende. Aufgrund der Freiheit in gewöhnlichen Differentialgleichungen sind Dirichlet-Randbedingungen nur für Gleichungen von zweiter oder höherer Ordnung sinnvoll. In diesem Fall sieht ein Dirichletproblem, d. h. eine Differentialgleichung mit Dirichlet-Randbedingung, folgendermaßen aus:

Hierbei ist eine vorgeschriebene Funktion, und sind vorgeschriebene reelle Zahlen für die Funktionswerte einer Lösung an den Intervallenden. Schließlich suchen wir eine (klassische) Lösung aus der angegebenen Regularitätsklasse.

Beispiel Bearbeiten

Wir wählen als unser Intervall und betrachten das folgende Dirichletproblem:

Mit der Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten erhalten wir zunächst als allgemeine (klassische) Lösung der Differentialgleichung:

mit zwei frei wählbaren reellen Konstanten und . Wir benutzen die Randbedingungen, um diese Konstanten zu fixieren. Dabei erhalten wir ein lineares Gleichungssystem in den Unbekannten und :

Bemerkenswerterweise ist dieses System nicht eindeutig lösbar, aber es ist für beliebiges reelles eine Lösung gegeben durch

Existenz und Eindeutigkeit Bearbeiten

Der folgende Satz wird für homogene () Daten formuliert. Dies ist jedoch keine Einschränkung, denn durch eine Transformation mit

kann ein inhomogenes Problem stets in ein homogenes Problem überführt werden.

Gegeben sei die Aufgabe

Dabei sei eine stetige Funktion. Außerdem erfülle sie eine Lipschitz-Bedingung, das heißt, es gebe Zahlen , so dass für alle und für alle die Ungleichung

erfüllt sei. Weiterhin gelte

Sei eine Lösung von

verschwinde für und sei die erste eindeutige Zahl, so dass für . Dann hat die zugrunde liegende Aufgabe genau eine Lösung, falls

Gilt hingegen , so muss keine Lösung existieren oder sie muss nicht eindeutig sein. Weiterhin gilt

Einen Beweis dieses Satzes findet man in Bailey, Shampine, Waltman. Nonlinear two-point boundary value problems. Academic Press, 1968.

Ist die rechte Seite der Differentialgleichung jedoch nur stetig und beschränkt, dann garantiert der Satz von Scorza Dragoni die Existenz einer Lösung.

Partielle Differentialgleichungen Bearbeiten

Das Dirichletproblem Bearbeiten

Bei einer partiellen Differentialgleichung ist die alleinige Angabe von Dirichlet-Randbedingungen nur für elliptische Gleichungen auf einem beschränkten Gebiet sinnvoll, da die anderen Typen auch Vorgaben der Anfangswerte benötigen. Dabei werden Dirichlet-Randbedingungen auf dem Rand des Gebietes vorgeschrieben. Wir definieren hier das Dirichletproblem für quasilineare partielle Differentialgleichungen

Hierbei stellt die Funktion die vorgeschriebenen Funktionswerte der Lösung auf dem Rand dar. Allein die Frage nach der Lösbarkeit eines solchen Problems ist schon sehr anspruchsvoll und steht im Mittelpunkt der aktuellen Forschung. Es ist auch sehr schwierig, eine allgemeingültige Lösungsmethode anzugeben.

Beispiel Bearbeiten

Wir betrachten in diesem Beispiel auf dem Gebiet das folgende Randwertproblem:

Hierbei bezeichnet den Laplace-Operator. Zunächst stellen wir fest, dass eine Lösung des Problems ist. Wir wollen noch weitere Lösungen finden. Wir nehmen nun für an und machen den folgenden Produktansatz

Für die Funktionen leiten wir gewöhnliche Differentialgleichungen mit entsprechenden Dirichlet-Randbedingungen her. Es folgt

Wenn nun die dem Randwertproblem

genügen, dann ist die oben definierte Funktion eine Lösung des Dirichlet-Randwertproblems für die partielle Differentialgleichung. Mit dem Beispiel für gewöhnliche Differentialgleichungen erhalten wir

und somit

als Lösung unseres Problems partieller Differentialgleichungen zu Dirichlet-Randbedingungen. Offen bleibt die Frage, ob es noch weitere Lösungen gibt.

