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Inhalt Maßtheorie Ein Inhalt ist in der Maßtheorie eine spezielle Mengenfunktion die für gewisse Mengensysteme definiert

Inhalt (Maßtheorie)

Ein Inhalt ist in der Maßtheorie eine spezielle Mengenfunktion, die für gewisse Mengensysteme definiert wird und dazu dient, den intuitiven Volumenbegriff zu abstrahieren und zu verallgemeinern.

In der englischen Literatur wird auch häufig der Begriff endlich additives Maß verwendet, auch wenn es sich im Allgemeinen nicht um ein Maß handelt.

Definition Bearbeiten

Endliche Additivität für ein Inhalt : Der Inhalt einer endlich disjunkten Vereinigung ist gleich der Summe über die Inhalte der einzelnen Teilmengen.

Auf beliebigen Mengensystemen Bearbeiten

Gegeben sei ein Mengensystem , das die leere Menge enthält. Dann heißt eine Mengenfunktion

ein Inhalt, wenn gilt:

  1. Die leere Menge hat den Wert null: .
  2. Die Funktion ist endlich additiv. Sind also endlich viele paarweise disjunkte Mengen aus und dann gilt

Bei dem Mengensystem handelt es sich meist um einen Mengenhalbring.

Bemerkung Bearbeiten

Zu beachten ist, dass in der Definition nicht gefordert wird, dass endliche Vereinigungen von disjunkten Mengen wieder im Mengensystem liegen. Es wird lediglich gefordert, dass falls die disjunkte Vereinigung wieder im Mengensystem liegt, die endliche Additivität gilt. So liegen beispielsweise endliche Vereinigungen disjunkter Mengen in Halbringen im Allgemeinen nicht wieder im Halbring. Beispiel hierfür ist der Halbring auf , der aus den halboffenen Intervallen der Form besteht.

Ebenso folgt im Allgemeinen aus der Additivität, also aus der Eigenschaft

für disjunkte Mengen mit nicht die endliche Additivität. Dies beruht darauf, dass aus in allgemeinen Mengensystemen nicht folgt für disjunktes . Der (rückwärts)induktive Schluss von der Additivität zur endlichen Additivität gilt somit nur in vereinigungsstabilen Mengensysteme.

Auf vereinigungsstabilen Mengensystemen Bearbeiten

Aufgrund der obigen Überlegungen erhält man in vereinigungsstabilen Mengensystemen folgende vereinfachte Definition: Ist ein vereinigungsstabiles Mengensystem, dass die leere Mengen enthält, so heißt eine Mengenfunktion

ein Inhalt, wenn gilt:

  1. Die leere Menge hat den Wert null: .
  2. Die Funktion ist additiv, das heißt für je zwei disjunkte Mengen gilt

Dabei handelt es sich bei den vereinigungsstabilen Mengensystem meist um einen Mengenring.

Beispiele Bearbeiten

Der wichtigste Inhalt ist der sogenannte Lebesgue'sche Inhalt

auf dem Halbring der halboffenen Intervalle auf den reellen Zahlen. Aus ihm wird durch Erweiterung und diverse Fortsetzungssätze schließlich das Lebesgue-Integral konstruiert. Tatsächlich ist dieser Inhalt bereits ein Prämaß.

Ein weiterer wichtiger Inhalt ist der Stieltjes’sche Inhalt, aus dem sich das Lebesgue-Stieltjes-Maß und das Lebesgue-Stieltjes-Integral ableitet:

wobei eine monoton wachsende reellwertige Funktion ist. Durch ihn lassen sich alle endlichen Inhalte auf den reellen Zahlen beschreiben.

Ein weiterer Inhalt ist das Jordan-Maß. Entgegen dem Namen handelt es sich nicht um ein Maß im Sinne der Maßtheorie.

Eigenschaften Bearbeiten

Je nachdem, auf welchem Mengensystem Inhalte definiert werden, treffen gewisse Eigenschaften zu.

