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Integralgleichung Eine Gleichung wird in der Mathematik genannt wenn die gesuchte Funktion unter einem Integral vorkommt

Integralgleichung

Eine Gleichung wird in der Mathematik Integralgleichung genannt, wenn die gesuchte Funktion unter einem Integral vorkommt. Integralgleichungen können in Naturwissenschaft und Technik zur Beschreibung verschiedener Phänomene verwendet werden.

Integralgleichungen wurden zuerst zu Beginn des 19. Jahrhunderts von Niels Henrik Abel intensiver untersucht. Auf ihn geht auch die Abelsche Integralgleichung zurück, die zu den ersten untersuchten Integralgleichungen zählt. Fortschritte in diesem Thema wurden zu Beginn des 20. Jahrhunderts insbesondere durch Erik Ivar Fredholm, David Hilbert und Erhard Schmidt erzielt. Hilbert und Schmidt entwickelten dabei die Theorie der Hilbert-Schmidt-Operatoren. Das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Theorie der Integralgleichungen beschäftigt, ist die Funktionalanalysis.

Definition Bearbeiten

Lineare Integralgleichung Bearbeiten

Eine lineare Integralgleichung ist eine Gleichung für eine unbekannte Funktion und hat für die Form

wobei , , gegebene Funktionen und kompakt sind. Die Funktion wird Kern genannt.

Nichtlineare Integralgleichung Bearbeiten

Eine nichtlineare Integralgleichung hat die Gestalt

mit einem geeigneten Definitionsbereich der Kernfunktion und einem geeigneten Integrationsbereich . Dabei geht die gesuchte Funktion nun nichtlinear in die Kernfunktion ein.

Klassifikation linearer Integralgleichungen Bearbeiten

Lineare Integralgleichungen kann man in

einteilen.

Bei Integralgleichungen 1. Art tritt die gesuchte unbekannte Funktion nur im Integral auf, bei solchen 2. Art auch außerhalb.

Diese Einteilung erscheint willkürlich, ist aber aufgrund der unterschiedlichen analytischen Eigenschaften der jeweiligen Arten von Integralgleichungen notwendig. So sind beispielsweise Integralgleichungen 2. Art (unter schwachen Voraussetzungen an den Kern) für fast alle Werte von eindeutig lösbar, und die Lösung hängt stetig von ab. Dies gilt für Integralgleichungen 1. Art (unter denselben Voraussetzungen an den Kern) im Allgemeinen nicht. Integralgleichungen 1. Art sind wie z. B. die Laplace-Transformation fast immer inkorrekt gestellte Probleme. Die Fourier-Transformation bildet eine der wenigen Ausnahmen. Auch Integralgleichungen 3. Art sind in der Regel inkorrekt gestellte Probleme.

Ist die in einer Integralgleichung vorkommende bekannte Funktion , so ist die Gleichung homogen, andernfalls inhomogen. Bei homogenen linearen Gleichungen ist mit auch die skalierte Funktion eine Lösung.

Außerdem kann man Integralgleichungen nach ihren Integrationsgrenzen klassifizieren. Sind alle Grenzen konstant, so spricht man von Fredholm-Integralgleichungen, ist eine der Grenzen variabel, so nennt man die Gleichung eine Volterra-Integralgleichung.

Eine weitere Einteilung beruht auf Eigenschaften des Kerns. Hier gibt es schwach singuläre und stark singuläre Integralgleichungen.

Beispiele Bearbeiten

  • (lineare) Fredholmsche Integralgleichung 1. Art, inhomogener Fall:
  • (lineare) Fredholmsche Integralgleichung 2. Art, inhomogener Fall:
  • (lineare) Fredholmsche Integralgleichung 2. Art, homogener Fall:
  • (lineare) Volterrasche Integralgleichung 1. Art, inhomogener Fall:
  • (lineare) Volterrasche Integralgleichung 2. Art, inhomogener Fall:
  • nichtlineare Volterrasche Integralgleichung 2. Art, inhomogener Fall:

