Ein Einheitstensor ist in der Kontinuumsmechanik die lineare Abbildung jedes Vektors auf sich selbst Der Einheitstensor ist ein dimensionsloser Ein Feld Tensor weil er die Vektoren aus einem euklidischen Vektorraum in denselben Vektorraum abbildet Des Weiteren ist der Einheitstensor symmetrisch orthogonal und unimodular Die Koeffizienten des Einheitstensors zweiter Stufe werden Metrikkoeffizienten genannt Einheitstensoren treten in der Kontinuumsmechanik haufig auf Der Einheitstensor zweiter Stufe kommt in den Verzerrungstensoren vor und der Einheitstensor vierter Stufe in vielen Materialmodellen z B im Hookeschen Gesetz Wegen seiner Wichtigkeit befasst sich dieser Artikel deshalb mit dem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum und dem Einheitstensor zweiter Stufe Nur im gleichnamigen Kapitel ist vom Einheitstensor vierter Stufe die Rede Eine Verallgemeinerung auf Raume beliebiger endlicher Dimension ist in einfacher Weise moglich Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Schreibweisen 3 Eigenschaften 4 Eigensystem 5 Darstellungsweisen mit Basisvektoren 6 Invarianten 7 Metrikkoeffizienten 8 Einheitstensor vierter Stufe 9 Beispiel 10 Siehe auch 11 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein euklidischer Vektorraum V 3 displaystyle mathbb V 3 nbsp und die Menge der linearen Abbildungen L V 3 V 3 displaystyle mathcal L mathbb V 3 mathbb V 3 nbsp von V 3 displaystyle mathbb V 3 nbsp nach V 3 displaystyle mathbb V 3 nbsp Dann ist der Einheitstensor 1 displaystyle mathbf 1 nbsp definiert als 1 L V 3 V 3 V 3 V 3 v v displaystyle begin array ll mathbf 1 in mathcal L mathbb V 3 mathbb V 3 amp mathbb V 3 rightarrow mathbb V 3 amp vec v mapsto vec v end array nbsp Schreibweisen BearbeitenFur den Einheitstensor werden die Schriftzeichen 1 I oder E benutzt Als Schriftauszeichnung wird der Buchstabe mit Doppelstrich I displaystyle mathbb I nbsp Fettdruck 1 displaystyle mathbf 1 nbsp Unter 1 displaystyle underline underline 1 nbsp oder Uberstreichung 1 displaystyle overline overline 1 nbsp benutzt In Indexschreibweise stimmt dieser Einheitstensor mit dem Kronecker Delta d i j displaystyle delta ij nbsp uberein Tensoren vierter Stufe konnen mit der aufgesetzten vier gekennzeichnet werden beispielsweise 1 4 displaystyle stackrel 4 mathbf 1 nbsp In diesem Artikel wird 1 displaystyle mathbf 1 nbsp fur den Einheitstensor zweiter Stufe und 1 4 displaystyle stackrel 4 mathbf 1 nbsp fur den Einheitstensor vierter Stufe verwendet Eigenschaften BearbeitenWeil die Identitat von Tensoren uber die Bilinearform nachgewiesen werden kann ist jeder Tensor T displaystyle mathbf T nbsp fur den gilt u v V 3 u T v u v displaystyle vec u vec v in mathbb V 3 quad rightarrow quad vec u cdot mathbf T cdot vec v vec u cdot vec v nbsp identisch zum Einheitstensor Wegen 1 v v v 1 1 v displaystyle mathbf 1 cdot vec v vec v quad rightarrow quad vec v mathbf 1 1 cdot vec v nbsp ist der Einheitstensor gleich seiner Inversen und wegen u 1 v 1 u v u v fur alle u v V 3 displaystyle vec u cdot mathbf 1 cdot vec v mathbf 1 top cdot vec u cdot vec v vec u cdot vec v quad text fur alle quad vec u vec v in mathbb V 3 nbsp ist der Einheitstensor zudem symmetrisch Aus