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Borelmaß Ein Borel Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie einem Teilgebiet der Mathematik das sich mit verallgemeinerten

Borelmaß

Ein Borel-Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit verallgemeinerten Volumenbegriffen beschäftigt. Anschaulich zeichnen sich Borel-Maße dadurch aus, dass jeder Punkt in eine Menge mit endlichem Maß eingehüllt werden kann und sie auf einer speziellen σ-Algebra definiert sind. Borel-Maße bilden wichtige Grundbegriffe bei der Untersuchung von Maßen auf Topologischen Räumen. Sie sind nach Émile Borel benannt.

Bei Verwendung von Borel-Maßen ist Vorsicht geboten, da diese in der Literatur, insbesondere im angelsächsischen Sprachraum, nicht einheitlich definiert werden.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein Hausdorff-Raum mit borelscher σ-Algebra . Ein Maß

heißt ein Borel-Maß, wenn für jedes eine offene Umgebung von existiert mit .

Somit sind Borel-Maße lokal endliche Maße auf der Borelschen σ-Algebra. Ein Spezialfall hiervon ist das Lebesgue-Borel-Maß.

Weitere Bedeutungen Bearbeiten

Der Begriff wird in der Fachliteratur nicht einheitlich verwendet. Manchmal werden auch

  • das Maß auf der borelschen σ-Algebra auf , das jedem Intervall das Maß zuordnet

als Borelmaß bezeichnet. Das Maß im dritten Fall wird meist jedoch als Borel-Lebesgue-Maß bezeichnet.

Soweit nicht anders erwähnt bespricht dieser Artikel die Eigenschaften von Borel-Maßen in dem oben in der Definition angegebenen Sinn.

Eigenschaften Bearbeiten

Für einen lokal kompakten Hausdorff-Raum ist die lokale Endlichkeit äquivalent dazu, dass jede kompakte Menge endliches Maß besitzt.

Denn ist , so existiert aufgrund der Lokalkompaktheit zu einer Umgebung ein kompaktes und eine offene Umgebung von mit . Die lokale Endlichkeit folgt nun aus der Monotonie des Maßes, es ist dann und ist offen wie gefordert.

Umgekehrt folgt aus der lokalen Endlichkeit, dass jede kompakte Menge endliches Maß hat: Für sei eine offene Umgebung von mit . Dann ist eine offene Überdeckung von . Aus der Definition der Kompaktheit folgt, dass eine endliche Teilüberdeckung existiert; damit ist .

Diese Eigenschaft wird auch zur Definition von Borel-Maßen auf lokal kompakten Hausdorff-Räumen herangezogen, stimmt aber im allgemeinen Fall nicht mit der lokalen Endlichkeit überein.

Verwandte Konzepte Bearbeiten

Moderate Maße Bearbeiten

Ein Borel-Maß heißt ein moderates Maß, wenn eine Folge von offenen Mengen existiert, so dass

ist und für alle gilt. Moderate Maße sind insbesondere deshalb von Interesse, da für sie allgemeinere Kriterien gelten, unter denen ein Borel-Maß ein reguläres Maß ist.

Radon-Maße Bearbeiten

Borel-Maße nennt man Radon-Maße, wenn sie von innen regulär sind, es also gilt, dass

für alle . Wie auch Borel-Maße wird die Bezeichnung "Radon-Maß" in der Literatur nicht einheitlich verwendet und sollte daher immer mit der genauen Definition im gegebenen Kontext abgeglichen werden.