Operatortheoretischer Zugang Bearbeiten

Mit

wird für einen hinreichend integrierbaren Kern ein linearer Operator definiert. Wesentlich für die Theorie der (nicht stark singulären) Integralgleichungen ist die Theorie der kompakten Operatoren. Diese Theorie ähnelt in gewisser Weise der von linearen Gleichungen im Endlichdimensionalen. Kompakte Operatoren haben nämlich im Wesentlichen pure Eigenwertspektren. Genauer heißt das: Das Spektrum besteht (evtl. von der Null abgesehen) nur aus Eigenwerten und diese häufen sich in höchstens einem Punkt, der Null. Alle Eigenräume (evtl. von dem der Null abgesehen) sind endlichdimensional.

Auch historisch wurde die Theorie der Integralgleichungen Anfang des 20. Jahrhunderts als kontinuierlicher Grenzwertübergang zum Beispiel von Eigenwertgleichungen der linearen Algebra entwickelt, wobei Eigenvektoren nun Eigenfunktionen entsprachen und der Matrix eine Kernfunktion.

Dualität von Integral- und Differentialgleichungen Bearbeiten

Integraloperatoren treten oft (aber nicht ausschließlich) bei der Lösung von Differentialgleichungen auf, zum Beispiel bei Sturm-Liouville-Problemen, oder bei partiellen Differentialgleichungen in Form der Greenschen Funktion.

Integro-Differentialgleichung Bearbeiten

Eine Integro-Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der sowohl die Ableitung der zu bestimmenden Funktion als auch ein Integral vorkommt, in dessen Integrand diese gesuchte Funktion auftritt.

Solche Gleichungen können genauso wie Integral- beziehungsweise Differenzialgleichungen linear oder nichtlinear sein. Treten nur gewöhnliche Ableitungen der gesuchten Funktion auf, spricht man von einer gewöhnlichen Integro-Differentialgleichung, treten partielle Ableitungen auf, dann spricht man von einer partiellen Integro-Differentialgleichung.

Ein Beispiel hierfür ist die aus der kinetischen Gastheorie stammende Boltzmann-Gleichung.

Wiener-Hopf-Gleichung und Wiener-Hopf-Methode Bearbeiten

Die Wiener-Hopf-Gleichung ist eine Integralgleichung, die auf der positiven reellen Halbachse definiert ist und bei der der Kern von der Differenz der Argumente abhängt:

für . Dabei ist eine vorgegebene Funktion (bei der homogenen Gleichung ist ) und die gesuchte Funktion. ist wie oben ein Parameter. Der Kern ist translationsinvariant.

Wesentlich ist, dass einer der Ränder im Unendlichen liegt und einer im Endlichen.

Sie ist nach Eberhard Hopf und Norbert Wiener benannt, die für sie eine Lösungsmethode (Wiener-Hopf-Methode) entwickelten, und findet zum Beispiel beim Problem des Strahlungstransports in der Astrophysik Anwendung (Milne-Gleichung, sie ist vom Typ einer Wiener-Hopf-Gleichung).