den letzten beiden Eigenschaften ergibt sich dass der Einheitstensor auch orthogonal ist Weil der Einheitstensor keinen Vektor spiegelt in den negativen Vektor uberfuhrt ist der Einheitstensor eigentlich orthogonal weswegen er die Drehung um 0 reprasentiert Seine Determinante ist also gleich eins d e t 1 1 displaystyle mathrm det mathbf 1 1 nbsp weswegen der Einheitstensor unimodular ist Der Einheitstensor ist im Tensorprodukt das Neutrale Element A L V 3 V 3 1 A A 1 A displaystyle mathbf A in mathcal L mathbb V 3 mathbb V 3 quad rightarrow quad mathbf 1 cdot A mathbf A cdot 1 mathbf A nbsp Das Frobenius Skalarprodukt zweier Tensoren A und B wird mittels der Spur A B Sp AT B gebildet Das Skalarprodukt des Einheitstensors mit einem anderen Tensor zweiter Stufe liefert somit dessen Spur A L V 3 V 3 1 A Sp A displaystyle mathbf A in mathcal L mathbb V 3 mathbb V 3 quad rightarrow quad mathbf 1 mathbf A operatorname Sp mathbf A nbsp Eigensystem BearbeitenAus den Eigenschaften des Einheitstensors leitet sich sofort ab dass jeder Vektor Eigenvektor des Einheitstensors mit dem zugehorigen Eigenwert eins ist Weil auch jeder Basisvektor v 1 2 3 displaystyle hat v 1 2 3 nbsp einer beliebigen Orthonormalbasis des zugrunde liegenden Vektorraums Eigenvektor des Einheitstensors ist konnen auch die Darstellungen 1 i 1 3 v i v i i j 1 3 d i j v i v j displaystyle mathbf 1 sum i 1 3 hat v i otimes hat v i sum i j 1 3 delta ij hat v i otimes hat v j nbsp benutzt werden Darin bildet displaystyle otimes nbsp das dyadische Produkt Darstellungsweisen mit Basisvektoren BearbeitenBezuglich der Standardbasis e 1 2 3 displaystyle hat e 1 2 3 nbsp wird der Einheitstensor als 1 i 1 3 e i e i i j 1 3 d i j e i e j 1 0 0 0 1 0 0 0 1 displaystyle mathbf 1 sum i 1 3 hat e i otimes hat e i sum i j 1 3 delta ij hat e i otimes hat e j begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 1 end pmatrix nbsp geschrieben so dass er hier mit seiner Matrix Notation ubereinstimmt Bei einer anderen Orthonormalbasis mit Basisvektoren v 1 2 3 displaystyle hat v 1 2 3 nbsp kann er als 1 i 1 3 v i v i i j 1 3 d i j v i v j 1 0 0 0 1 0 0 0 1 v i v j displaystyle mathbf 1 sum i 1 3 hat v i otimes hat v i sum i j 1 3 delta ij hat v i otimes hat v j begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 1 end pmatrix hat v i otimes hat v j nbsp notiert werden Ist g 1 2 3 displaystyle vec g 1 2 3 nbsp eine beliebige Basis des Vektorraums und g 1 2 3 displaystyle vec g 1 2 3 nbsp die dazu duale Basis dann ist 1 i 1 3 g i g i i 1 3 g i g i i j 1 3 g i g j g i g j i j 1 3 g i g j g i g j displaystyle mathbf 1 sum i 1 3 vec g i otimes vec g i sum i 1 3 vec g i otimes vec g i sum i j 1 3 vec g i cdot vec g j vec g i otimes vec g j sum i j 1 3 vec g i cdot vec g j vec g i otimes vec g j nbsp Ist a 1 2 3 displaystyle vec a 1 2 3 nbsp eine weitere beliebige Basis des Vektorraums und a 1 2 3 displaystyle vec a 1 2 3 nbsp die dazu duale Basis dann gilt die allgemeine Darstellung 1 i j 1 3 a i g j a i g j i j 1 3 a i g j a i g j i j 1 3 a i g j a i g j i j 1 3 a i g j a i g j displaystyle begin aligned mathbf 1 amp sum i j 1 3 vec a i cdot vec g j vec a i otimes vec g j sum i j 1 3 vec a i cdot vec g j vec