In der mathematischen Analysis gehort die Holdersche Ungleichung zusammen mit der Minkowski Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen fur Lp Raume Sie wurde zuerst von Leonard James Rogers im Jahre 1888 bewiesen benannt ist sie nach Otto Holder der sie ein Jahr spater veroffentlichte 1 Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 1 1 Holdersche Ungleichung 1 2 Spezialfalle 1 2 1 Schwarzsche Ungleichung 1 2 2 Cauchy Ungleichung 1 2 3 Holdersche Ungleichung fur Reihen 1 3 Verallgemeinerung 1 4 Umgekehrte Holdersche Ungleichung 2 Beweise 2 1 Beweis der Holderschen Ungleichung 2 2 Beweis der Verallgemeinerung 2 3 Beweis der umgekehrten Holderschen Ungleichung 3 Anwendungen 3 1 Beweis der Minkowski Ungleichung 3 2 Interpolationsungleichung fur Lebesgue Funktionen 3 3 Beweis der Faltungsungleichung von Young 4 Literatur 5 EinzelnachweiseAussage BearbeitenHoldersche Ungleichung Bearbeiten Gegeben sei ein Massraum X A m displaystyle X mathcal A mu nbsp und messbare Funktionen f g X R displaystyle f g colon X to overline mathbb R nbsp Fur p 1 displaystyle p in 1 infty nbsp und mit der Konvention p 1 p displaystyle infty p infty frac 1 p infty nbsp definiert man H p f X f p d m 1 p displaystyle H p f left int X f p mathrm d mu right tfrac 1 p nbsp und H f e s s sup x X f x displaystyle H infty f mathrm ess sup x in X f x nbsp das wesentliche Supremum Die Holder Ungleichung lautet dann fur 1 p q displaystyle 1 leq p q leq infty nbsp mit 1 p 1 q 1 displaystyle tfrac 1 p tfrac 1 q 1 nbsp wobei 1 0 displaystyle tfrac 1 infty 0 nbsp vereinbart ist gilt H 1 f g H p f H q g displaystyle H 1 fg leq H p f cdot H q g nbsp Man bezeichnet q displaystyle q nbsp als den zu p displaystyle p nbsp konjugierten Holder Exponenten Spezieller wird die Ungleichung auch wie folgt formuliert Ist L p X A m displaystyle mathcal L p X mathcal A mu nbsp der Raum der p displaystyle p nbsp fach Lebesgue integrierbaren Funktionen siehe Lp Raum und ist p displaystyle cdot p nbsp die Lp Norm so gilt fur f L p X A m g L q X A m displaystyle f in mathcal L p X mathcal A mu g in mathcal L q X mathcal A mu nbsp immer f g 1 f p g q displaystyle fg 1 leq f p cdot g q nbsp Spezialfalle Bearbeiten Schwarzsche Ungleichung Bearbeiten Wahlt man als Massraum a b B a b l displaystyle a b mathcal B a b lambda nbsp also ein reelles Intervall versehen mit dem Lebesgue Mass und zwei Funktionen f g L 2 a b B a b l displaystyle f g in mathcal L 2 a b mathcal B a b lambda nbsp so lautet die Holder Ungleichung mit p q 2 displaystyle p q 2 nbsp a b f g d l a b f 2 d l 1 2 a b g 2 d l 1 2 displaystyle int a b fg mathrm d lambda leq left int a b f 2 mathrm d lambda right tfrac 1 2 cdot left int a b g 2 mathrm d lambda right tfrac 1 2 nbsp Dies ist genau die Schwarzsche Ungleichung beziehungsweise die Integralformulierung der Cauchy Schwarzschen Ungleichung Cauchy Ungleichung Bearbeiten Wahlt man als Massraum die endliche Menge 1 n displaystyle 1 ldots n nbsp versehen mit der Potenzmenge und ausgestattet mit dem Zahlmass so erhalt man als Spezialfall die Ungleichung k 1 n x k y k k 1 n x k p 1 p k 1 n y k q 1 q displaystyle sum k 1 n x k y k leq left sum k 1 n x k p right 1 p left sum k 1 n y k q right 1 q nbsp gultig fur alle reellen oder komplexen Zahlen x 1 x n y 1 y n displaystyle x 1 ldots x n y 1 ldots y n nbsp Fur p q 2 displaystyle p q 2 nbsp erhalt man die Cauchy Ungleichung beziehungsweise die diskrete Formulierung der Cauchy Schwarzschen Ungleichung x y x 2 y 2 displaystyle langle x y rangle leq x 2 cdot y 2 nbsp Holdersche Ungleichung fur Reihen Bearbeiten Wahlt man als Grundmenge des Massraumes die naturlichen