Die Wiener-Hopf-Methode (auch Faktorisierungsmethode) ist eine allgemeine Methode zur Lösung von bestimmten Integralgleichungen und Randwertproblemen von bestimmten partiellen Differentialgleichungen (wie der Wellengleichung oder Laplacegleichung zum Beispiel in Optik oder Elektromagnetismus), wobei typischerweise Ränder auftreten, die sich ins Unendliche erstrecken wie bei der Halbebene. Dabei werden die Fouriertransformation (oder auch die Laplacetransformation oder Mellintransformation) der gesuchten Funktionen betrachtet und deren komplex-analytische Eigenschaften ausgenutzt. Die Funktion und ihre Transformierte wird in zwei Teile zerlegt, die jeweils in der oberen und unteren komplexen Halbebene als analytische Funktionen definiert sind (wobei diese nur polynomiales Wachstumsverhalten haben sollten), aber einen Abschnitt der reellen Achse im Definitionsbereich gemein haben.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Integralgleichung. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  2. Eberhard Schock: Integral Equations of the Third Kind. Studia Mathematica, Band 81, 1985, S. 1–11
  3. Integro-Differentialgleichung. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  4. V. I. Dmitriev: Wiener-Hopf equation, Encyclopedia of Mathematics, Springer
  5. Wiener, Hopf, Über eine Klasse singulärer Integralgleichungen, Sitzungsberichte Preuß. Akademie Wiss. Berlin, 1931, S. 696–706
  6. Wiener-Hopf method, Encyclopedia of Mathematics, Springer
  7. Wiener-Hopf Method, Mathworld
  8. B. Noble: Methods based on the Wiener-Hopf technique for the solution of partial differential equations, Pergamon 1959
  9. Morse, Feshbach: Methods of theoretical physics, McGraw Hill 1953, Band 1, S. 978ff
  10. Michio Masujima: Applied mathematical methods in theoretical physics, Wiley 2009
  11. L. A. Weinstein: The theory of diffraction and the factorization method, Golem Press, Boulder 1969
  12. Vito Daniele, Rodolfo Zilch: The Wiener-Hopf method in electromagnetics, Scitech Publ. 2014
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Eine Gleichung wird in der Mathematik Integralgleichung genannt wenn die gesuchte Funktion unter einem Integral vorkommt Integralgleichungen konnen in Naturwissenschaft und Technik zur Beschreibung verschiedener Phanomene verwendet werden Integralgleichungen wurden zuerst zu Beginn des 19 Jahrhunderts von Niels Henrik Abel intensiver untersucht Auf ihn geht auch die Abelsche Integralgleichung zuruck die zu den ersten untersuchten Integralgleichungen zahlt Fortschritte in diesem Thema wurden zu Beginn des 20 Jahrhunderts insbesondere durch Erik Ivar Fredholm David Hilbert und Erhard Schmidt erzielt Hilbert und Schmidt entwickelten dabei die Theorie der Hilbert Schmidt Operatoren Das Teilgebiet der Mathematik das sich mit der Theorie der Integralgleichungen beschaftigt ist die Funktionalanalysis 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Lineare Integralgleichung 1 2 Nichtlineare Integralgleichung 2 Klassifikation linearer Integralgleichungen 3 Beispiele 4 Operatortheoretischer Zugang 5 Dualitat von Integral und Differentialgleichungen 6 Integro Differentialgleichung 7 Wiener Hopf Gleichung und Wiener Hopf Methode 8 Literatur 9 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenLineare Integralgleichung Bearbeiten Eine lineare Integralgleichung ist eine Gleichung fur eine unbekannte Funktion u displaystyle u nbsp und hat fur x W displaystyle x in Omega nbsp die Form l x u x W k x y u y d y f x displaystyle lambda x u x int Omega k x y u y mathrm d y f x nbsp wobei l displaystyle lambda nbsp f displaystyle f nbsp k displaystyle k nbsp gegebene Funktionen und W R n displaystyle Omega subseteq mathbb R n nbsp kompakt sind Die Funktion k displaystyle k nbsp wird Kern genannt Nichtlineare Integralgleichung Bearbeiten Eine nichtlineare Integralgleichung hat die Gestalt W K y x u y d y f x displaystyle int Omega K y x u y mathrm d y f x nbsp mit einem geeigneten Definitionsbereich der Kernfunktion K displaystyle K nbsp und einem geeigneten