Im Halbring Bearbeiten

Falls ein Halbring ist, dann gilt:

  • Jeder Inhalt ist monoton, es gilt folglich:
  • Jeder Inhalt ist subadditiv, es gilt also:

Im Ring Bearbeiten

Wählt man als Mengensystem einen Ring, gelten (da jeder Ring ein Halbring ist) zusätzlich zu den Eigenschaften im Halbring die folgenden Aussagen:

  • Subtraktivität: für mit gilt .
  • .
  • Subadditivität: .
  • -Superadditivität: Seien paarweise disjunkt mit . Dann folgt aus der Additivität und Monotonie .
  • Falls endlich ist, also für alle gilt, dann gilt die Siebformel von Poincaré und Sylvester:
mit für .

Abgeleitete Begriffe Bearbeiten

Ein Inhalt heißt endlich, wenn für alle gilt. Ein Inhalt heißt σ-endlich, wenn es eine Zerlegung von in gibt, so dass für alle gilt.

Fortsetzung von Inhalten Bearbeiten

Man kann zu jedem Inhalt auf dem Halbring einen Inhalt auf dem von erzeugten Ring konstruieren. Aufgrund der Eigenschaften eines Halbringes gibt es für alle paarweise disjunkte Mengen mit . Indem man durch

definiert, erhält man eine eindeutig bestimmte Fortsetzung . Die Fortsetzung ist genau dann -endlich, wenn -endlich ist.

Verwandte Konzepte Bearbeiten

Wahrscheinlichkeitsinhalt Bearbeiten

Ein Inhalt wird ein Wahrscheinlichkeitsinhalt genannt, wenn die Grundmenge im Mengensystem enthalten ist und gilt.

Signierter Inhalt Bearbeiten

Ein signierter Inhalt ist eine Mengenfunktion auf einem Mengensystem , das abgeschlossen bezüglich endlichen Vereinigungen ist und die leere Menge enthält, für die gilt