Zahlen N displaystyle mathbb N nbsp wieder versehen mit der Potenzmenge und dem Zahlmass so erhalt man die Holdersche Ungleichung fur Reihen k 1 a k b k k 1 a k p 1 p k 1 b k q 1 q displaystyle sum k 1 infty a k b k leq left sum k 1 infty a k p right 1 p left sum k 1 infty b k q right 1 q nbsp fur reelle oder komplexe Folgen a k k N b k k N displaystyle a k k in mathbb N b k k in mathbb N nbsp Im Grenzfall q displaystyle q infty nbsp entspricht dies k 1 a k b k k 1 a k sup k N b k displaystyle sum k 1 infty a k b k leq left sum k 1 infty a k right cdot sup k in mathbb N b k nbsp Verallgemeinerung Bearbeiten Es seien p j 1 j 1 m displaystyle p j in 1 infty j 1 ldots m nbsp sowie 1 r j 1 m 1 p j displaystyle textstyle frac 1 r sum j 1 m frac 1 p j nbsp und f j L p j S displaystyle f j in L p j S nbsp fur alle j 1 m displaystyle j 1 ldots m nbsp Dann folgt j 1 m f j L r S displaystyle prod j 1 m f j in L r S nbsp und es gilt die Abschatzung j 1 m f j r j 1 m f j p j displaystyle left prod j 1 m f j right r leq prod j 1 m left f j right p j nbsp Als Korollar dieser Verallgemeinerung ergibt sich der folgende Satz Falls a i j i 1 2 n j 1 2 m displaystyle a i j i in 1 2 dots n j in 1 2 dots m nbsp eine Familie von m displaystyle m nbsp Folgen nicht negativer reeller Zahlen ist und l j j 1 m displaystyle lambda j j in 1 dots m nbsp nicht negative reelle Zahlen mit j 1 m l j 1 displaystyle sum j 1 m lambda j 1 nbsp sind so gilt i 1 n j 1 m a i j l j j 1 m i 1 n a i j l j displaystyle sum i 1 n prod j 1 m a i j lambda j leq prod j 1 m left sum i 1 n a i j right lambda j nbsp Umgekehrte Holdersche Ungleichung Bearbeiten Es sei g x 0 displaystyle g x neq 0 nbsp fur fast alle x S displaystyle x in S nbsp Dann gilt fur alle r gt 1 displaystyle r gt 1 nbsp die umgekehrte Holdersche Ungleichung S f x g x d x S f x 1 r d x r S g x 1 r 1 d x r 1 displaystyle int S f x g x dx geq left int S f x frac 1 r dx right r left int S g x frac 1 r 1 dx right r 1 nbsp Beweise BearbeitenBeweis der Holderschen Ungleichung Bearbeiten Fur p 1 q displaystyle p 1 q infty nbsp und umgekehrt ist die Aussage der Holderschen Ungleichung trivial Wir nehmen daher an dass 1 lt p q lt displaystyle 1 lt p q lt infty nbsp gilt Ohne Einschrankung seien f p gt 0 displaystyle f p gt 0 nbsp und g q gt 0 displaystyle g q gt 0 nbsp Nach der youngschen Ungleichung gilt A B A p p B q q displaystyle AB leq frac A p p frac B q q nbsp fur alle A B 0 displaystyle A B geq 0 nbsp Setze hierin speziell A f x f p B g x g q displaystyle A tfrac f x f p B tfrac g x g q nbsp ein Integration liefert 1 f p g q S f g d m 1 p 1 q 1 displaystyle frac 1 f p g q int S fg mathrm d mu leq frac 1 p frac 1 q 1 nbsp was die Holdersche Ungleichung impliziert Beweis der Verallgemeinerung Bearbeiten Der Beweis wird per vollstandiger Induktion uber m displaystyle m nbsp gefuhrt Der Fall m 1 displaystyle m 1 nbsp ist trivial Sei also nun m 2 displaystyle m geq 2 nbsp und ohne Einschrankung sei p 1 p m displaystyle p 1 leq cdots leq p m nbsp Dann sind zwei Falle zu unterscheiden Fall 1 p m displaystyle p m infty nbsp Dann ist 1 r j 1 m 1 1 p j displaystyle textstyle frac 1 r sum j 1 m 1 frac 1 p j nbsp Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann f 1 f m r f m f 1 f m 1 r f m f 1 p 1 f m 1 p m 1 displaystyle f 1 cdots f m r leq f m infty f 1 cdots f m 1 r leq f m infty f 1 p 1 cdots f m 1 p m 1 nbsp Fall 2 p m lt displaystyle p m lt infty nbsp Nach der ublichen Holderschen Ungleichung fur die Exponenten p m p m r p m r displaystyle tfrac p m p m r tfrac p m r nbsp gilt S f 1 f m 1 r f m r d m S f 1 f m 1 r p m p m r d m p m r p m S f m p m d m r