Eine stetige Funktion mit kompaktem Träger ist eine spezielle stetige Funktion, die außerhalb eines Kompaktums nur den Wert 0 annimmt. Solche Funktionen spielen in der Funktionalanalysis eine wichtige Rolle, ebenso in der Stochastik und der Maßtheorie, wo sie als trennende Familie für Mengen von Maßen und die Definition von Konvergenzbegriffen verwendet werden.
Definition Bearbeiten
Gegeben sei ein topologischer Raum und ein normierter Raum sowie eine Abbildung
Die Abbildung heißt eine stetige Funktion mit kompaktem Träger, wenn der Träger der Funktion, also die Menge
eine kompakte Menge ist und die Abbildung stetig ist. Es gilt also, dass die Urbilder offener Mengen (bezüglich der von erzeugten Topologie) unter wieder offen sind, also in enthalten sind. Ist ein metrischer Raum, so bedeutet dies, dass für alle Folgen , die gegen konvergieren, die Bildfolge gegen konvergiert.
Die Menge aller stetigen Funktionen mit kompaktem Träger wird meist mit oder bezeichnet. Ist klar, um welche Räume es sich handelt, verzichtet man auch auf deren Angabe, dementsprechend finden sich für oft die Bezeichnungen oder
Struktur Bearbeiten
Definiert man die Addition und die Skalarmultiplikation in punktweise, also
so ist ein Vektorraum.
Des Weiteren ist jede stetige Funktion mit kompaktem Träger auch eine beschränkte Funktion.
Denn ist exemplarisch ein metrischer Raum, so existiert aufgrund der Stetigkeit zu jedem Punkt ein , so dass
Überdeckt man nun den Träger von mit den offenen Mengen , so existiert aufgrund der Kompaktheit eine endliche Indexmenge , so dass den Träger überdeckt. Somit gilt
Also ist beschränkt. ist damit ein Unterraum von , dem Raum der beschränkten Abbildungen. Für topologische Räume kann man diese Argumentation mithilfe einer Überdeckung des Trägers mit Mengen der Form verallgemeinern.
Aufgrund der Beschränktheit ist die Definition der Supremumsnorm auf durch
sinnvoll und macht zu einem normierten Raum.
Übergeordnete Strukturen Bearbeiten
ist ein Unterraum von , dem Raum der stetigen, im Unendlichen verschwindenden Funktionen und der beschränkten stetigen Funktionen , es gelten also die Implikationen
Außerdem ist für ein lokal endliches Maß (bzw. Borel-Maß) auf einem Hausdorffraum jede stetige Funktion mit kompaktem Träger auch integrierbar, da
da aufgrund der lokalen Endlichkeit. Somit ist in diesem Fall .
Untergeordnete Strukturen Bearbeiten
Ein wichtiger Unterraum der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger sind die Testfunktionen.
Wichtige Aussagen Bearbeiten
Nach dem Darstellungssatz von Riesz-Markow lässt sich in einem lokalkompaktem Hausdorffraum jede positive Linearform
darstellen als
wobei ein eindeutig bestimmtes Radon-Maß ist. Dabei heißt eine Linearform positiv, wenn aus immer folgt.
Literatur Bearbeiten
- Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, doi:10.1007/978-3-642-22261-0.
- Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.