Literatur Bearbeiten

  • D. Gilbarg, N.S. Trudinger: Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, Berlin 1998, ISBN 3-540-41160-7.
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Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Einzelnachweise fehlen Als Dirichlet Randbedingung nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet bezeichnet man im Zusammenhang mit Differentialgleichungen genauer Randwertproblemen Werte die auf dem jeweiligen Rand des Definitionsbereichs von der Funktion angenommen werden sollen Weitere Randbedingungen sind beispielsweise Neumann Randbedingungen oder schiefe Randbedingungen Inhaltsverzeichnis 1 Gewohnliche Differentialgleichung 1 1 Das Dirichletproblem 1 2 Beispiel 1 3 Existenz und Eindeutigkeit 2 Partielle Differentialgleichungen 2 1 Das Dirichletproblem 2 2 Beispiel 3 LiteraturGewohnliche Differentialgleichung BearbeitenDas Dirichletproblem Bearbeiten Im Falle einer gewohnlichen Differentialgleichung ist der Definitionsbereich der Funktion ein abgeschlossenes Intervall Folglich besteht der Rand des Definitionsbereiches nur aus dem rechten und dem linken Intervall Ende Aufgrund der Freiheit in gewohnlichen Differentialgleichungen sind Dirichlet Randbedingungen nur fur Gleichungen von zweiter oder hoherer Ordnung sinnvoll In diesem Fall sieht ein Dirichletproblem d h eine Differentialgleichung mit Dirichlet Randbedingung folgendermassen aus f x y x y x y x 0 x a b y a a y b b displaystyle begin cases f x y x y x y x 0 quad x in a b y a alpha quad y b beta end cases nbsp Hierbei ist f displaystyle f nbsp eine vorgeschriebene Funktion a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp sind vorgeschriebene reelle Zahlen fur die Funktionswerte einer Losung an den Intervallenden Schliesslich suchen wir eine klassische Losung y C 2 a b C 0 a b displaystyle y in C 2 a b cap C 0 a b nbsp aus der angegebenen Regularitatsklasse Beispiel Bearbeiten Wir wahlen als unser Intervall 0 p displaystyle 0 pi nbsp und betrachten das folgende Dirichletproblem y y y 0 0 y p 0 displaystyle begin cases y y y 0 0 quad y pi 0 end cases nbsp Mit der Theorie der linearen gewohnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten erhalten wir zunachst als allgemeine klassische Losung der Differentialgleichung y x C cos x D sin x displaystyle y x C cos x D sin x nbsp mit zwei frei wahlbaren reellen Konstanten C displaystyle C nbsp und D displaystyle D nbsp Wir benutzen die Randbedingungen um diese Konstanten zu fixieren Dabei erhalten wir ein lineares Gleichungssystem in den Unbekannten C displaystyle C nbsp und D displaystyle D nbsp C 0 displaystyle C 0 nbsp C 0 displaystyle C 0 nbsp Bemerkenswerterweise ist dieses System nicht eindeutig losbar aber es ist fur beliebiges reelles D displaystyle D nbsp eine Losung gegeben durch y x D sin x displaystyle y x D sin x nbsp Existenz und Eindeutigkeit Bearbeiten Der folgende Satz wird fur homogene a b 0 displaystyle alpha beta 0 nbsp Daten formuliert Dies ist jedoch keine Einschrankung denn durch eine Transformation u x u x r x displaystyle tilde u x u x r x nbsp mit r x b x a x a b b a displaystyle r x frac b x alpha x a beta b a nbsp kann ein inhomogenes Problem stets in ein homogenes Problem uberfuhrt werden Gegeben sei die Aufgabe u x f x u x u x x a b u a u b 0 displaystyle begin cases u x f x u x u x quad x in a b u a u b 0 end cases nbsp Dabei sei f a b R 2 R displaystyle f colon a b times mathbb R 2 to mathbb R nbsp eine stetige Funktion Ausserdem erfulle sie eine Lipschitz Bedingung das heisst es gebe Zahlen L K gt 0 displaystyle L K gt 0 nbsp so dass fur alle x a b displaystyle x in a b nbsp und fur alle s t s t R displaystyle s t s t in mathbb R nbsp die Ungleichung f x s s f x t t L s t K s t displaystyle f x s s f x t t leq L s t K s t nbsp erfullt sei Weiterhin gelte L b a 2 8 K b a 2 lt 1 displaystyle L frac b a 2 8 K frac b a 2 lt 1 nbsp Sei w displaystyle w nbsp eine Losung von w x L w x K w x 0 x a b displaystyle w x Lw x Kw x 0 quad x in a b nbsp w displaystyle w nbsp verschwinde fur x a displaystyle x a nbsp und a L K displaystyle alpha L K nbsp sei die erste eindeutige Zahl so dass w x 0 displaystyle w x 0 nbsp fur x a a L K displaystyle x a alpha L K nbsp Dann hat die zugrunde liegende Aufgabe genau eine Losung falls b a lt 2 a L K displaystyle b a lt 2 alpha L K