p m displaystyle int S f 1 cdots f m 1 r f m r mathrm d mu leq left int S f 1 cdots f m 1 frac rp m p m r mathrm d mu right frac p m r p m left int S f m p m mathrm d mu right frac r p m nbsp also f 1 f m r f 1 f m 1 r p m p m r f m p m displaystyle textstyle f 1 cdots f m r leq f 1 cdots f m 1 tfrac rp m p m r f m p m nbsp Nun ist j 1 m 1 1 p j 1 r 1 p m p m r r p m displaystyle textstyle sum j 1 m 1 frac 1 p j frac 1 r frac 1 p m frac p m r rp m nbsp Aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich somit der Induktionsschritt Beweis der umgekehrten Holderschen Ungleichung Bearbeiten Die umgekehrte Holdersche Ungleichung ergibt sich aus der ublichen Holderschen Ungleichung indem man als Exponenten p r displaystyle p r nbsp und q r p p 1 displaystyle q r tfrac p p 1 nbsp wahlt Man erhalt damit S f 1 r d m S f g 1 r g 1 r d m S f g d m 1 r S g r r d m 1 r displaystyle int S f frac 1 r mathrm d mu int S left fg frac 1 r cdot g frac 1 r mathrm d mu right leq left int S fg mathrm d mu right frac 1 r left int S g frac r r mathrm d mu right frac 1 r nbsp Umstellen und potenzieren dieser Ungleichung mit r displaystyle r nbsp liefert die umgekehrte Holdersche Ungleichung Anwendungen BearbeitenBeweis der Minkowski Ungleichung Bearbeiten Mit der Holderschen Ungleichung kann man die Minkowski Ungleichung das ist die Dreiecksungleichung im L p displaystyle L p nbsp leicht beweisen Interpolationsungleichung fur Lebesgue Funktionen Bearbeiten Seien f L p 0 S L p 1 S displaystyle f in L p 0 S cap L p 1 S nbsp und 1 p 1 p p 0 displaystyle 1 leq p 1 leq p leq p 0 nbsp dann folgt f L p S displaystyle f in L p S nbsp und es gilt die Interpolationsungleichung f p f p 0 1 8 f p 1 8 displaystyle f p leq f p 0 1 theta f p 1 theta nbsp mit 1 p 1 8 p 0 8 p 1 displaystyle tfrac 1 p tfrac 1 theta p 0 tfrac theta p 1 nbsp beziehungsweise 8 p 1 p p 0 p p 0 p 1 displaystyle theta tfrac p 1 p tfrac p 0 p p 0 p 1 nbsp fur p 0 p 1 displaystyle p 0 neq p 1 nbsp Beweis Ohne Einschrankung sei p 1 lt p lt p 0 displaystyle p 1 lt p lt p 0 nbsp Dies erkennt man durch ausfuhrliche Fallunterscheidung Fixiere l 0 1 displaystyle lambda in 0 1 nbsp mit p l p 0 1 l p 1 displaystyle p lambda p 0 1 lambda p 1 nbsp Dies ist moglich da p 0 lt p lt p 1 displaystyle p 0 lt p lt p 1 nbsp und p displaystyle p nbsp somit auf der Verbindungsstrecke zwischen p 0 displaystyle p 0 nbsp und p 1 displaystyle p 1 nbsp liegt Beachte dass 1 l displaystyle tfrac 1 lambda nbsp und 1 1 l displaystyle tfrac 1 1 lambda nbsp konjugierte Holder Exponenten sind Aus der Holderschen Ungleichung folgt S f p d m S f l p 0 f 1 l p 1 d m S f p 0 d m l S f p 1 d m 1 l displaystyle int S f p mathrm d mu int S f lambda p 0 f 1 lambda p 1 mathrm d mu leq left int S f p 0 mathrm d mu right lambda left int S f p 1 mathrm d mu right 1 lambda nbsp Potenzieren der Ungleichung mit 1 p displaystyle tfrac 1 p nbsp und Ausrechnen der Exponenten impliziert die Interpolationsungleichung Beweis der Faltungsungleichung von Young Bearbeiten Eine weitere typische Anwendung ist der Beweis der verallgemeinerten youngschen Ungleichung fur Faltungsintegrale f g r f p g q displaystyle f star g r leq f p g q nbsp fur 1 p 1 q 1 1 r displaystyle tfrac 1 p tfrac 1 q 1 tfrac 1 r nbsp und p q r 1 displaystyle p q r geq 1 nbsp Literatur BearbeitenHerbert Amann Joachim Escher Analysis III 1 Auflage Birkhauser Verlag Basel Boston Berlin 2001 ISBN 3 7643 6613 3 Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Einzelnachweise Bearbeiten Elstrodt Mass und Integrationstheorie 2009 S 277 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Holder Ungleichung amp oldid 228439130
