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Boltzmann Gleichung Die oder auch Boltzmannsche Transportgleichung nach dem Physiker Ludwig Boltzmann ist die grundlegen

Boltzmann-Gleichung

Die Boltzmann-Gleichung oder auch Boltzmannsche Transportgleichung (nach dem Physiker Ludwig Boltzmann) ist die grundlegende Integro-Differentialgleichung im sechsdimensionalen Phasenraum der kinetischen Gastheorie und Nicht-Gleichgewichts-Thermodynamik. Sie ist eine Gleichung für die statistische Verteilung von Teilchen in einem Medium.

Die Boltzmann-Gleichung wird verwendet, wenn die mittlere freie Weglänge der Teilchen groß ist, d. h., wenn nur wenige Gasteilchen in einem gegebenen Volumen vorhanden sind, sodass die mittlere Stoßdauer klein ist gegen die mittlere freie Flugzeit und nur Zweiteilchen-Stöße betrachtet werden müssen. In einem Medium, in dem dies nicht der Fall ist, d. h. im Grenzfall der kleinen mittleren freien Weglänge, geht die Boltzmann-Gleichung (unter gewissen Bedingungen) in die wesentlich einfachere Navier-Stokes-Gleichung der Kontinuumsmechanik über. In diesem Sinne ist die Boltzmann-Gleichung eine mesoskopische Gleichung, die zwischen der mikroskopischen Beschreibung einzelner Teilchen und der makroskopischen Beschreibung steht.

Eine wichtige Anwendung findet die Boltzmann-Gleichung beim Beweis des H-Theorems, mit dem Boltzmann den 2. Hauptsatz der Thermodynamik aus statistischen Annahmen herleiten konnte. Aktuelle Anwendungen betreffen etwa Strömungen in einem verdünnten Gas. In der Praxis tritt dies z. B. bei der Berechnung von Phänomenen in der äußeren Erdatmosphäre auf, etwa beim Wiedereintritt des Space Shuttles. Auch die Verteilung von Neutronen in einem Kernreaktor oder die der Wärmestrahlungsintensität in einer Brennkammer lassen sich durch die Boltzmann-Gleichung beschreiben.

Eine numerische Lösung der Boltzmann-Gleichung wird von der Lattice-Boltzmann-Methode geliefert.

Gleichung Bearbeiten

Die Boltzmann-Gleichung beschreibt die totale Zeitableitung der Verteilungsdichte (linke Seite der Gleichung) als Kollisionsintegral (rechte Seite der Gleichung):

mit

Der zweite Term heißt auch Transportterm und der dritte Term Feldterm, da er die Wechselwirkung mit äußeren Feldern beschreibt.

Die Verteilungsdichte kann man so interpretieren, dass der Wert die relative Anzahl der Teilchen angibt, die sich zum Zeitpunkt im Ortsvolumen befinden und dabei Geschwindigkeiten im Bereich besitzen.

Das Kollisionsintegral ist ein mehrdimensionales Integral, in dem nichtlinear verknüpft ist. Es gibt denjenigen Beitrag zur Gleichung an, der durch Kollision der einzelnen Teilchen entsteht (wäre er nicht vorhanden, so erlaubte das eine Lösung der Gleichung mit Mitteln der klassischen Mechanik).

In engerem Sinn versteht man unter der Boltzmann-Gleichung die obige Gleichung zusammen mit einem speziellen Ansatz für das Kollisionsintegral (boltzmannscher Stoßzahlansatz):

Dabei gibt die Wahrscheinlichkeit pro Zeitspanne an, dass bei einem Stoß zwischen zwei Teilchen, die vor dem Stoß die Geschwindigkeiten und besitzen, nach dem Stoß die Geschwindigkeiten und betragen. Die genaue Form von hängt von der Art und Gestalt der Teilchen ab und muss aus einer mikroskopischen Theorie bestimmt werden (z. B. aus der Quantenmechanik).

Sowohl die theoretische als auch die numerische Behandlung der Boltzmann-Gleichung ist sehr aufwendig. Für eine einfache Einführung s. Müller-Kirsten.

Um aus der Boltzmann-Gleichung Folgerungen zu ziehen, analysiert man ihre Geschwindigkeitsmomente. Das n-te Geschwindigkeitsmoment erhält man durch Multiplikation von mit der Boltzmann-Gleichung und anschließendem Integrieren über den Geschwindigkeitsraum. Daraus kann beispielsweise der Maxwellscher Spannungstensor erhalten werden.