nbsp Gilt hingegen b a 2 a L K displaystyle b a geq 2 alpha L K nbsp so muss keine Losung existieren oder sie muss nicht eindeutig sein Weiterhin gilt a L K 2 4 K L 2 arccos L 2 K 4 K L 2 gt 0 2 L 2 4 K arcosh L 2 K 4 K L 2 lt 0 L K gt 0 2 L 4 K L 2 0 L gt 0 sonst displaystyle alpha L K begin cases frac 2 sqrt 4K L 2 arccos frac L 2 sqrt K amp 4K L 2 gt 0 frac 2 L 2 4K operatorname arcosh frac L 2 sqrt K amp 4K L 2 lt 0 L K gt 0 frac 2 L amp 4K L 2 0 L gt 0 infty amp text sonst end cases nbsp Einen Beweis dieses Satzes findet man in Bailey Shampine Waltman Nonlinear two point boundary value problems Academic Press 1968 Ist die rechte Seite f displaystyle f nbsp der Differentialgleichung jedoch nur stetig und beschrankt dann garantiert der Satz von Scorza Dragoni die Existenz einer Losung Partielle Differentialgleichungen BearbeitenDas Dirichletproblem Bearbeiten Bei einer partiellen Differentialgleichung ist die alleinige Angabe von Dirichlet Randbedingungen nur fur elliptische Gleichungen auf einem beschrankten Gebiet W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp sinnvoll da die anderen Typen auch Vorgaben der Anfangswerte benotigen Dabei werden Dirichlet Randbedingungen auf dem Rand des Gebietes W displaystyle partial Omega nbsp vorgeschrieben Wir definieren hier das Dirichletproblem fur quasilineare partielle Differentialgleichungen u C 2 W C 0 W displaystyle u in C 2 Omega cap C 0 overline Omega nbsp i j 1 n a i j x u u 2 x i x j u f x u u displaystyle sum i j 1 n a ij x u nabla u frac partial 2 partial x i partial x j u f x u nabla u nbsp u x g x x W displaystyle u x g x qquad x in partial Omega nbsp Hierbei stellt die Funktion g W R displaystyle g colon partial Omega rightarrow mathbb R nbsp die vorgeschriebenen Funktionswerte der Losung auf dem Rand dar Allein die Frage nach der Losbarkeit eines solchen Problems ist schon sehr anspruchsvoll und steht im Mittelpunkt der aktuellen Forschung Es ist auch sehr schwierig eine allgemeingultige Losungsmethode anzugeben Beispiel Bearbeiten Wir betrachten in diesem Beispiel auf dem Gebiet W 0 p n x x 1 x n R n 0 lt x i lt p i 1 n displaystyle Omega 0 pi n x x 1 dots x n in mathbb R n 0 lt x i lt pi quad i 1 dots n nbsp das folgende Randwertproblem u C 2 W C 0 W displaystyle u in C 2 Omega cap C 0 overline Omega nbsp D u x n u x x W displaystyle Delta u x nu x qquad x in Omega nbsp u x 0 x W displaystyle u x 0 qquad qquad quad x in partial Omega nbsp Hierbei bezeichnet D displaystyle Delta nbsp den Laplace Operator Zunachst stellen wir fest dass u 0 displaystyle u equiv 0 nbsp eine Losung des Problems ist Wir wollen noch weitere Losungen finden Wir nehmen nun u x 0 displaystyle u x neq 0 nbsp fur x W displaystyle x in Omega nbsp an und machen den folgenden Produktansatz u x v 1 x 1 v n x n k 1 n v k x k displaystyle u x v 1 x 1 cdot dots cdot v n x n prod k 1 n v k x k nbsp Fur die Funktionen v k displaystyle v k nbsp leiten wir gewohnliche Differentialgleichungen mit entsprechenden Dirichlet Randbedingungen her Es folgt D u 2 x 1 2 2 x n 2 u x v 1 x 1 v 2 x 2 v n x n v 1 x 1 v n 1 x n 1 v n x n u x k 1 n v k x k v k x k displaystyle begin aligned Delta u amp left frac partial 2 partial x 1 2 dots frac partial 2 partial x n 2 right u x amp v 1 x 1 v 2 x 2 cdot dots cdot v n x n dots v 1 x 1 cdot dots cdot v n 1 x n 1 v n x n amp u x sum k 1 n frac v k x k v k x k end aligned nbsp Wenn nun die v k displaystyle v k nbsp dem Randwertproblem v k C 2 0 p C 0 0 p displaystyle v k in C 2 0 pi cap C 0 0 pi nbsp v k v k displaystyle v k v k nbsp v k 0 0 v k p 0 displaystyle v k 0 0 quad v k pi 0 nbsp genugen dann ist die oben definierte Funktion u displaystyle u nbsp eine Losung des Dirichlet Randwertproblems fur die partielle Differentialgleichung Mit dem Beispiel fur gewohnliche Differentialgleichungen erhalten wir v k x D k sin x k displaystyle v k x D k sin x k nbsp und somit u x D k 1 n sin x k displaystyle u x D prod k 1 n sin x k nbsp als Losung unseres Problems partieller Differentialgleichungen zu Dirichlet Randbedingungen Offen bleibt die Frage ob es noch weitere Losungen gibt Literatur BearbeitenD Gilbarg N S Trudinger Partial Differential Equations of Second Order Springer Verlag Berlin 1998 ISBN 3 540 41160 7 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dirichlet Randbedingung amp oldid 230610078