Reguläre Borel-Maße Bearbeiten

Ein Borel-Maß wird ein reguläres Borel-Maß genannt, wenn es zusätzlich noch ein Reguläres Maß ist. Somit ist jedes von außen reguläre Radon-Maß ein reguläres Borel-Maß. Da aber für jede Verwendung des Begriffs "Borel-Maß" eigene Regularitäts-Begriffe existieren, ist auch hier Vorsicht geboten und ein Abgleich mit den Definitionen im jeweiligen Kontext notwendig.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 313.
  2. V.V. Sazonov: Borel Measure. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  3. Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy: Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC-Press, Boca Raton FL u. a. 1992, ISBN 0-8493-7157-0.
  4. Eric W. Weisstein: Borel Measure. In: MathWorld (englisch).
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Veröffentlichungsdatum:
Ein Borel Mass ist ein Begriff aus der Masstheorie einem Teilgebiet der Mathematik das sich mit verallgemeinerten Volumenbegriffen beschaftigt Anschaulich zeichnen sich Borel Masse dadurch aus dass jeder Punkt in eine Menge mit endlichem Mass eingehullt werden kann und sie auf einer speziellen s Algebra definiert sind Borel Masse bilden wichtige Grundbegriffe bei der Untersuchung von Massen auf Topologischen Raumen Sie sind nach Emile Borel benannt Bei Verwendung von Borel Massen ist Vorsicht geboten da diese in der Literatur insbesondere im angelsachsischen Sprachraum nicht einheitlich definiert werden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Weitere Bedeutungen 3 Eigenschaften 4 Verwandte Konzepte 4 1 Moderate Masse 4 2 Radon Masse 4 3 Regulare Borel Masse 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenGegeben sei ein Hausdorff Raum X t displaystyle X tau nbsp mit borelscher s Algebra B s t displaystyle mathcal B sigma tau nbsp Ein Mass m B 0 displaystyle mu mathcal B to 0 infty nbsp heisst ein Borel Mass wenn fur jedes x X displaystyle x in X nbsp eine offene Umgebung U x displaystyle U x nbsp von x displaystyle x nbsp existiert mit m U x lt displaystyle mu U x lt infty nbsp 1 Somit sind Borel Masse lokal endliche Masse auf der Borelschen s Algebra Ein Spezialfall hiervon ist das Lebesgue Borel Mass Weitere Bedeutungen BearbeitenDer Begriff wird in der Fachliteratur nicht einheitlich verwendet 2 Manchmal werden auch aussere Masse bezuglich derer alle Borelmengen Caratheodory messbar sind 3 beliebige Masse auf der borelschen s Algebra eines topologischen Raumes 4 das Mass auf der borelschen s Algebra auf R displaystyle mathbb R nbsp das jedem Intervall a b displaystyle a b nbsp das Mass b a displaystyle b a nbsp zuordnetals Borelmass bezeichnet Das Mass im dritten Fall wird meist jedoch als Borel Lebesgue Mass bezeichnet Soweit nicht anders erwahnt bespricht dieser Artikel die Eigenschaften von Borel Massen in dem oben in der Definition angegebenen Sinn Eigenschaften BearbeitenFur einen lokal kompakten Hausdorff Raum X displaystyle X nbsp ist die lokale Endlichkeit aquivalent dazu dass jede kompakte Menge endliches Mass besitzt Denn ist x X displaystyle x in X nbsp so existiert aufgrund der Lokalkompaktheit zu einer Umgebung U x displaystyle U x nbsp ein kompaktes K x displaystyle K x nbsp und eine offene Umgebung O x displaystyle O x nbsp von x displaystyle x nbsp mit O x K x U x displaystyle O x subset K x subset U x nbsp Die lokale Endlichkeit folgt nun aus der Monotonie des Masses es ist dann m O x m K x lt displaystyle mu O x leq mu K x lt infty nbsp und O x displaystyle O x nbsp ist offen wie gefordert Umgekehrt folgt aus der lokalen Endlichkeit dass jede kompakte Menge K displaystyle K nbsp endliches Mass hat Fur x K displaystyle x in K nbsp sei O x displaystyle O x nbsp eine offene Umgebung von x displaystyle x nbsp mit m O x lt displaystyle mu O x lt infty nbsp Dann ist O x x K displaystyle O x x in K nbsp eine offene Uberdeckung von K displaystyle K nbsp Aus der Definition der Kompaktheit folgt dass eine endliche Teiluberdeckung O x i i I I lt displaystyle O x i i in I I lt infty nbsp existiert damit ist m K i I m O x lt displaystyle mu K leq sum i in I mu O x lt infty nbsp Diese Eigenschaft wird auch zur Definition von Borel Massen auf lokal kompakten Hausdorff Raumen herangezogen stimmt aber im allgemeinen Fall nicht mit der lokalen Endlichkeit uberein Verwandte Konzepte BearbeitenModerate Masse Bearbeiten Ein Borel Mass heisst ein moderates Mass wenn eine Folge von offenen Mengen O n n N displaystyle O n n in mathbb N nbsp existiert so dass X n N O n displaystyle X bigcup n in mathbb N O n nbsp ist und m O n lt displaystyle mu O n lt infty nbsp fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp gilt Moderate Masse sind insbesondere deshalb von Interesse da fur sie allgemeinere Kriterien gelten unter denen ein Borel Mass ein regulares Mass ist Radon Masse Bearbeiten Borel Masse nennt man Radon Masse wenn sie von innen regular sind es also gilt dass m A sup m K K A K kompakt displaystyle mu A sup mu K mid K subset A K textrm kompakt nbsp fur alle A B displaystyle A in mathcal B nbsp Wie auch Borel Masse wird die Bezeichnung Radon Mass in der Literatur nicht einheitlich verwendet und sollte daher immer mit der genauen Definition im gegebenen Kontext abgeglichen werden Regulare Borel Masse Bearbeiten Ein Borel Mass wird ein regulares Borel Mass genannt wenn es zusatzlich noch ein Regulares Mass ist Somit ist jedes von aussen regulare Radon Mass ein regulares Borel Mass Da aber fur jede Verwendung des Begriffs Borel Mass eigene Regularitats Begriffe existieren ist auch hier Vorsicht geboten und ein Abgleich mit den Definitionen im jeweiligen Kontext notwendig Literatur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Einzelnachweise Bearbeiten Elstrodt Mass und Integrationstheorie 2009 S 313 V V Sazonov Borel Measure In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Lawrence C Evans Ronald F Gariepy Measure Theory and Fine Properties of Functions CRC Press Boca Raton FL u a 1992 ISBN 0 8493 7157 0 Eric W Weisstein Borel Measure In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Borelmass amp oldid 191168119