  2. Die Bildmenge der Mengenfunktion ist oder .
  3. Es gilt endliche Additivität, also für disjunkte .

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 44.
  2. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 12.
  3. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 27.
  4. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 194.
  5. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 277.
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Veröffentlichungsdatum:
Ein Inhalt ist in der Masstheorie eine spezielle Mengenfunktion die fur gewisse Mengensysteme definiert wird und dazu dient den intuitiven Volumenbegriff zu abstrahieren und zu verallgemeinern In der englischen Literatur wird auch haufig der Begriff endlich additives Mass verwendet auch wenn es sich im Allgemeinen nicht um ein Mass handelt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Auf beliebigen Mengensystemen 1 2 Bemerkung 1 3 Auf vereinigungsstabilen Mengensystemen 2 Beispiele 3 Eigenschaften 3 1 Im Halbring 3 2 Im Ring 4 Abgeleitete Begriffe 5 Fortsetzung von Inhalten 6 Verwandte Konzepte 6 1 Wahrscheinlichkeitsinhalt 6 2 Signierter Inhalt 7 Literatur 8 EinzelnachweiseDefinition Bearbeiten nbsp Endliche Additivitat fur ein Inhalt m displaystyle mu nbsp Der Inhalt einer endlich disjunkten Vereinigung ist gleich der Summe uber die Inhalte der einzelnen Teilmengen Auf beliebigen Mengensystemen Bearbeiten Gegeben sei ein Mengensystem C displaystyle mathcal C nbsp das die leere Menge enthalt Dann heisst eine Mengenfunktion m C 0 displaystyle mu mathcal C to 0 infty nbsp ein Inhalt wenn gilt 1 Die leere Menge hat den Wert null m 0 displaystyle mu emptyset 0 nbsp Die Funktion ist endlich additiv Sind also A 1 A 2 A n displaystyle A 1 A 2 dotsc A n nbsp endlich viele paarweise disjunkte Mengen aus C displaystyle mathcal C nbsp und i 1 n A i C displaystyle textstyle bigcup i 1 n A i in mathcal C nbsp dann gilt m i 1 n A i i 1 n m A i displaystyle mu left bigcup i 1 n A i right sum i 1 n mu A i nbsp Bei dem Mengensystem handelt es sich meist um einen Mengenhalbring 2 3 Bemerkung Bearbeiten Zu beachten ist dass in der Definition nicht gefordert wird dass endliche Vereinigungen von disjunkten Mengen wieder im Mengensystem liegen Es wird lediglich gefordert dass falls die disjunkte Vereinigung wieder im Mengensystem liegt die endliche Additivitat gilt So liegen beispielsweise endliche Vereinigungen disjunkter Mengen in Halbringen im Allgemeinen nicht wieder im Halbring Beispiel 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Mengen enthalt so heisst eine Mengenfunktion m V 0 displaystyle mu mathcal V to 0 infty nbsp ein Inhalt wenn gilt Die leere Menge hat den Wert null m 0 displaystyle mu emptyset 0 nbsp Die Funktion ist additiv das heisst fur je zwei disjunkte Mengen A B V displaystyle A B in mathcal V nbsp gilt m A B m A m B displaystyle mu A cup B mu A mu B nbsp Dabei handelt es sich bei den vereinigungsstabilen Mengensystem meist um einen Mengenring Beispiele BearbeitenDer wichtigste Inhalt ist der sogenannte Lebesgue sche Inhalt m a b b a displaystyle mu a b b a nbsp auf dem Halbring der halboffenen Intervalle a b displaystyle a b nbsp auf den reellen Zahlen Aus ihm wird durch Erweiterung und diverse Fortsetzungssatze schliesslich das Lebesgue Integral konstruiert Tatsachlich ist dieser Inhalt bereits ein Pramass Ein weiterer wichtiger Inhalt ist der Stieltjes sche Inhalt aus dem sich das Lebesgue Stieltjes Mass und das Lebesgue Stieltjes Integral ableitet m F a b F b F a displaystyle mu F a b F b F a nbsp wobei F displaystyle F nbsp eine monoton wachsende reellwertige Funktion ist Durch ihn lassen sich alle endlichen Inhalte auf den reellen Zahlen beschreiben Ein weiterer Inhalt ist das Jordan Mass Entgegen dem Namen handelt es sich nicht um ein Mass im Sinne der Masstheorie Eigenschaften BearbeitenJe nachdem auf welchem Mengensystem Inhalte definiert werden treffen gewisse Eigenschaften zu Im Halbring Bearbeiten Falls C H displaystyle mathcal C mathcal H nbsp ein Halbring ist dann gilt Jeder Inhalt m displaystyle mu nbsp ist monoton es gilt folglich A B m A m B displaystyle A subseteq B Rightarrow mu A leq mu B nbsp fur A B H displaystyle A B in mathcal H nbsp Jeder Inhalt m displaystyle mu nbsp ist subadditiv es gilt also