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Millennium Probleme Als werden die im Jahr 2000 vom Clay Mathematics Institute CMI in Cambridge Massachusetts in einer L

Millennium-Probleme

Als Millennium-Probleme werden die im Jahr 2000 vom Clay Mathematics Institute (CMI) in Cambridge (Massachusetts) in einer Liste aufgezählten ungelösten Probleme der Mathematik bezeichnet. Das Institut hat für die Lösung eines der sieben Probleme ein Preisgeld von jeweils einer Million US-Dollar ausgelobt.

Liste der Probleme Bearbeiten

Die Liste enthält die folgenden sieben Probleme:

  1. der Beweis der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer aus der Zahlentheorie,
  2. der Beweis der Vermutung von Hodge aus der algebraischen Geometrie,
  3. Analyse von Existenz und Regularität von Lösungen des Anfangswertproblems der dreidimensionalen inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen.
  4. die Lösung des P-NP-Problems der Informatik,
  5. der Beweis der Poincaré-Vermutung in der Topologie (2002 gelöst von Grigori Jakowlewitsch Perelman, die Vermutung trifft zu),
  6. der Beweis der Riemannschen Vermutung der Zahlentheorie,
  7. die Erforschung der Gleichungen von Yang-Mills.

Bei den Navier-Stokes-Gleichungen werden mehrere Varianten formuliert, unter anderem die Frage nach der Existenz von glatten () Lösungen (Geschwindigkeit), (Druck) der inkompressiblen kräftefreien Navier-Stokes-Gleichung in drei Dimensionen für alle positiven Zeiten, wobei die Energie beschränkt bleibt . Der Anfangswert wird als glatt vorausgesetzt (), mit einer Wachstumsbeschränkung an die räumlichen Ableitungen. In einer anderen Variante werden periodische Randbedingungen vorgegeben (Lösungen auf dem dreidimensionalen Torus statt in ). Es wird auch danach gefragt, ob es glatte Kraftfelder (mit Beschränkungen des Wachstums der Ableitungen von und ) und Anfangsbedingungen gibt, für die keine solchen für alle positiven Zeiten glatten Lösungen für Druck und Geschwindigkeit existieren (wie oben mit endlicher Energie).

In Bezug auf die Gleichungen von Yang-Mills wird nach einer strengen Begründung (im Sinn der Axiomatischen Quantenfeldtheorie) der quantisierten Yang-Mills-Theorie für beliebige kompakte einfache Eichgruppen in vier Dimensionen (euklidische Raum-Zeit) gefragt und der Existenz einer Massenlücke (das heißt, die vorhergesagten energetisch niedrigsten Anregungen haben endliche positive Masse). Das entspricht der Erwartung im Fall der Quantenchromodynamik (QCD), wo Glueballs endliche nichtverschwindende Masse haben, auch wenn die Eichbosonen (Gluonen) masselos sind. Das Problem wurde auch als Annäherung an das wichtigste ungelöste Problem von Yang-Mills-Theorien wie der QCD gewählt, das Confinement-Problem.

Diese Millennium-Liste steht in der Tradition der 100 Jahre zuvor am 8. August 1900 vom deutschen Mathematiker David Hilbert auf dem Internationalen Mathematiker-Kongress in Paris aufgestellten Liste von 23 bis dahin ungelösten Problemen der Mathematik, die die Entwicklung der Mathematik im 20. Jahrhundert wesentlich befruchtet und vorangebracht hat. Die Riemannsche Vermutung ist als einziges Problem auf beiden Listen zu finden.

Lösungen Bearbeiten

Poincaré-Vermutung Bearbeiten

Die Poincaré-Vermutung wurde 2002 von Grigori Jakowlewitsch Perelman bewiesen. Für seine bahnbrechenden Arbeiten wurde ihm 2006 die Fields-Medaille verliehen, die er jedoch (als erster Mathematiker der Geschichte) ablehnte. Das Clay-Institut erkannte ihm 2010 das Preisgeld von einer Million Dollar zu, dies lehnte er jedoch ebenfalls ab.

Literatur Bearbeiten

  • Pierre Basieux: Die Top Seven der mathematischen Vermutungen. rororo, Reinbek bei Hamburg 2004. ISBN 3-499-61932-6.
  • James A. Carlson: The millennium prize problems. American Math. Soc., Providence 2006, ISBN 0-8218-3679-X.
  • Keith J. Devlin: The millennium problems - the seven greatest unsolved mathematical puzzles of our time. Basic Books, New York 2002, ISBN 0-465-01729-0.

