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Äußeres Maß englisch outer measure ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie der 1914 von Constan

Äußeres Maß

Äußeres Maß (englisch outer measure) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie, der 1914 von Constantin Carathéodory eingeführt wurde. Äußere Maße spielen eine wichtige Rolle bei der Erweiterung von Prämaßen zu Maßen mittels des Maßerweiterungssatz von Carathéodory. Äußere Maße sind im Allgemeinen aber keine Maße.

Definition Bearbeiten

Ein äußeres Maß ist eine Mengenfunktion von der Potenzmenge einer Menge in das Intervall , welche folgende Axiome erfüllt:

Der Name äußeres Maß lehnt sich an die Begriffe inneres und äußeres Maß an, die von Borel und Lebesgue benutzt wurden. Die Theorie von Carathéodory benutzt kein inneres Maß und vereinfacht die grundlegenden Beweise beträchtlich.

Metrisches äußeres Maß Bearbeiten

Ein metrisches äußeres Maß ist ein äußeres Maß auf einem metrischen Raum mit der zusätzlichen Eigenschaft:

für alle nichtleeren separierten Mengen und , d. h. . Bei der Konstruktion des Lebesgue-Maßes wird beispielsweise ein metrisches äußeres Maß verwendet.

Konstruktion Bearbeiten

Äußere Maße Bearbeiten

Sei beliebiges Mengensystem mit und eine Mengenfunktion mit . Setzt man für alle :

Dann ist ein äußeres Maß auf . Ist -subadditiv, so gilt für alle . Somit lässt sich insbesondere mittels eines Inhalts oder eines Prämaßes auf einem Halbring oder Ring ein äußeres Maß konstruieren. Manchmal wird daher die obige Konstruktion nur für diese Spezialfälle definiert.

Wählt man als Prämaß das Lebesguesche Prämaß, so erhält man das äußere Lebesguesche Maß, wählt man als Prämaß das Lebesgue-Stieltjessche Prämaß, so erhält man das äußere Lebesgue-Stieltjessche Maß.

Metrische äußere Maße Bearbeiten

Sei beliebiges Mengensystem auf dem metrischen Raum mit und eine Mengenfunktion mit . Definiert man

so ist

ein metrisches äußeres Maß. Dabei ist der Durchmesser der Menge .

Auf diese Weise wird zum Beispiel das äußere Hausdorff-Maß definiert, aber auch das äußere Lebesguesche Maß kann so gewonnen werden. Dazu setzt man und und als Mengensystem den Halbring der halboffenen Intervalle.

Messbarkeit nach Carathéodory Bearbeiten

Sei ein äußeres Maß auf der Potenzmenge einer Menge . Eine Menge heißt messbar bezüglich oder kurz -messbar, falls

Dieser Begriff der Messbarkeit stammt von Constantin Carathéodory. Äquivalent ist die Definition, dass eine Menge genau dann -messbar ist, wenn

Die beiden Charakterisierungen sind äquivalent, da das Gleichheitszeichen aus der σ-Subadditivität des äußeren Maßes folgt.

Beispiele Bearbeiten

  • sind -messbar.
  • Komplemente -messbarer Mengen sind messbar: Sei -messbar. Dann ist auch -messbar.
  • Nullmengen bezüglich des äußeren Maßes sind messbar: Sei mit . Dann ist -messbar. Genauso ist -messbar, falls gilt.

Abgrenzung zu anderen Messbarkeitsbegriffen Bearbeiten

Meist wird mit der Messbarkeit einer Menge gemeint, dass sich diese Menge in einer bestimmten σ-Algebra befindet. Dieser Messbarkeitsbegriff ist hauptsächlich davon abhängig, in welchem Messraum man sich befindet. Daher spricht man auch teilweise von der Messbarkeit bezüglich eines Messraumes.

Im Gegensatz dazu ist der hier verwendete Messbarkeitsbegriff unabhängig von einem Mengensystem. Er hängt nur von dem äußeren Maß ab, das auf der gesamten Potenzmenge definiert ist. Dementsprechend nennt man die Messbarkeit nach Carathéodory auch Messbarkeit bezüglich eines äußeren Maßes.

σ-Algebra der ν-messbaren Mengen Bearbeiten

Ist ein äußeres Maß, so ist die Menge

eine σ-Algebra und ein vollständiges Maß.