m A B m A m B displaystyle mu A cup B leq mu A mu B nbsp fur A B displaystyle A B nbsp aus H displaystyle mathcal H nbsp mit A B H displaystyle A cup B in mathcal H nbsp Im Ring Bearbeiten Wahlt man als Mengensystem einen Ring gelten da jeder Ring ein Halbring ist zusatzlich zu den Eigenschaften im Halbring die folgenden Aussagen Subtraktivitat fur B A displaystyle B subseteq A nbsp mit m B lt displaystyle mu B lt infty nbsp gilt m A B m A m B displaystyle mu A setminus B mu A mu B nbsp A B R m A B m A B m A m B displaystyle A B in mathcal R Rightarrow mu A cup B mu A cap B mu A mu B nbsp Subadditivitat A i R i 1 2 n m i 1 n A i i 1 n m A i displaystyle A i in mathcal R i 1 2 dotsc n Rightarrow mu left bigcup i 1 n A i right leq sum i 1 n mu A i nbsp s displaystyle sigma nbsp Superadditivitat Seien A i R i 1 2 displaystyle A i in mathcal R i 1 2 dotsc nbsp paarweise disjunkt mit i 1 A i R displaystyle bigcup i 1 infty A i in mathcal R nbsp Dann folgt aus der Additivitat und Monotonie m i 1 A i i 1 m A i displaystyle mu left bigcup i 1 infty A i right geq sum i 1 infty mu A i nbsp Falls m displaystyle mu nbsp endlich ist also fur alle A R m A lt displaystyle A in mathcal R Rightarrow mu A lt infty nbsp gilt dann gilt die Siebformel von Poincare und Sylvester m i 1 n A i k 1 n 1 k 1 I 1 n I k m i I A i displaystyle mu left bigcup i 1 n A i right sum k 1 n 1 k 1 sum I subseteq 1 dotsc n atop I k mu left bigcap i in I A i right nbsp dd mit A i C displaystyle A i in mathcal C nbsp fur i 1 n displaystyle i in 1 dotsc n nbsp Abgeleitete Begriffe BearbeitenEin Inhalt heisst endlich wenn m A lt displaystyle mu A lt infty nbsp fur alle A C displaystyle A in mathcal C nbsp gilt Ein Inhalt heisst s endlich wenn es eine Zerlegung A i i N displaystyle A i i in mathbb N nbsp von W displaystyle Omega nbsp in C displaystyle mathcal C nbsp gibt so dass m A i lt displaystyle mu A i lt infty nbsp fur alle i N displaystyle i in mathbb N nbsp gilt Fortsetzung von Inhalten BearbeitenMan kann zu jedem Inhalt m displaystyle mu nbsp auf dem Halbring H displaystyle mathcal H nbsp einen Inhalt m displaystyle mu nbsp auf dem von H displaystyle mathcal H nbsp erzeugten Ring R displaystyle mathcal R nbsp konstruieren Aufgrund der Eigenschaften eines Halbringes gibt es fur alle A R displaystyle A in mathcal R nbsp paarweise disjunkte Mengen A 1 A 2 A m H displaystyle A 1 A 2 dotsc A m in mathcal H nbsp mit A j 1 m A j displaystyle textstyle A bigcup j 1 m A j nbsp Indem man m displaystyle mu nbsp durch m A j 1 m m A j displaystyle mu A sum j 1 m mu A j nbsp definiert erhalt man eine eindeutig bestimmte Fortsetzung m displaystyle mu nbsp Die Fortsetzung m displaystyle mu nbsp ist genau dann s displaystyle sigma nbsp endlich wenn m displaystyle mu nbsp s displaystyle sigma nbsp endlich ist Verwandte Konzepte BearbeitenWahrscheinlichkeitsinhalt Bearbeiten Ein Inhalt m displaystyle mu nbsp wird ein Wahrscheinlichkeitsinhalt genannt wenn die Grundmenge W displaystyle Omega nbsp im Mengensystem C displaystyle mathcal C nbsp enthalten ist und m W 1 displaystyle mu Omega 1 nbsp gilt 4 Signierter Inhalt Bearbeiten Ein signierter Inhalt ist eine Mengenfunktion n displaystyle nu nbsp auf einem Mengensystem M displaystyle mathcal M nbsp das abgeschlossen bezuglich endlichen Vereinigungen ist und die leere Menge enthalt fur die gilt n 0 displaystyle nu emptyset 0 nbsp Die Bildmenge der Mengenfunktion ist displaystyle infty infty nbsp oder displaystyle infty infty nbsp Es gilt endliche Additivitat also n A B n A n B displaystyle nu A cup B nu A nu B nbsp fur disjunkte A B M displaystyle A B in mathcal M nbsp 5 Literatur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Klaus D Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2 durchgesehene Auflage Springer Verlag Heidelberg Dordrecht London New York 2011 ISBN 978 3 642 21025 9 doi 10 1007 978 3 642 21026 6 Einzelnachweise Bearbeiten Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2011 S 44 Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 2013 S 12 Elstrodt Mass und Integrationstheorie 2009 S 27 Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2011 S 194 Elstrodt Mass und Integrationstheorie 2009 S 277 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Inhalt Masstheorie amp oldid 233541045