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Maxwellscher Spannungstensor Der Maxwellsche Spannungstensor T displaystyle T benannt nach James Clerk Maxwell ist ein s

Maxwellscher Spannungstensor

Der Maxwellsche Spannungstensor (benannt nach James Clerk Maxwell) ist ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe, der in der klassischen Elektrodynamik verwendet wird, um die Wechselwirkung zwischen elektromagnetischen Kräften und mechanischem Impuls darzustellen.

In einfachen Situationen, beispielsweise eine elektrische Punktladung, die sich in einem homogenen Magnetfeld frei bewegt, lassen sich die Kräfte auf die Ladung durch die Lorentzkraft berechnen. Für komplexere Probleme wird das Verfahren über die Lorentzkraft sehr lang. Es ist daher zweckmäßig, verschiedene Größen der Elektrodynamik im Maxwellschen Spannungstensor zu sammeln.

In der relativistischen Formulierung des Elektromagnetismus erscheint der Maxwell-Tensor als Teil des elektromagnetischen Energie-Impuls-Tensors.

Definition Bearbeiten

Im Vakuum ist der Maxwellsche Spannungstensor in SI-Einheiten definiert durch

wobei

In gaußschen cgs-Einheiten ergibt sich der Tensor zu

mit den Komponenten der magnetischen Feldstärke.

Für elektromagnetische Wellen in einem linearen Medium lässt sich der Maxwellsche Spannungstensor definieren als:

Diese Definition ist für anisotrope Medien jedoch nicht mehr symmetrisch.

Magnetostatik Bearbeiten

Für rein magnetische Felder (z. B. näherungsweise in Motoren) fallen einige Terme weg, wodurch sich der Maxwell-Tensor vereinfacht zu:

Für zylinderförmige Objekte – z. B. die Rotoren eines Motors – ergibt sich

Dabei ist

  • die Scherung in radialer Richtung (vom Zylinder nach außen)
  • die Scherung in tangentialer Richtung (um den Zylinder herum). Der Motor wird hierbei durch die Tangentialkraft angetrieben.
  • die Flussdichte in radialer Richtung
  • die Flussdichte in tangentialer Richtung.

Elektrostatik Bearbeiten

In der Elektrostatik, für die das Magnetfeld verschwindet (), ergibt sich der elektrostatische Maxwellsche Spannungstensor. In Komponentenschreibweise ergibt sich dieser durch:

und in symbolischer Schreibweise durch

wobei der Identitätstensor sei.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. Walter de Gruyter, 2020, ISBN 3-11-232201-0, S. 280 (englisch: Classical Electrodynamics. Übersetzt von Kurt Müller).
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Der Maxwellsche Spannungstensor T displaystyle T benannt nach James Clerk Maxwell ist ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe der in der klassischen Elektrodynamik verwendet wird um die Wechselwirkung zwischen elektromagnetischen Kraften und mechanischem Impuls darzustellen In einfachen Situationen beispielsweise eine elektrische Punktladung die sich in einem homogenen Magnetfeld frei bewegt lassen sich die Krafte auf die Ladung durch die Lorentzkraft berechnen Fur komplexere Probleme wird das Verfahren uber die Lorentzkraft sehr lang Es ist daher zweckmassig verschiedene Grossen der Elektrodynamik im Maxwellschen Spannungstensor zu sammeln In der relativistischen Formulierung des Elektromagnetismus erscheint der Maxwell Tensor als Teil des elektromagnetischen Energie Impuls Tensors Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Magnetostatik 3 Elektrostatik 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenIm Vakuum ist der Maxwellsche Spannungstensor in SI Einheiten definiert durch T i j e 0 E i E j B i B j m 0 1 2 e 0 E 2 B 2 m 0 d i j displaystyle T ij varepsilon 0 E i E j frac B i B j mu 0 frac 1 2 left varepsilon 0 E 2 frac B 2 mu 0 right delta ij nbsp wobei E i displaystyle E i nbsp die Komponenten der elektrischen Feldstarke bezeichnen B i displaystyle B i nbsp die Komponenten der magnetischen Flussdichte e 0 displaystyle varepsilon 0 nbsp die elektrische Feldkonstante m 0 displaystyle mu 0 nbsp die magnetische Feldkonstante d i j displaystyle delta ij nbsp das Kronecker Delta In gaussschen cgs Einheiten ergibt sich der Tensor zu T i j 1 4 p E i E j H i H j 1 2 E 2 H 2 d i j displaystyle T ij frac 1 4 pi left E i E j H i H j frac 1 2 left E 2 H 2 right delta ij right nbsp mit den Komponenten H i displaystyle H i nbsp der magnetischen Feldstarke Fur elektromagnetische Wellen in einem linearen Medium lasst sich der Maxwellsche Spannungstensor definieren als 1 T i j 1 4 p E i D j H i B j 1 2 E D H B d i j displaystyle T ij frac 1 4 pi left E i D j H i B j frac 1 2 left vec E cdot vec D vec H cdot vec B right delta ij right nbsp Diese Definition ist fur anisotrope Medien jedoch nicht mehr symmetrisch 1 Magnetostatik BearbeitenFur rein magnetische Felder z B naherungsweise in Motoren fallen einige Terme weg wodurch sich der Maxwell Tensor vereinfacht zu T i j 1 m 0 B i B j 1 2 m 0 B 2 d i j displaystyle T ij frac 1 mu 0 B i B j frac 1 2 mu 0 B 2 delta ij nbsp Fur zylinderformige Objekte z B die Rotoren eines Motors ergibt sich T r t 1 m 0 B r B t 1 2 m 0 B 2 d r t displaystyle T rt frac 1 mu 0 B r B t frac 1 2 mu 0 B 2 delta rt nbsp Dabei ist r displaystyle r nbsp die Scherung in radialer Richtung vom Zylinder nach aussen t displaystyle t nbsp die Scherung in tangentialer Richtung um den Zylinder herum Der Motor wird hierbei durch die Tangentialkraft angetrieben B r displaystyle B r nbsp die Flussdichte in radialer Richtung B t displaystyle B t nbsp die Flussdichte in tangentialer Richtung Elektrostatik BearbeitenIn der Elektrostatik fur die das Magnetfeld verschwindet B 0 displaystyle vec B vec 0 nbsp ergibt sich der elektrostatische Maxwellsche Spannungstensor In Komponentenschreibweise ergibt sich dieser durch T i j e 0 E i E j 1 2 e 0 E 2 d i j displaystyle T ij varepsilon 0 E i E j frac 1 2 varepsilon 0 E 2 delta ij nbsp und in symbolischer Schreibweise durch T e 0 E E 1 2 e 0 E E I displaystyle boldsymbol T varepsilon 0 vec E otimes vec E frac 1 2 varepsilon 0 vec E cdot vec E mathbf I nbsp wobei I displaystyle mathbf I nbsp der Identitatstensor sei Literatur BearbeitenDavid J Griffiths Introduction to Electrodynamics Benjamin Cummings Inc 2008 S 351 352 John David Jackson Classical Electrodynamics 3 Auflage John Wiley amp Sons Inc 1999 Richard Becker Electromagnetic Fields and Interactions Dover Publications Inc 1964 Einzelnachweise Bearbeiten a b John David Jackson Klassische Elektrodynamik Walter de Gruyter 2020 ISBN 3 11 232201 0 S 280 englisch Classical Electrodynamics Ubersetzt von Kurt Muller Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Maxwellscher Spannungstensor amp oldid 213971216