Weblinks Bearbeiten

Videos Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Genie lehnt Preisgeld ab. In: Focus Online. 2. Juli 2010, abgerufen am 27. Dezember 2013.
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Veröffentlichungsdatum:
Als Millennium Probleme werden die im Jahr 2000 vom Clay Mathematics Institute CMI in Cambridge Massachusetts in einer Liste aufgezahlten ungelosten Probleme der Mathematik bezeichnet Das Institut hat fur die Losung eines der sieben Probleme ein Preisgeld von jeweils einer Million US Dollar ausgelobt Inhaltsverzeichnis 1 Liste der Probleme 2 Losungen 2 1 Poincare Vermutung 3 Literatur 4 Weblinks 4 1 Videos 5 EinzelnachweiseListe der Probleme BearbeitenDie Liste enthalt die folgenden sieben Probleme der Beweis der Vermutung von Birch und Swinnerton Dyer aus der Zahlentheorie der Beweis der Vermutung von Hodge aus der algebraischen Geometrie Analyse von Existenz und Regularitat von Losungen des Anfangswertproblems der dreidimensionalen inkompressiblen Navier Stokes Gleichungen die Losung des P NP Problems der Informatik der Beweis der Poincare Vermutung in der Topologie 2002 gelost von Grigori Jakowlewitsch Perelman die Vermutung trifft zu der Beweis der Riemannschen Vermutung der Zahlentheorie die Erforschung der Gleichungen von Yang Mills Bei den Navier Stokes Gleichungen werden mehrere Varianten formuliert unter anderem die Frage nach der Existenz von glatten C displaystyle C infty nbsp Losungen u x t displaystyle u x t nbsp Geschwindigkeit p x t displaystyle p x t nbsp Druck der inkompressiblen kraftefreien Navier Stokes Gleichung in drei Dimensionen fur alle positiven Zeiten wobei die Energie beschrankt bleibt u 2 d V lt C displaystyle textstyle left int u 2 text d V lt C right nbsp Der Anfangswert u 0 u x 0 displaystyle u 0 u x 0 nbsp wird als glatt vorausgesetzt C displaystyle C infty nbsp mit einer Wachstumsbeschrankung an die raumlichen Ableitungen In einer anderen Variante werden periodische Randbedingungen vorgegeben Losungen auf dem dreidimensionalen Torus R 3 Z 3 displaystyle mathbb R 3 mathbb Z 3 nbsp statt in R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp Es wird auch danach gefragt ob es glatte Kraftfelder f displaystyle f nbsp mit Beschrankungen des Wachstums der Ableitungen von f displaystyle f nbsp und u 0 displaystyle u 0 nbsp und Anfangsbedingungen gibt fur die keine solchen fur alle positiven Zeiten glatten Losungen fur Druck p displaystyle p nbsp und Geschwindigkeit u displaystyle u nbsp existieren wie oben mit endlicher Energie In Bezug auf die Gleichungen von Yang Mills wird nach einer strengen Begrundung im Sinn der Axiomatischen Quantenfeldtheorie der quantisierten Yang Mills Theorie fur beliebige kompakte einfache Eichgruppen G displaystyle G nbsp in vier Dimensionen euklidische Raum Zeit gefragt und der Existenz einer Massenlucke das heisst die vorhergesagten energetisch niedrigsten Anregungen haben endliche positive Masse Das entspricht der Erwartung im Fall der Quantenchromodynamik QCD wo Glueballs endliche nichtverschwindende Masse haben auch wenn die Eichbosonen Gluonen masselos sind Das Problem wurde auch als Annaherung an das wichtigste ungeloste Problem von Yang Mills Theorien wie der QCD gewahlt das Confinement Problem Diese Millennium Liste steht in der Tradition der 100 Jahre zuvor am 8 August 1900 vom deutschen Mathematiker David Hilbert auf dem Internationalen Mathematiker Kongress in Paris aufgestellten Liste von 23 bis dahin ungelosten Problemen der Mathematik die die Entwicklung der Mathematik im 20 Jahrhundert wesentlich befruchtet und vorangebracht hat Die Riemannsche Vermutung ist als einziges Problem auf beiden Listen zu finden Losungen BearbeitenPoincare Vermutung Bearbeiten Die Poincare Vermutung wurde 2002 von Grigori Jakowlewitsch Perelman bewiesen Fur seine bahnbrechenden Arbeiten wurde ihm 2006 die Fields Medaille verliehen die er jedoch als erster Mathematiker der Geschichte ablehnte Das Clay Institut erkannte ihm 2010 das Preisgeld von einer Million Dollar zu dies lehnte er jedoch ebenfalls ab 1 Literatur BearbeitenPierre Basieux Die Top Seven der mathematischen Vermutungen rororo Reinbek bei Hamburg 2004 ISBN 3 499 61932 6 James A Carlson The millennium prize problems American Math Soc Providence 2006 ISBN 0 8218 3679 X Keith J Devlin The millennium problems the seven greatest unsolved mathematical puzzles of our time Basic Books New York 2002 ISBN 0 465 01729 0 Weblinks BearbeitenCMI Seite zu den Millennium Problemen John Baez zu den Millennium Problemen englischVideos Bearbeiten Millennium Meeting claymath orgEinzelnachweise Bearbeiten Genie lehnt Preisgeld ab In Focus Online 2 Juli 2010 abgerufen am 27 Dezember 2013 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Millennium Probleme amp oldid 227252811