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Frobenius Skalarprodukt Das ist in der linearen Algebra ein Skalarprodukt auf dem Vektorraum der reellen oder komplexen

Frobenius-Skalarprodukt

Das Frobenius-Skalarprodukt ist in der linearen Algebra ein Skalarprodukt auf dem Vektorraum der reellen oder komplexen Matrizen. Es berechnet sich durch komponentenweise Multiplikation der Einträge zweier Matrizen und nachfolgende Summation über all diese Produkte. Im komplexen Fall wird dabei immer ein Element komplex konjugiert. Das Frobenius-Skalarprodukt kann auch als Spur des Matrizenprodukts der beiden Matrizen berechnet werden, wobei eine der Matrizen transponiert beziehungsweise adjungiert wird.

Mit dem Frobenius-Skalarprodukt wird der Matrizenraum zu einem Skalarproduktraum. Die von dem Frobenius-Skalarprodukt abgeleitete Norm heißt Frobeniusnorm. Eine Verallgemeinerung des Frobenius-Skalarprodukts auf unendlichdimensionale Vektorräume ist das Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt. Das Frobenius-Skalarprodukt wird unter anderem in der Kontinuumsmechanik bei der tensoriellen Beschreibung der Deformation von Vektorfeldern verwendet. Es ist nach dem deutschen Mathematiker Ferdinand Georg Frobenius benannt.

Definition Bearbeiten

Das Frobenius-Skalarprodukt zweier, nicht notwendigerweise quadratischer, reeller Matrizen und ist definiert als

Das Frobenius-Skalarprodukt entsteht also durch komponentenweise Multiplikation der Einträge der beiden Ausgangsmatrizen und nachfolgende Summation über all diese Produkte. Es entspricht also dem Standardskalarprodukt, wenn man die Matrizen als -dimensionale Vektoren auffasst.

Entsprechend dazu ist das Frobenius-Skalarprodukt zweier komplexer Matrizen und durch

definiert, wobei der Überstrich die Konjugierte einer komplexen Zahl darstellt. Als alternative Definition kann auch jeweils die zweite statt der ersten Komponente komplex konjugiert werden.

In der Physik wird das Frobenius-Skalarprodukt zweier Matrizen und auch durch notiert.

Beispiel Bearbeiten

Das Frobenius-Skalarprodukt der beiden reellen (2 × 2)-Matrizen

ist gegeben durch

Das Frobenius-Skalarprodukt der beiden komplexen (2 × 2)-Matrizen

ist entsprechend dazu

Eigenschaften Bearbeiten

Skalarprodukt-Eigenschaften Bearbeiten

Die folgenden Eigenschaften eines komplexen Skalarprodukts werden für die erste Variante aufgeführt, für die zweite Variante gelten sie analog durch Verschieben der Konjugation. Aus dem komplexen Fall erhält man den reellen Fall durch Weglassen der Konjugation. Das komplexe Frobenius-Skalarprodukt ist sesquilinear, das heißt semilinear im ersten Argument, das heißt

sowie linear im zweiten Argument, also

Weiter ist es hermitesch, das heißt

und positiv definit, also

Diese Eigenschaften folgen direkt aus den Kommutativ- und Distributivgesetzen der Addition und Multiplikation, sowie der positiven Definitheit der komplexen Betragsfunktion . In der zweiten komplexen Variante ist das Frobenius-Skalarprodukt linear im ersten und semilinear im zweiten Argument. Im Spezialfall zweier einzeiliger oder einspaltiger Matrizen entspricht das Frobenius-Skalarprodukt dem Standardskalarprodukt der beiden Zeilen- oder Spaltenvektoren. Mit dem Frobenius-Skalarprodukt wird der Matrizenraum zu einem Skalarproduktraum, sogar zu einem Hilbertraum.

Darstellung als Spur Bearbeiten

Das reelle Frobenius-Skalarprodukt hat die folgende Darstellung als Spur

wobei die transponierte Matrix von ist. Entsprechend dazu hat das komplexe Frobenius-Skalarprodukt die Darstellung

wobei die adjungierte Matrix von ist.

