Stieltjesscher Inhalt Der Stieltjes sche Inhalt benannt nach dem Mathematiker Thomas Jean Stieltjes ist ein Inhalt mit d

Stieltjesscher Inhalt

Der Stieltjes’sche Inhalt, benannt nach dem Mathematiker Thomas Jean Stieltjes, ist ein Inhalt, mit dem man das Riemann-Integral zum Lebesgue-Stieltjes-Integral verallgemeinern kann.

Stieltjes’scher Inhalt Bearbeiten

Der Stieltjes’sche Inhalt wird auf dem Halbring über definiert. Da man Inhalte auf einem Halbring eindeutig auf ihrem erzeugten Ring fortsetzen kann, kann er auf der Menge

betrachtet werden.

Ist eine monoton wachsende Funktion, so nennt man den Inhalt

den zu gehörenden Stieltjes’schen Inhalt. Er ist σ-endlich.

Darstellung von Inhalten Bearbeiten

Ist ein endlicher Inhalt und wird definiert durch

so ist eine monoton wachsende Funktion und es gilt . Damit lässt sich also jeder endliche Inhalt auf als Stieltjes’scher Inhalt darstellen.

Lebesgue-Stieltjes’sches Prämaß Bearbeiten

Man ist oft daran interessiert, ob ein Inhalt σ-additiv ist, also

gilt, wenn die paarweise verschieden sind. σ-additive Inhalte sind nämlich Prämaße und lassen sich zu Maßen fortsetzen. Der Stieltjes’sche Inhalt ist genau dann ein Prämaß, wenn rechtsstetig ist. In diesem Fall nennt man das zu gehörige Lebesgue-Stieltjes’sche Prämaß. Als Spezialfall ergibt sich für das Lebesguesche Prämaß. Hat man hingegen als Mengensystem den Halbring der links abgeschlossenen Intervalle gewählt, so ist ein Prämaß, genau dann wenn linksseitig stetig ist. Dieses Prämaß ist ebenfalls σ-endlich.

Lebesgue-Stieltjes-Integral Bearbeiten

Mithilfe des Stieltjes’schen Inhalts kann man das Riemann-Integral zum Lebesgue-Stieltjes-Integral erweitern. Dazu verwendet man den Maßerweiterungssatz von Carathéodory, um aus dem Prämaß das Lebesgue-Stieltjes-Maß zu konstruieren. Die σ-Endlichkeit des Maßes liefert die Eindeutigkeit der Fortsetzung. Aus dem Maß lässt sich schließlich der neue Integralbegriff konstruieren.

Literatur Bearbeiten

Wolfgang Walter: Analysis (= Grundwissen Mathematik. Band 4). Springer, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-12781-X.
Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21390-2, Kapitel II, § 2, S. 37.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 14, 2023, 06:54 am

Der Stieltjes sche Inhalt benannt nach dem Mathematiker Thomas Jean Stieltjes ist ein Inhalt mit dem man das Riemann Integral zum Lebesgue Stieltjes Integral verallgemeinern kann Inhaltsverzeichnis 1 Stieltjes scher Inhalt 2 Darstellung von Inhalten 3 Lebesgue Stieltjes sches Pramass 4 Lebesgue Stieltjes Integral 5 LiteraturStieltjes scher Inhalt BearbeitenDer Stieltjes sche Inhalt wird auf dem Halbring J a b a b R a b displaystyle mathcal J a b a b in mathbb R a leq b nbsp uber R displaystyle mathbb R nbsp definiert Da man Inhalte auf einem Halbring eindeutig auf ihrem erzeugten Ring fortsetzen kann kann er auf der Menge F j 1 n I j I 1 I n J I j I k wenn j k displaystyle mathcal F left left bigcup j 1 n I j right I 1 dotsc I n in mathcal J I j cap I k emptyset text wenn j neq k right nbsp betrachtet werden Ist F R R displaystyle F colon mathbb R rightarrow mathbb R nbsp eine monoton wachsende Funktion so nennt man den Inhalt m F J R m F a b F b F a a b displaystyle mu F colon mathcal J rightarrow mathbb R mu F a b F b F a a leq b nbsp den zu F displaystyle F nbsp gehorenden Stieltjes schen Inhalt Er ist s endlich Darstellung von Inhalten BearbeitenIst m J R displaystyle mu colon mathcal J rightarrow mathbb R nbsp ein endlicher Inhalt und wird F R R displaystyle F mathbb R rightarrow mathbb R nbsp definiert durch F x m 0 x wenn x 0 m x 0 wenn x lt 0 displaystyle F x begin cases mu 0 x amp mbox wenn x geq 0 mu x 0 amp mbox wenn x lt 0 end cases nbsp so ist F displaystyle F nbsp eine monoton wachsende Funktion und es gilt m m F displaystyle mu mu F nbsp Damit lasst sich also jeder endliche Inhalt auf R displaystyle mathbb R nbsp als Stieltjes scher Inhalt darstellen Lebesgue Stieltjes sches Pramass BearbeitenMan ist oft daran interessiert ob ein Inhalt s additiv ist also m F i 1 I i i 1 m F I i displaystyle mu F left bigcup i 1 infty I i right sum i 1 infty mu F I i nbsp gilt wenn die I i displaystyle I i nbsp paarweise verschieden sind s additive Inhalte sind namlich Pramasse und lassen sich zu Massen fortsetzen Der Stieltjes sche Inhalt ist genau dann ein Pramass wenn F displaystyle F nbsp rechtsstetig ist In diesem Fall nennt man m F displaystyle mu F nbsp das zu F displaystyle F nbsp gehorige Lebesgue Stieltjes sche Pramass Als Spezialfall ergibt sich fur F x x displaystyle F x x nbsp das Lebesguesche Pramass Hat man hingegen als Mengensystem den Halbring der links abgeschlossenen Intervalle gewahlt so ist m F displaystyle mu F nbsp ein Pramass genau dann wenn F displaystyle F nbsp linksseitig stetig ist Dieses Pramass ist ebenfalls s endlich Lebesgue Stieltjes Integral BearbeitenMithilfe des Stieltjes schen Inhalts kann man das Riemann Integral zum Lebesgue Stieltjes Integral a b g x d F x displaystyle textstyle int a b g x mathrm d F x nbsp erweitern Dazu verwendet man den Masserweiterungssatz von Caratheodory um aus dem Pramass das Lebesgue Stieltjes Mass zu konstruieren Die s Endlichkeit des Masses liefert die Eindeutigkeit der Fortsetzung Aus dem Mass lasst sich schliesslich der neue Integralbegriff konstruieren Literatur BearbeitenWolfgang Walter Analysis Grundwissen Mathematik Band 4 Springer Berlin u a 1990 ISBN 3 540 12781 X Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 4 korrigierte Auflage Springer Berlin u a 2005 ISBN 3 540 21390 2 Kapitel II 2 S 37 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Stieltjesscher Inhalt amp oldid 200635045