Es lässt sich auch zeigen, dass genau dann die Borelsche σ-Algebra enthält, wenn ein metrisches äußeres Maß auf dem metrischen Raum ist.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2., überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1992, ISBN 3-11-013626-0, § 5.
  • Constantin Carathéodory: Vorlesungen über reelle Funktionen. B. G. Teubner Verlag, Leipzig und Berlin 1918.
  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21390-2, Kapitel II § 4.1.
  • Boris Makarov, Anatolii Podkorytov: Real Analysis: Measures, Integrals and Applications (= Universitext). Springer, London, Heidelberg, New York, Dordrecht 2013, ISBN 978-1-4471-5121-0, doi:10.1007/978-1-4471-5122-7.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Constantin Carathéodory: Vorlesungen über reelle Funktionen. Leipzig und Berlin 1918, S. 246
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Veröffentlichungsdatum:
Ausseres Mass englisch outer measure ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Masstheorie der 1914 von Constantin Caratheodory eingefuhrt wurde Aussere Masse spielen eine wichtige Rolle bei der Erweiterung von Pramassen zu Massen mittels des Masserweiterungssatz von Caratheodory Aussere Masse sind im Allgemeinen aber keine Masse Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Metrisches ausseres Mass 3 Konstruktion 3 1 Aussere Masse 3 2 Metrische aussere Masse 4 Messbarkeit nach Caratheodory 4 1 Beispiele 4 2 Abgrenzung zu anderen Messbarkeitsbegriffen 4 3 s Algebra der n messbaren Mengen 5 Siehe auch 6 Literatur 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEin ausseres Mass n displaystyle nu nbsp ist eine Mengenfunktion von der Potenzmenge einer Menge X displaystyle X nbsp in das Intervall 0 displaystyle 0 infty nbsp welche folgende Axiome erfullt n 0 displaystyle nu emptyset 0 nbsp A B n A n B displaystyle A subseteq B Rightarrow nu A leq nu B nbsp Monotonie n i 1 A i i 1 n A i displaystyle nu left bigcup i 1 infty A i right leq sum i 1 infty nu A i nbsp s displaystyle sigma nbsp Subadditivitat Der Name ausseres Mass lehnt sich an die Begriffe inneres und ausseres Mass an die von Borel und Lebesgue benutzt wurden Die Theorie von Caratheodory benutzt kein inneres Mass und vereinfacht die grundlegenden Beweise betrachtlich Metrisches ausseres Mass BearbeitenEin metrisches ausseres Mass ist ein ausseres Mass auf einem metrischen Raum X d displaystyle X d nbsp mit der zusatzlichen Eigenschaft n A B n A n B displaystyle nu A cup B nu A nu B nbsp fur alle nichtleeren separierten Mengen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp d h inf d a b a A b B gt 0 displaystyle inf d a b a in A b in B gt 0 nbsp Bei der Konstruktion des Lebesgue Masses l displaystyle lambda nbsp wird beispielsweise ein metrisches ausseres Mass l displaystyle lambda nbsp verwendet Konstruktion BearbeitenAussere Masse Bearbeiten Sei S P X displaystyle S subseteq mathcal P X nbsp beliebiges Mengensystem mit S displaystyle emptyset in S nbsp und m S 0 displaystyle mu colon S rightarrow 0 infty nbsp eine Mengenfunktion mit m 0 displaystyle mu emptyset 0 nbsp Setzt man fur alle A X displaystyle A subseteq X nbsp n A inf i 1 m A i A i S A i 1 A i wenn A in keiner abz a hlbaren Vereinigung von Mengen aus S enthalten ist displaystyle nu A begin cases inf left left sum i 1 infty mu A i right A i in S A subseteq bigcup i 1 infty A i right infty text wenn A text in keiner abz mathrm ddot a text hlbaren Vereinigung von Mengen aus S text enthalten ist end cases nbsp Dann ist n displaystyle nu nbsp ein ausseres Mass auf P X displaystyle mathcal P X nbsp Ist m displaystyle mu nbsp s displaystyle sigma nbsp subadditiv so gilt m A n A displaystyle mu A nu A nbsp fur alle A S displaystyle A in S nbsp Somit lasst sich insbesondere mittels eines Inhalts oder eines Pramasses auf einem Halbring oder Ring ein ausseres Mass konstruieren Manchmal wird daher die obige Konstruktion nur fur diese Spezialfalle definiert Wahlt man als Pramass das Lebesguesche Pramass so erhalt man das aussere Lebesguesche Mass wahlt man als Pramass das Lebesgue Stieltjessche Pramass so erhalt man das aussere Lebesgue Stieltjessche Mass Metrische aussere Masse Bearbeiten Sei S P X displaystyle S subseteq mathcal P X nbsp beliebiges Mengensystem auf dem metrischen Raum X d displaystyle X d nbsp mit S displaystyle emptyset in S nbsp und m S 0 displaystyle mu colon S rightarrow 0 infty nbsp eine Mengenfunktion