Verschiebungseigenschaft Bearbeiten

Das reelle Frobenius-Skalarprodukt besitzt folgende Verschiebungseigenschaft für alle und :

Entsprechend gilt für das komplexe Frobenius-Skalarprodukt für alle und

Beide Eigenschaften folgen aus der zyklischen Vertauschbarkeit von Matrizen unter der Spur.

Invarianzen Bearbeiten

Aufgrund der Spurdarstellung und der Verschiebungseigenschaft gilt für das reelle Frobenius-Skalarprodukt zweier Matrizen

Für das komplexe Frobenius-Skalarprodukt zweier Matrizen gilt entsprechend

Induzierte Norm Bearbeiten

Die von dem Frobenius-Skalarprodukt abgeleitete Norm ist die Frobeniusnorm

Die Frobeniusnorm ist damit insbesondere invariant unter unitären Transformationen und es gilt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Daraus folgt dann die Abschätzung

wobei im Fall reeller Matrizen die Adjungierte durch die Transponierte ersetzt wird.

Abschätzung über die Singulärwerte Bearbeiten

Sind die Singulärwerte von und diejenigen von mit , dann gilt für das Frobenius-Skalarprodukt die Abschätzung

Diese Abschätzung stellt eine Verschärfung der obigen Cauchy-Schwarz-Ungleichung dar.

Literatur Bearbeiten

  • Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2012, ISBN 0-521-46713-6.
  • Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-46713-6.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Horn, Johnson: Matrix Analysis. S. 321.
  2. Horn, Johnson: Topics in Matrix Analysis. S. 186.