Integrationsbereich W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp Dabei geht die gesuchte Funktion u y displaystyle u y nbsp nun nichtlinear in die Kernfunktion ein Klassifikation linearer Integralgleichungen BearbeitenLineare Integralgleichungen kann man in Integralgleichungen 1 Art wenn l x 0 displaystyle lambda x equiv 0 nbsp Integralgleichungen 2 Art wenn l x l C 0 displaystyle lambda x equiv lambda in mathbb C setminus 0 nbsp und Integralgleichungen 3 Art fur alle anderen l displaystyle lambda nbsp 2 einteilen 1 Bei Integralgleichungen 1 Art tritt die gesuchte unbekannte Funktion u x displaystyle u x nbsp nur im Integral auf bei solchen 2 Art auch ausserhalb Diese Einteilung erscheint willkurlich ist aber aufgrund der unterschiedlichen analytischen Eigenschaften der jeweiligen Arten von Integralgleichungen notwendig So sind beispielsweise Integralgleichungen 2 Art unter schwachen Voraussetzungen an den Kern fur fast alle Werte von l displaystyle lambda nbsp eindeutig losbar und die Losung hangt stetig von f displaystyle f nbsp ab Dies gilt fur Integralgleichungen 1 Art unter denselben Voraussetzungen an den Kern im Allgemeinen nicht Integralgleichungen 1 Art sind wie z B die Laplace Transformation fast immer inkorrekt gestellte Probleme Die Fourier Transformation bildet eine der wenigen Ausnahmen Auch Integralgleichungen 3 Art sind in der Regel inkorrekt gestellte Probleme Ist die in einer Integralgleichung vorkommende bekannte Funktion f 0 displaystyle f equiv 0 nbsp so ist die Gleichung homogen andernfalls inhomogen Bei homogenen linearen Gleichungen ist mit u x displaystyle u x nbsp auch die skalierte Funktion a u x displaystyle alpha cdot u x nbsp eine Losung Ausserdem kann man Integralgleichungen nach ihren Integrationsgrenzen klassifizieren Sind alle Grenzen konstant so spricht man von Fredholm Integralgleichungen ist eine der Grenzen variabel so nennt man die Gleichung eine Volterra Integralgleichung Eine weitere Einteilung beruht auf Eigenschaften des Kerns Hier gibt es schwach singulare und stark singulare Integralgleichungen Beispiele Bearbeiten lineare Fredholmsche Integralgleichung 1 Art inhomogener Fall a b k s t u t d t f s displaystyle int a b k s t u t mathrm d t f s nbsp lineare Fredholmsche Integralgleichung 2 Art inhomogener Fall l a b k s t u t d t f s u s displaystyle lambda cdot int a b k s t u t mathrm d t f s u s nbsp Dabei spielt der Parameter l displaystyle lambda nbsp eine ahnliche Rolle wie ein Eigenwert in der linearen Algebra lineare Fredholmsche Integralgleichung 2 Art homogener Fall a b k s t u t d t u s displaystyle int a b k s t u t mathrm d t u s nbsp lineare Volterrasche Integralgleichung 1 Art inhomogener Fall a s k s t u t d t f s displaystyle int a s k s t u t mathrm d t f s nbsp lineare Volterrasche Integralgleichung 2 Art inhomogener Fall l a s k s t u t d t f s u s displaystyle lambda cdot int a s k s t u t mathrm d t f s u s nbsp nichtlineare Volterrasche Integralgleichung 2 Art inhomogener Fall l a s k s t F s t u t d t f s u s displaystyle lambda cdot int a s k s t F s t u t mathrm d t f s u s nbsp mit einer vorgegebenen nichtlinearen Funktion F s t u t displaystyle F s t u t nbsp Operatortheoretischer Zugang Bearbeiten Hauptartikel Integraloperator Mit K u x W k x y u y d y displaystyle Ku x int Omega k x y u y mathrm d y nbsp wird fur einen hinreichend integrierbaren Kern k x y displaystyle k x y nbsp ein linearer Operator K displaystyle K nbsp definiert Wesentlich fur die Theorie der nicht stark singularen Integralgleichungen ist die Theorie der kompakten Operatoren Diese Theorie ahnelt in gewisser Weise der von linearen Gleichungen im Endlichdimensionalen Kompakte Operatoren haben namlich im Wesentlichen pure Eigenwertspektren Genauer heisst das Das Spektrum besteht evtl von der Null abgesehen nur aus Eigenwerten und diese haufen sich in hochstens einem Punkt der Null Alle Eigenraume evtl von dem der Null abgesehen sind endlichdimensional Auch historisch wurde die Theorie der Integralgleichungen Anfang des 20 Jahrhunderts als