a i otimes vec g j amp sum i j 1 3 vec a i cdot vec g j vec a i otimes vec g j sum i j 1 3 vec a i cdot vec g j vec a i otimes vec g j end aligned nbsp Invarianten BearbeitenDie drei Hauptinvarianten des Einheitstensors sind I 1 Sp 1 3 I 2 1 2 Sp 1 2 Sp 1 2 3 I 3 d e t 1 1 displaystyle begin array lll mathrm I 1 amp operatorname Sp mathbf 1 amp 3 mathrm I 2 amp frac 1 2 operatorname Sp mathbf 1 2 operatorname Sp mathbf 1 2 amp 3 mathrm I 3 amp mathrm det mathbf 1 amp 1 end array nbsp Wegen 1 1 1 displaystyle mathbf 1 mathbf 1 cdot 1 nbsp sind dies auch die Hauptinvarianten der n ten Potenzen des Einheitstensors Die Spur des Einheitstensors ist gleich der Dimension des zugrunde gelegten Vektorraums Der Betrag des Einheitstensors ist die Wurzel aus der Dimension des Vektorraums 1 Sp 1 1 Sp 1 3 displaystyle left mathbf 1 right sqrt operatorname Sp mathbf 1 top cdot 1 sqrt operatorname Sp mathbf 1 sqrt 3 nbsp Die Eigenwerte hier alle gleich eins sind ebenfalls invariant Metrikkoeffizienten BearbeitenDer Abstand zweier Punkte mit den Ortsvektoren u i 1 3 u i g i und v i 1 3 v i g i displaystyle vec u sum i 1 3 u i vec g i quad text und quad vec v sum i 1 3 v i vec g i nbsp mit Koordinaten u i displaystyle u i nbsp und v i displaystyle v i nbsp bezuglich eines beliebigen schiefwinkligen Basissystems g 1 2 3 displaystyle vec g 1 2 3 nbsp berechnet sich mit der Skalarproduktnorm zu u v u v u v i j 1 3 u i v i g i u j v j g j i j 1 3 g i g j u i v i u j v j displaystyle begin aligned vec u vec v amp sqrt vec u vec v cdot vec u vec v sqrt sum i j 1 3 u i v i vec g i cdot u j v j vec g j amp sqrt sum i j 1 3 vec g i cdot vec g j u i v i u j v j end aligned nbsp Das heisst dass die Produkte der Koeffizienten u i v i displaystyle u i v i nbsp des Koordinatenvektors des Abstandsvektors u v displaystyle vec u vec v nbsp im Skalarprodukt mit den Koeffizienten g i g j displaystyle vec g i cdot vec g j nbsp gewichtet werden In der Darstellung 1 i j 1 3 g i g j g i g j displaystyle mathbf 1 sum i j 1 3 vec g i cdot vec g j vec g i otimes vec g j nbsp werden die Koeffizienten g i g j displaystyle vec g i cdot vec g j nbsp deshalb Metrikkoeffizienten genannt weil mit der Skalarproduktnorm die Metrik des Vektorraums vorgegeben ist Sind die Basisvektoren g 1 2 3 displaystyle vec g 1 2 3 nbsp kovariant Tangentenvektoren an das krummlinige Koordinaten system dann sind die Skalarprodukte g i g j displaystyle vec g i cdot vec g j nbsp die kovarianten Metrikkoeffizienten Entsprechend sind dann die Koeffizienten g i g j displaystyle vec g i cdot vec g j nbsp die kontravarianten Metrikkoeffizienten Einheitstensor vierter Stufe BearbeitenDer Einheitstensor vierter Stufe bildet Tensoren zweiter Stufe auf sich selbst ab Sind die Tensoren zweiter Stufe E m m 1 9 displaystyle lbrace mathbf E m rbrace m 1 9 nbsp die Standardbasis des Raums L V 3 V 3 displaystyle mathcal L mathbb V 3 mathbb V 3 nbsp der Tensoren zweiter Stufe dann ist 1 4 m 1 9 E m E m displaystyle stackrel 4 mathbf 1 sum m 1 9 mathbf E m otimes mathbf E m nbsp der Einheitstensor vierter Stufe Wird E m e i e j i j 1 2 3 m 3 i 1 j displaystyle mathbf E m vec e i otimes vec e j quad i j 1 2 3 m 3 i 1 j nbsp definiert kann