Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, auch bekannt als schwarzsche Ungleichung oder Cauchy-Bunjakowski-Schwarz-Ungleichung, ist eine Ungleichung, die in vielen Bereichen der Mathematik verwendet wird, z. B. in der Linearen Algebra (Vektoren), in der Analysis (unendliche Reihen), in der Wahrscheinlichkeitstheorie sowie bei der Integration von Produkten. Außerdem spielt sie in der Quantenmechanik eine wichtige Rolle, wie etwa beim Beweis der heisenbergschen Unschärferelation.
Benannt ist die Ungleichung nach den Mathematikern Augustin-Louis Cauchy, Hermann Amandus Schwarz und Wiktor Jakowlewitsch Bunjakowski.
Allgemeiner Fall Bearbeiten
Die Ungleichung sagt aus: Wenn und Elemente eines reellen oder komplexen Vektorraums mit innerem Produkt sind, dann gilt für das Skalarprodukt bzw. innere Produkt die Beziehung
Gleichheit gilt genau dann, wenn und linear abhängig sind.
Äquivalente Formulierungen erhält man unter Verwendung der von dem Skalarprodukt induzierten Norm :
bzw.
Im reellen Fall kann man auf die Betragsstriche verzichten, schwächt damit aber die Aussage etwas ab, da die Ungleichung für negative Skalarprodukte trivialerweise erfüllt ist:
Spezialfälle Bearbeiten
Auf den Raum mit dem Standardskalarprodukt angewandt, erhält man
Im Fall quadratisch integrierbarer komplexwertiger Funktionen erhält man
Für quadratisch integrierbare Zufallsvariablen erhält man
Diese drei Ungleichungen werden durch die Hölder-Ungleichung verallgemeinert.
Auf quadratische Matrizen angewandt, erhält man für die Spur
Im lässt sich die Aussage der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung in Form einer Gleichung präzisieren:
Der Summand ist stets nicht-negativ. Er ist genau dann Null, wenn und linear abhängig sind.
Ungleichung zwischen dem arithmetischen und dem quadratischen Mittel Bearbeiten
Mit
folgt aus dem Spezialfall
die Ungleichung
Nach einer elementaren algebraischen Umformung ergibt sich
und damit insbesondere
Letztere Ungleichung sagt aus, dass das arithmetische Mittel stets kleiner gleich dem quadratischen Mittel ist.
Geschichte Bearbeiten
Benannt ist die Ungleichung nach Augustin Louis Cauchy, Wiktor Jakowlewitsch Bunjakowski und Hermann Amandus Schwarz. Bei Cauchy findet sich die Summenform der Ungleichung in seiner Analyse algébrique (1821). Die Integralform der Ungleichung wurde historisch erstmals 1859 von Bunjakowski in einer Arbeit über Ungleichungen zwischen Integralen veröffentlicht; Schwarz veröffentlichte seine Arbeit erst 1884 ohne Bezugnahme auf die Arbeit von Bunjakowski. Entsprechend dieser Entwicklung findet sich teilweise auch nur die Benennung als Cauchy-Ungleichung für den diskreten, endlichen Fall und als Bunjakowski-Ungleichung oder schwarzsche Ungleichung im Integral-Fall.
Anwendungen Bearbeiten
In einem Vektorraum mit innerem Produkt lässt sich aus der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung die Dreiecksungleichung für die induzierte Norm
ableiten, und damit in weiterer Folge zeigen, dass eine so definierte Norm die Normaxiome erfüllt.
Eine weitere Folgerung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist, dass das innere Produkt eine stetige Funktion ist.
Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung stellt sicher, dass im Ausdruck
der Betrag des Bruches stets kleiner oder gleich eins ist, sodass also wohldefiniert ist und damit der Winkel auf beliebige Räume mit innerem Produkt verallgemeinert werden kann.
In der Physik wird die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung bei der Herleitung der heisenbergschen Unschärferelation verwendet.
Beweis der Ungleichung Bearbeiten
Ist einer der Vektoren der Nullvektor, so ist die Cauchy-Schwarz-Ungleichung trivialerweise erfüllt. In den folgenden Beweisen wird daher und vorausgesetzt.