Weblinks Bearbeiten

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Das Frobenius Skalarprodukt ist in der linearen Algebra ein Skalarprodukt auf dem Vektorraum der reellen oder komplexen Matrizen Es berechnet sich durch komponentenweise Multiplikation der Eintrage zweier Matrizen und nachfolgende Summation uber all diese Produkte Im komplexen Fall wird dabei immer ein Element komplex konjugiert Das Frobenius Skalarprodukt kann auch als Spur des Matrizenprodukts der beiden Matrizen berechnet werden wobei eine der Matrizen transponiert beziehungsweise adjungiert wird Mit dem Frobenius Skalarprodukt wird der Matrizenraum zu einem Skalarproduktraum Die von dem Frobenius Skalarprodukt abgeleitete Norm heisst Frobeniusnorm Eine Verallgemeinerung des Frobenius Skalarprodukts auf unendlichdimensionale Vektorraume ist das Hilbert Schmidt Skalarprodukt Das Frobenius Skalarprodukt wird unter anderem in der Kontinuumsmechanik bei der tensoriellen Beschreibung der Deformation von Vektorfeldern verwendet Es ist nach dem deutschen Mathematiker Ferdinand Georg Frobenius benannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Eigenschaften 3 1 Skalarprodukt Eigenschaften 3 2 Darstellung als Spur 3 3 Verschiebungseigenschaft 3 4 Invarianzen 3 5 Induzierte Norm 3 6 Abschatzung uber die Singularwerte 4 Literatur 5 Einzelnachweise 6 WeblinksDefinition BearbeitenDas Frobenius Skalarprodukt zweier nicht notwendigerweise quadratischer reeller Matrizen A a i j R m n displaystyle A a ij in mathbb R m times n nbsp und B b i j R m n displaystyle B b ij in mathbb R m times n nbsp ist definiert als 1 A B F i 1 m j 1 n a i j b i j displaystyle langle A B rangle F sum i 1 m sum j 1 n a ij b ij nbsp Das Frobenius Skalarprodukt entsteht also durch komponentenweise Multiplikation der Eintrage der beiden Ausgangsmatrizen und nachfolgende Summation uber all diese Produkte Es entspricht also dem Standardskalarprodukt wenn man die Matrizen als m n displaystyle m cdot n nbsp dimensionale Vektoren auffasst Entsprechend dazu ist das Frobenius Skalarprodukt zweier komplexer Matrizen A C m n displaystyle A in mathbb C m times n nbsp und B C m n displaystyle B in mathbb C m times n nbsp durch A B F i 1 m j 1 n a i j b i j displaystyle langle A B rangle F sum i 1 m sum j 1 n bar a ij b ij nbsp definiert wobei der Uberstrich die Konjugierte einer komplexen Zahl darstellt Als alternative Definition kann auch jeweils die zweite statt der ersten Komponente komplex konjugiert werden In der Physik wird das Frobenius Skalarprodukt zweier Matrizen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp auch durch A B displaystyle A colon B nbsp notiert Beispiel BearbeitenDas Frobenius Skalarprodukt der beiden reellen 2 2 Matrizen A 3 2 0 1 displaystyle A begin pmatrix 3 amp 2 0 amp 1 end pmatrix nbsp und B 1 2 3 1 displaystyle B begin pmatrix 1 amp 2 3 amp 1 end pmatrix nbsp ist gegeben durch A B F 3 1 2 2 0 3 1 1 8 displaystyle langle A B rangle F 3 cdot 1 2 cdot 2 0 cdot 3 1 cdot 1 8 nbsp Das Frobenius Skalarprodukt der beiden komplexen 2 2 Matrizen A 3 2 i 0 i displaystyle A begin pmatrix 3 amp 2i 0 amp i end pmatrix nbsp und B i 2 3 i displaystyle B begin pmatrix i amp 2 3 amp i end pmatrix nbsp ist entsprechend dazu A B F 3 i 2 i 2 0 3 i i i 1 displaystyle langle A B rangle F 3 cdot i 2i cdot 2 0 cdot 3 i cdot i i 1 nbsp Eigenschaften BearbeitenSkalarprodukt Eigenschaften Bearbeiten Die folgenden Eigenschaften eines komplexen Skalarprodukts werden fur die erste Variante aufgefuhrt fur die zweite Variante gelten sie analog durch Verschieben der Konjugation Aus dem komplexen Fall erhalt man den reellen Fall durch Weglassen der Konjugation Das komplexe Frobenius Skalarprodukt ist sesquilinear das heisst semilinear im ersten Argument das heisst A B C F A C F B C F displaystyle langle A B C rangle F langle A C rangle F langle B C rangle F nbsp und c A B F c A B F displaystyle langle cA B rangle F bar c langle A B rangle F nbsp sowie linear im zweiten Argument also A B C F A B F A C F displaystyle langle A B C rangle F langle A B rangle F langle A C rangle F nbsp und A c B F c A B F displaystyle langle A cB rangle F c langle A B rangle F nbsp Weiter ist es hermitesch das heisst A B F B A F displaystyle langle A B rangle F overline langle B