Literatur Bearbeiten

  • Hartmut Haug: Statistische Physik – Gleichgewichtstheorie und Kinetik. 2. Auflage. Springer 2006, ISBN 3-540-25629-6.
  • Hans Babovsky: Die Boltzmann-Gleichung. Vieweg+Teubner Verlag, 1998, ISBN 3-519-02380-6.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Harald J.W. Müller-Kirsten: Basics of Statistical Physics. 2nd ed. World Scientific, 2013, Chapter 13: The Boltzmann Transport Equation. ISBN 978-981-4449-53-3.
  2. George Schmidt: Physics of High Temperature Plasmas. 2. Auflage. 2014, ISBN 978-0-323-16176-3, S. 59 und folgend (englisch).
  3. George Schmidt: Physics of High Temperature Plasmas. 2. Auflage. 2014, ISBN 978-0-323-16176-3, S. 63, Gleichung 3–41 (englisch).
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Veröffentlichungsdatum:
Die Boltzmann Gleichung oder auch Boltzmannsche Transportgleichung nach dem Physiker Ludwig Boltzmann ist die grundlegende Integro Differentialgleichung im sechsdimensionalen Phasenraum der kinetischen Gastheorie und Nicht Gleichgewichts Thermodynamik Sie ist eine Gleichung fur die statistische Verteilung von Teilchen in einem Medium Die Boltzmann Gleichung wird verwendet wenn die mittlere freie Weglange der Teilchen gross ist d h wenn nur wenige Gasteilchen in einem gegebenen Volumen vorhanden sind sodass die mittlere Stossdauer klein ist gegen die mittlere freie Flugzeit und nur Zweiteilchen Stosse betrachtet werden mussen In einem Medium in dem dies nicht der Fall ist d h im Grenzfall der kleinen mittleren freien Weglange geht die Boltzmann Gleichung unter gewissen Bedingungen in die wesentlich einfachere Navier Stokes Gleichung der Kontinuumsmechanik uber In diesem Sinne ist die Boltzmann Gleichung eine mesoskopische Gleichung die zwischen der mikroskopischen Beschreibung einzelner Teilchen und der makroskopischen Beschreibung steht Eine wichtige Anwendung findet die Boltzmann Gleichung beim Beweis des H Theorems mit dem Boltzmann den 2 Hauptsatz der Thermodynamik aus statistischen Annahmen herleiten konnte Aktuelle Anwendungen betreffen etwa Stromungen in einem verdunnten Gas In der Praxis tritt dies z B bei der Berechnung von Phanomenen in der ausseren Erdatmosphare auf etwa beim Wiedereintritt des Space Shuttles Auch die Verteilung von Neutronen in einem Kernreaktor oder die der Warmestrahlungsintensitat in einer Brennkammer lassen sich durch die Boltzmann Gleichung beschreiben Eine numerische Losung der Boltzmann Gleichung wird von der Lattice Boltzmann Methode geliefert Gleichung BearbeitenDie Boltzmann Gleichung beschreibt die totale Zeitableitung der Verteilungsdichte linke Seite der Gleichung als Kollisionsintegral rechte Seite der Gleichung t v x F m v f x v t f t S t o s s displaystyle left frac partial partial t vec v cdot nabla vec x frac vec F m cdot nabla vec v right f vec x vec v t left frac partial f partial t right mathrm Stoss nbsp mit der Verteilungsdichte f x v t displaystyle f vec x vec v t nbsp im Zustandsraum dem Ort x displaystyle vec x nbsp der Geschwindigkeit v displaystyle vec v nbsp der Zeit t displaystyle t nbsp einer gegebenen ausseren Kraft F displaystyle vec F nbsp der Masse m displaystyle m nbsp der Teilchen Der zweite Term v x f displaystyle vec v cdot nabla vec x f nbsp heisst auch Transportterm und der dritte Term F m v f displaystyle tfrac vec F m cdot nabla vec v f nbsp Feldterm da er die Wechselwirkung mit ausseren Feldern beschreibt Die Verteilungsdichte kann man so interpretieren dass der Wert f x v t d x d v displaystyle f vec x vec v t text d vec x text d vec v nbsp die relative Anzahl der Teilchen angibt die sich zum Zeitpunkt t displaystyle t nbsp im Ortsvolumen x x d x displaystyle vec x vec x text d vec x nbsp befinden und dabei Geschwindigkeiten im Bereich v v d v displaystyle vec v vec v text d 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BearbeitenHartmut Haug Statistische Physik Gleichgewichtstheorie und Kinetik 2 Auflage Springer 2006 ISBN 3 540 25629 6 Hans Babovsky Die Boltzmann Gleichung Vieweg Teubner Verlag 1998 ISBN 3 519 02380 6 Einzelnachweise Bearbeiten Harald J W Muller Kirsten Basics of Statistical Physics 2nd ed World Scientific 2013 Chapter 13 The Boltzmann Transport Equation ISBN 978 981 4449 53 3 George Schmidt Physics of High Temperature Plasmas 2 Auflage 2014 ISBN 978 0 323 16176 3 S 59 und folgend englisch George Schmidt Physics of High Temperature Plasmas 2 Auflage 2014 ISBN 978 0 323 16176 3 S 63 Gleichung 3 41 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Boltzmann Gleichung amp oldid 231471139