wie ublich auch 1 4 i j 1 3 e i e j e i e j i j k l 1 3 d i k d j l e i e j e k e l displaystyle stackrel 4 mathbf 1 sum i j 1 3 vec e i otimes vec e j otimes vec e i otimes vec e j sum i j k l 1 3 delta ik delta jl vec e i otimes vec e j otimes vec e k otimes vec e l nbsp geschrieben werden Ist G m m 1 9 displaystyle lbrace mathbf G m rbrace m 1 9 nbsp eine beliebige Basis des Raums L V 3 V 3 displaystyle mathcal L mathbb V 3 mathbb V 3 nbsp und G n n 1 9 displaystyle lbrace mathbf G n rbrace n 1 9 nbsp die dazu duale Basis dann gilt 1 4 m 1 9 G m G m m 1 9 G m G m m n 1 9 G m G n G m G n m n 1 9 G m G n G m G n displaystyle begin aligned stackrel 4 mathbf 1 amp sum m 1 9 mathbf G m otimes mathbf G m sum m 1 9 mathbf G m otimes mathbf G m amp sum m n 1 9 mathbf G m cdot mathbf G n mathbf G m otimes mathbf G n sum m n 1 9 mathbf G m cdot mathbf G n mathbf G m otimes mathbf G n end aligned nbsp oder mit G m a i g j i j 1 2 3 m 3 i 1 j displaystyle mathbf G m vec a i otimes vec g j quad i j 1 2 3 m 3 i 1 j nbsp G n a k g l k l 1 2 3 n 3 k 1 l displaystyle mathbf G n vec a k otimes vec g l quad k l 1 2 3 n 3 k 1 l nbsp in der ublichen Schreibweise 1 4 i j 1 3 a i g j a i g j i j 1 3 a i g j a i g j i j k l 1 3 a i a k g j g l a i g j a k g l i j k l 1 3 a i a k g j g l a i g j a k g l displaystyle begin array rcl stackrel 4 mathbf 1 amp amp displaystyle sum i j 1 3 vec a i otimes vec g j otimes vec a i otimes vec g j sum i j 1 3 vec a i otimes vec g j otimes vec a i otimes vec g j amp amp displaystyle sum i j k l 1 3 vec a i cdot vec a k vec g j cdot vec g l vec a i otimes vec g j otimes vec a k otimes vec g l amp amp displaystyle sum i j k l 1 3 vec a i cdot vec a k vec g j cdot vec g l vec a i otimes vec g j otimes vec a k otimes vec g l end array nbsp Beispiel BearbeitenDie Vektoren a 1 2 3 1 a 2 3 1 2 a 3 3 0 2 displaystyle vec a 1 begin pmatrix 2 3 1 end pmatrix vec a 2 begin pmatrix 3 1 2 end pmatrix vec a 3 begin pmatrix 3 0 2 end pmatrix nbsp bilden eine Basis im V 3 displaystyle mathbb V 3 nbsp und ihre duale Basis ist a 1 2 0 3 a 2 6 1 9 a 3 7 1 11 displaystyle vec a 1 begin pmatrix 2 0 3 end pmatrix vec a 2 begin pmatrix 6 1 9 end pmatrix vec a 3 begin pmatrix 7 1 11 end pmatrix nbsp Damit bekommt man 1 i 1 3 a i a i 2 3 1 2 0 3 3 1 2 6 1 9 3 0 2 7 1 11 4 0 6 6 0 9 2 0 3 18 3 27 6 1 9 12 2 18 21 3 33 0 0 0 14 2 22 1 0 0 0 1 0 0 0 1 displaystyle begin array rcl mathbf 1 amp amp displaystyle sum i 1 3 vec a i otimes vec a i amp amp begin pmatrix 2 3 1 end pmatrix otimes begin pmatrix 2 0 3 end pmatrix begin pmatrix 3 1 2 end pmatrix otimes begin pmatrix 6 1 9 end pmatrix begin pmatrix 3 0 2 end pmatrix otimes begin pmatrix 7 1 11 end pmatrix amp amp begin pmatrix 4 amp 0 amp 6 6 amp 0 amp 9 2 amp 0 amp 3 end pmatrix begin pmatrix 18 amp 3 amp 27 6 amp 1 amp 9 12 amp 2 amp 18 end pmatrix begin pmatrix 21 amp 3 amp 33 0 amp 0 amp 0 14 amp 2 amp 22 end pmatrix amp amp begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 1 end pmatrix end array nbsp Siehe auch BearbeitenEinheitsmatrix MetriktensorLiteratur BearbeitenH Altenbach Kontinuumsmechanik Springer 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Einheitstensor amp oldid 206404299