A rangle F nbsp und positiv definit also A A F 0 displaystyle langle A A rangle F geq 0 nbsp und A A F 0 A 0 displaystyle langle A A rangle F 0 Leftrightarrow A 0 nbsp Diese Eigenschaften folgen direkt aus den Kommutativ und Distributivgesetzen der Addition und Multiplikation sowie der positiven Definitheit der komplexen Betragsfunktion z 2 z z displaystyle z 2 bar z z nbsp In der zweiten komplexen Variante ist das Frobenius Skalarprodukt linear im ersten und semilinear im zweiten Argument Im Spezialfall zweier einzeiliger oder einspaltiger Matrizen entspricht das Frobenius Skalarprodukt dem Standardskalarprodukt der beiden Zeilen oder Spaltenvektoren Mit dem Frobenius Skalarprodukt wird der Matrizenraum zu einem Skalarproduktraum sogar zu einem Hilbertraum Darstellung als Spur Bearbeiten Das reelle Frobenius Skalarprodukt hat die folgende Darstellung als Spur A B F spur A T B spur B A T displaystyle langle A B rangle F operatorname spur A T B operatorname spur BA T nbsp wobei A T displaystyle A T nbsp die transponierte Matrix von A displaystyle A nbsp ist Entsprechend dazu hat das komplexe Frobenius Skalarprodukt die Darstellung A B F spur A H B spur B A H displaystyle langle A B rangle F operatorname spur A H B operatorname spur BA H nbsp wobei A H displaystyle A H nbsp die adjungierte Matrix von A displaystyle A nbsp ist Verschiebungseigenschaft Bearbeiten Das reelle Frobenius Skalarprodukt besitzt folgende Verschiebungseigenschaft fur alle A R l m B R m n displaystyle A in mathbb R l times m B in mathbb R m times n nbsp und C R l n displaystyle C in mathbb R l times n nbsp A B C F B A T C F A C B T F displaystyle langle AB C rangle F langle B A T C rangle F langle A CB T rangle F nbsp Entsprechend gilt fur das komplexe Frobenius Skalarprodukt fur alle A C l m B C m n displaystyle A in mathbb C l times m B in mathbb C m times n nbsp und C C l n displaystyle C in mathbb C l times n nbsp A B C F B A H C F A C B H F displaystyle langle AB C rangle F langle B A H C rangle F langle A CB H rangle F nbsp Beide Eigenschaften folgen aus der zyklischen Vertauschbarkeit von Matrizen unter der Spur Invarianzen Bearbeiten Aufgrund der Spurdarstellung und der Verschiebungseigenschaft gilt fur das reelle Frobenius Skalarprodukt zweier Matrizen A B R m n displaystyle A B in mathbb R m times n nbsp A B F A T B T F displaystyle langle A B rangle F langle A T B T rangle F nbsp Fur das komplexe Frobenius Skalarprodukt zweier Matrizen A B C m n displaystyle A B in mathbb C m times n nbsp gilt entsprechend A B F A H B H F displaystyle overline langle A B rangle F langle A H B H rangle F nbsp Induzierte Norm Bearbeiten Die von dem Frobenius Skalarprodukt abgeleitete Norm ist die Frobeniusnorm A F A A F 1 2 displaystyle A F left langle A A rangle F right 1 2 nbsp Die Frobeniusnorm ist damit insbesondere invariant unter unitaren Transformationen und es gilt die Cauchy Schwarzsche Ungleichung A B F A F B F displaystyle langle A B rangle F leq A F B F nbsp Daraus folgt dann die Abschatzung A B F 2 spur A H A spur B H B displaystyle langle A B rangle F 2 leq operatorname spur A H A cdot operatorname spur B H B nbsp wobei im Fall reeller Matrizen die Adjungierte durch die Transponierte ersetzt wird Abschatzung uber die Singularwerte Bearbeiten Sind s 1 A s r A displaystyle sigma 1 A ldots sigma r A nbsp die Singularwerte von A displaystyle A nbsp und s 1 B s r B displaystyle sigma 1 B ldots sigma r B nbsp diejenigen von B displaystyle B nbsp mit r min m n displaystyle r min m n nbsp dann gilt fur das Frobenius Skalarprodukt die Abschatzung A B F i 1 r s i A s i B A F B F displaystyle langle A B rangle F leq sum i 1 r sigma i A sigma i B leq A F B F nbsp Diese Abschatzung stellt eine Verscharfung der obigen Cauchy Schwarz Ungleichung dar 2 Literatur BearbeitenRoger A Horn Charles R Johnson Matrix Analysis Cambridge University Press 2012 ISBN 0 521 46713 6 Roger A Horn Charles R Johnson Topics in Matrix Analysis Cambridge University Press 1994 ISBN 0 521 46713 6 Einzelnachweise Bearbeiten Horn Johnson Matrix Analysis S 321 Horn Johnson Topics in Matrix Analysis S 186 Weblinks Bearbeitenpahio Frobenius product In PlanetMath englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Frobenius Skalarprodukt amp oldid 229440185