kontinuierlicher Grenzwertubergang zum Beispiel von Eigenwertgleichungen der linearen Algebra entwickelt wobei Eigenvektoren nun Eigenfunktionen entsprachen und der Matrix eine Kernfunktion Dualitat von Integral und Differentialgleichungen BearbeitenIntegraloperatoren treten oft aber nicht ausschliesslich bei der Losung von Differentialgleichungen auf zum Beispiel bei Sturm Liouville Problemen oder bei partiellen Differentialgleichungen in Form der Greenschen Funktion Integro Differentialgleichung BearbeitenEine Integro Differentialgleichung ist eine Gleichung in der sowohl die Ableitung der zu bestimmenden Funktion als auch ein Integral vorkommt in dessen Integrand diese gesuchte Funktion auftritt Solche Gleichungen konnen genauso wie Integral beziehungsweise Differenzialgleichungen linear oder nichtlinear sein Treten nur gewohnliche Ableitungen der gesuchten Funktion auf spricht man von einer gewohnlichen Integro Differentialgleichung treten partielle Ableitungen auf dann spricht man von einer partiellen Integro Differentialgleichung 3 Ein Beispiel hierfur ist die aus der kinetischen Gastheorie stammende Boltzmann Gleichung Wiener Hopf Gleichung und Wiener Hopf Methode BearbeitenDie Wiener Hopf Gleichung 4 ist eine Integralgleichung die auf der positiven reellen Halbachse definiert ist und bei der der Kern k x displaystyle k x nbsp von der Differenz der Argumente abhangt l u x 0 k x s u s d s f x displaystyle lambda cdot u x int 0 infty k x s u s mathrm d s f x nbsp fur 0 x lt displaystyle 0 leq x lt infty nbsp Dabei ist f x displaystyle f x nbsp eine vorgegebene Funktion bei der homogenen Gleichung ist f x 0 displaystyle f x 0 nbsp und u x displaystyle u x nbsp die gesuchte Funktion l displaystyle lambda nbsp ist wie oben ein Parameter Der Kern ist translationsinvariant Wesentlich ist dass einer der Rander im Unendlichen liegt und einer im Endlichen Sie ist nach Eberhard Hopf und Norbert Wiener benannt 5 die fur sie eine Losungsmethode Wiener Hopf Methode entwickelten und findet zum Beispiel beim Problem des Strahlungstransports in der Astrophysik Anwendung Milne Gleichung sie ist vom Typ einer Wiener Hopf Gleichung Die Wiener Hopf Methode auch Faktorisierungsmethode 6 7 8 9 10 ist eine allgemeine Methode zur Losung von bestimmten Integralgleichungen und Randwertproblemen von bestimmten partiellen Differentialgleichungen wie der Wellengleichung oder Laplacegleichung zum Beispiel in Optik oder Elektromagnetismus 11 12 wobei typischerweise Rander auftreten die sich ins Unendliche erstrecken wie bei der Halbebene Dabei werden die Fouriertransformation oder auch die Laplacetransformation oder Mellintransformation der gesuchten Funktionen betrachtet und deren komplex analytische Eigenschaften ausgenutzt Die Funktion und ihre Transformierte wird in zwei Teile F displaystyle Phi pm nbsp zerlegt die jeweils in der oberen und unteren komplexen Halbebene als analytische Funktionen definiert sind wobei diese nur polynomiales Wachstumsverhalten haben sollten aber einen Abschnitt der reellen Achse im Definitionsbereich gemein haben Literatur BearbeitenDavid Hilbert Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen B G Teubner Leipzig Berlin 1912 Adolf Kneser Die Integralgleichungen und ihre Anwendungen in der mathematischen Physik Friedr Vieweg amp Sohn Braunschweig 1922 Richard Courant David Hilbert Methoden der mathematischen Physik Band 1 Julius Springer Berlin 1924 Drittes Kapitel Heinz W Engl Integralgleichungen Springer Verlag Wien 1997 Einzelnachweise Bearbeiten a b Integralgleichung In Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik 1 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Mannheim Heidelberg 2000 ISBN 3 8274 0439 8 Eberhard Schock Integral Equations of the Third Kind Studia Mathematica Band 81 1985 S 1 11 Integro Differentialgleichung In Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik 1 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Mannheim Heidelberg 2000 ISBN 3 8274 0439 8 V I Dmitriev Wiener 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