Als eine beschränkte Abbildung oder eine beschränkte Funktion bezeichnet man in der Analysis und der Funktionalanalysis eine Abbildung, deren Bildmenge beschränkt ist. Beschränkte Abbildungen bilden einen normierten Vektorraum und enthalten viele weitere wichtige Mengen von Abbildungen wie die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger oder die beschränkten stetigen Funktionen.
Der Begriff der beschränkten Abbildung ist abzugrenzen von dem der beschränkten linearen Abbildung. Für diese Klasse von Abbildungen ist lediglich das Bild beschränkter Teilmengen wiederum beschränkt.
Definition Bearbeiten
Allgemein heißt eine Abbildung
beschränkt, wenn ihre Bildmenge beschränkt ist. Konkreter bedeutet dies:
- Ist eine reellwertige Funktion oder eine komplexwertige Funktion, so entspricht dies
- Ist ein normierter Raum mit Norm , so entspricht dies
- Ist ein metrischer Raum mit Metrik , so entspricht dies
Insbesondere werden keine Anforderungen an die Struktur der Definitionsmenge gestellt.
Die Menge aller beschränkten Abbildungen von nach wird mit bezeichnet oder mit , falls oder oder falls aus dem Kontext ersichtlich ist.
Beispiele Bearbeiten
Beschränkte Folgen sind beschränkte Funktionen von nach beispielsweise oder einem allgemeinen metrischen Raum.
Die Sinusfunktion ist beschränkt, da für alle gilt.
Ist eine stetige Funktion, so ist sie auch beschränkt. Denn als stetige Funktion auf dem Kompaktum nimmt ein Maximum und ein Minimum an und es gilt .
Das vorangehende Beispiel ist ein Spezialfall der folgenden Tatsache: Ist ein kompakter topologischer Raum und ein metrischer Raum, so ist jede stetige Abbildung beschränkt. Aufgrund der Stetigkeit existiert zu jedem Punkt ein , so dass die Inklusion
gilt. Die so definierte offene Überdeckung besitzt aufgrund der Kompaktheit von aber eine endliche Teilüberdeckung mit und damit folgt
Also ist beschränkt.
Ein Beispiel für eine unstetige beschränkte Funktion bildet die Dirichlet-Funktion.
Struktur Bearbeiten
Trägt die Struktur eines Vektorraumes, so kann man die Addition und die Skalarmultiplikation in punktweise definieren,
wodurch die Menge der beschränkten Abbildungen auf natürliche Weise zu einem Vektorraum wird.
Ist ein normierter Raum, so lässt sich eine Norm auf erklären durch
wobei die Norm auf bezeichnet. Dies ist genau die Supremumsnorm, sie wird dementsprechend auch mit oder bezeichnet, wenn alle beteiligten Räume klar sind.
Ist außerdem ein Banachraum, also vollständig, so ist auch ein Banachraum.
Ist ein kompakter Raum, so ist jede stetige Abbildung beschränkt. Es gilt dann die Inklusion
Ist kompakt und ein Banachraum, so bilden die stetigen Funktionen einen abgeschlossenen Unterraum der beschränkten Funktionen.
Wichtige Unterräume der beschränkten Abbildungen mit Werten in sind
- die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger ,
- die stetigen Funktionen, die im Unendlichen verschwinden und
- die beschränkten stetigen Funktionen .
Es gelten dann die Inklusionen
Literatur Bearbeiten
- Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, doi:10.1007/978-3-642-22261-0.