Spezialfall reelles Standardskalarprodukt Bearbeiten
Beweis aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel Bearbeiten
Ein Beweis der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung kann beispielsweise mit Hilfe der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel erfolgen:
Definiert man für die Werte
so ergibt sich aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Beziehung
Daraus folgt unmittelbar die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung.
Beweis aus der Umordnungs-Ungleichung Bearbeiten
Ein anderer Beweis der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung ergibt sich aus der Umordnungs-Ungleichung. Setzt man
sowie und so gilt
Wegen der Umordnungs-Ungleichung ist nun
Zusammengefasst erhält man also
Daraus ergibt sich die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung.
Allgemeines Skalarprodukt Bearbeiten
Die oben angegebenen Beweise beweisen nur den Spezialfall der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung für das Standardskalarprodukt im . Es folgen Beweise für den allgemeinen Fall des Skalarprodukts in einem Vektorraum mit innerem Produkt:
Reeller Fall Bearbeiten
Unter der Voraussetzung gilt . Für jedes gilt
Wählt man nun speziell so ergibt sich
also
Ziehen der Quadratwurzel ergibt nun genau die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung
Komplexer Fall Bearbeiten
Der Beweis im komplexen Fall verläuft ähnlich, allerdings ist zu beachten, dass das Skalarprodukt in diesem Fall keine Bilinearform, sondern eine hermitesche Form ist. Der Beweis wird für die Variante linear im ersten und semilinear im zweiten Argument geführt; wird die umgekehrte Variante gewählt, so ist an den entsprechenden Stellen die komplex Konjugierte zu nehmen.
Ist , so ist die Aussage klar. Sei . Für jedes gilt
Hier führt nun die spezielle Wahl auf
also
Hier wurde Semilinearität im zweiten Argument und Linearität im ersten Argument vorausgesetzt. Im anderen Fall verwendet man
Verallgemeinerung für positiv semidefinite, symmetrische Bilinearformen Bearbeiten
Man kann den Beweis des Satzes so umformulieren, dass die positive Definitheit des Skalarprodukts nicht verwendet wird. Damit gilt die Aussage auch für jede positiv semidefinite, symmetrische Bilinearform (beziehungsweise hermitesche Sesquilinearform) .
Beweis für den reellen Fall Bearbeiten
Man wählt denselben Ansatz, wie im Beweis, der das Skalarprodukt verwendet, trifft hier aber die Wahl
Damit muss man nicht mehr fordern, dass nicht 0 ist. Das ergibt
Ähnlich wie im obigen Beweis folgert man
und die Behauptung ist gezeigt, wenn gegen 0 konvergiert. Für folgt .
Bedingungen für die Gleichheit Bearbeiten
Auch hier ist die Situation denkbar, dass aus der Ungleichung eine Gleichheit wird, zum Beispiel wenn (wie beim Skalarprodukt) linear abhängig sind. Allerdings sind auch Fälle denkbar, wo die Gleichheit eintritt, ohne dass eine lineare Abhängigkeit vorliegt. Man betrachte etwa eine entartete Bilinearform . Dann gibt es ein , so dass für alle des Vektorraums ist. Sei nun aus dem Vektorraum beliebig. Man erhält dann
und
also
auch für den Fall, dass und linear unabhängig sind.
Weblinks Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
- Peter Schreiber: The Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality. In: Hermann Grassmann, Werk und Wirkung. Internationale Fachtagung anläßlich des 150. Jahrestages des ersten Erscheinens der „linearen Ausdehnungslehre“. Universität Greifswald, 1995, S. 64–70.
Quellen Bearbeiten
- Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 20 und 262 (o. B. d. A. wird hier der Fall betrachtet.)
- Augustin-Louis Cauchy: Analyse algébrique. 1821, S. 455 f. (Digitalisat auf Gallica).
- V.I. Bityutskov: Bunyakovskii inequality. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
- Eric W. Weisstein: Schwarz's Inequality. In: MathWorld (englisch).