Die jensensche Ungleichung ist eine elementare Ungleichung für konvexe und konkave Funktionen. Sie ist wegen ihrer Allgemeinheit Grundlage vieler bedeutender Ungleichungen, vor allem in der Analysis und Informationstheorie. Die Ungleichung ist nach dem dänischen Mathematiker Johan Ludwig Jensen benannt, der sie am 17. Januar 1905 bei einer Konferenz der Dänischen Mathematischen Gesellschaft präsentierte. Unter etwas anderen Voraussetzungen findet sie sich bereits 1889 bei Otto Hölder.
Die jensensche Ungleichung besagt, dass der Funktionswert einer konvexen Funktion an einer endlichen Konvexkombination von Stützstellen stets kleiner oder gleich einer endlichen Konvexkombination von den Funktionswerten der Stützstellen ist. Dies bedeutet insbesondere, dass das gewichtete arithmetische Mittel der Funktionswerte an n Stellen größer oder gleich dem Funktionswert am Mittel dieser n Stellen ist. Für lineare Funktionen gilt stets Gleichheit.
Satz Bearbeiten
Für eine konvexe Funktion und für nichtnegative mit gilt:
Beweis per Induktion Bearbeiten
Verwendet man die heute übliche Definition von konvex, dass
für alle reellen zwischen 0 und 1 gelte, so ergibt sich die jensensche Ungleichung durch vollständige Induktion über die Anzahl der Stützstellen.
Beweis von Hölder Bearbeiten
Hölder verwendete den Begriff konvex noch nicht und zeigte, dass aus bzw. monoton steigend die Ungleichung
für positive folgt, wobei er dies im Wesentlichen mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung bewies.
Beweis von Jensen Bearbeiten
Jensen ging von der schwächeren Definition
aus und zeigte unter ausdrücklichem Verweis auf den cauchyschen Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel mit Vorwärts-Rückwärts-Induktion, dass daraus die Beziehung
für beliebige natürliche Zahlen folgt. Daraus folgerte er dann weiter, dass
für natürliche Zahlen und somit
für beliebige rationale und, sofern stetig ist, auch reelle Zahlen zwischen 0 und 1 mit gilt.
Varianten Bearbeiten
- Da für konkave Funktionen die Funktion konvex ist, gilt für konkave Funktionen die jensensche Ungleichung in umgekehrter Richtung, d. h., für jede konkave Funktion und für positive mit gilt:
- Die stetige und die diskrete Variante lässt sich in der maßtheoretischen Variante zusammenfassen: Ist Maßraum mit und ist eine μ-integrierbare reellwertige Funktion, so gilt für jede im Bild von konvexe Funktion
- Die jensensche Ungleichung ist z. B. für Erwartungswerte anwendbar. Ist konvex und eine integrierbare Zufallsvariable, dann gilt
Anwendungen Bearbeiten
Die jensensche Ungleichung lässt sich beispielsweise zum Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel und der Ky-Fan-Ungleichung verwenden. Die Variante für Erwartungswerte dient in der Stochastik zur Abschätzung von bestimmten Zufallsgrößen.
Umkehrung Bearbeiten
Die Aussage der maßtheoretischen Variante der jensenschen Ungleichung lässt sich im folgenden Sinne umkehren:
Sei eine reelle Funktion derart, dass für jede beschränkte (Lebesgue-)messbare Funktion gilt
dann ist konvex.
Weblinks Bearbeiten
Einzelnachweise Bearbeiten
- ↑ Johan Ludwig William Valdemar Jensen: Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. In: Acta Math. Band 30, 1906, S. 175–193, doi:10.1007/BF02418571.
- ↑ Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz. In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen. Aus dem Jahre 1889., Nr. 1-21. Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, Göttingen 1889, S. 38 ff. (in Wikisource [abgerufen am 24. März 2012]).
- Walter Rudin: Real and Complex Analysis. 3. Auflage. McGraw-Hill, New York 1987, S. 74 (englisch).