mit m 0 displaystyle mu emptyset 0 nbsp Definiert man n d A inf i 1 m A i diam A i d A i S A i 1 A i wenn A in keiner abzahlbaren Vereinigung von Mengen aus S mit Durchmesser d enthalten ist displaystyle nu delta A begin cases inf left left sum i 1 infty mu A i right operatorname diam A i leq delta A i in S A subseteq bigcup i 1 infty A i right infty text wenn A text in keiner abzahlbaren Vereinigung von Mengen aus S text mit Durchmesser leq delta text enthalten ist end cases nbsp so ist n A sup d gt 0 n d A displaystyle nu A sup delta gt 0 nu delta A nbsp ein metrisches ausseres Mass Dabei ist diam A displaystyle operatorname diam A nbsp der Durchmesser der Menge A displaystyle A nbsp Auf diese Weise wird zum Beispiel das aussere Hausdorff Mass definiert aber auch das aussere Lebesguesche Mass kann so gewonnen werden Dazu setzt man d x y x y displaystyle d x y x y nbsp und m A diam A displaystyle mu A operatorname diam A nbsp und als Mengensystem den Halbring der halboffenen Intervalle Messbarkeit nach Caratheodory BearbeitenSei n P X 0 displaystyle nu colon mathcal P X to 0 infty nbsp ein ausseres Mass auf der Potenzmenge einer Menge X displaystyle X nbsp Eine Menge A X displaystyle A subseteq X nbsp heisst messbar bezuglich n displaystyle nu nbsp oder kurz n displaystyle nu nbsp messbar falls E P X n E n E A n E A c displaystyle forall E in mathcal P X nu E nu E cap A nu E cap A c nbsp Dieser Begriff der Messbarkeit stammt von Constantin Caratheodory 1 Aquivalent ist die Definition dass eine Menge A X displaystyle A subseteq X nbsp genau dann n displaystyle nu nbsp messbar ist wenn n E n E A n E A c displaystyle quad nu E geq nu E cap A nu E cap A c nbsp fur alle E X displaystyle E subseteq X nbsp gilt Die beiden Charakterisierungen sind aquivalent da das Gleichheitszeichen aus der s Subadditivitat des ausseren Masses folgt Beispiele Bearbeiten X displaystyle emptyset X nbsp sind n displaystyle nu nbsp messbar Komplemente n displaystyle nu nbsp messbarer Mengen sind messbar Sei A X displaystyle A subseteq X nbsp n displaystyle nu nbsp messbar Dann ist auch A c displaystyle A c nbsp n displaystyle nu nbsp messbar Nullmengen bezuglich des ausseren Masses sind messbar Sei A X displaystyle A subseteq X nbsp mit n A 0 displaystyle nu A 0 nbsp Dann ist A displaystyle A nbsp n displaystyle nu nbsp messbar Genauso ist A displaystyle A nbsp n displaystyle nu nbsp messbar falls n A c 0 displaystyle nu A c 0 nbsp gilt Abgrenzung zu anderen Messbarkeitsbegriffen Bearbeiten Meist wird mit der Messbarkeit einer Menge gemeint dass sich diese Menge in einer bestimmten s Algebra befindet Dieser Messbarkeitsbegriff ist hauptsachlich davon abhangig in welchem Messraum man sich befindet Daher spricht man auch teilweise von der Messbarkeit bezuglich eines Messraumes Im Gegensatz dazu ist der hier verwendete Messbarkeitsbegriff unabhangig von einem Mengensystem Er hangt nur von dem ausseren Mass ab das auf der gesamten Potenzmenge definiert ist Dementsprechend nennt man die Messbarkeit nach Caratheodory auch Messbarkeit bezuglich eines ausseren Masses s Algebra der n messbaren Mengen Bearbeiten Ist n displaystyle nu nbsp ein ausseres Mass so ist die Menge A n A X A ist n messbar displaystyle mathcal A nu A subset X A text ist nu text messbar nbsp eine s Algebra und n A n displaystyle nu mathcal A nu nbsp ein vollstandiges Mass Es lasst sich auch zeigen dass A n displaystyle mathcal A nu nbsp genau dann die Borelsche s Algebra B X displaystyle mathcal B X nbsp enthalt wenn n displaystyle nu nbsp ein metrisches ausseres Mass auf dem metrischen Raum X d displaystyle X d nbsp ist Siehe auch BearbeitenMass Messbare MengenLiteratur BearbeitenHeinz Bauer Mass und Integrationstheorie 2 uberarbeitete Auflage de Gruyter Berlin u a 1992 ISBN 3 11 013626 0 5 Constantin Caratheodory Vorlesungen uber reelle Funktionen B G Teubner Verlag Leipzig und Berlin 1918 Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 4 korrigierte Auflage Springer Berlin u a 2005 ISBN 3 540 21390 2 Kapitel II 4 1 Boris Makarov Anatolii Podkorytov Real Analysis Measures Integrals and Applications Universitext Springer London Heidelberg New York Dordrecht 2013 ISBN 978 1 4471 5121 0 doi 10 1007 978 1 4471 5122 7 Einzelnachweise Bearbeiten Constantin Caratheodory Vorlesungen uber reelle Funktionen Leipzig und Berlin 1918 S 246 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ausseres Mass amp oldid 226409028