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Stieltjesintegral In der Integralrechnung bezeichnet das eine wesentliche Verallgemeinerung des Riemannintegrals oder ei

Stieltjesintegral

In der Integralrechnung bezeichnet das Stieltjesintegral eine wesentliche Verallgemeinerung des Riemannintegrals oder eine Konkretisierung des Integralbegriffs von Lebesgue. Benannt wurde es nach dem niederländischen Mathematiker Thomas Jean Stieltjes (1856–1894). Das Stieltjesintegral, für den der Begriff des Integrators grundlegend ist, findet in vielen Gebieten Anwendung, insbesondere in der Physik und der Stochastik.

Das Riemann-Stieltjes-Integral für monotone Integratoren Bearbeiten

Cantor-Funktion (10 Iterationen, stetig und monoton, aber nirgends mit positiver Ableitung differenzierbar)
Heaviside-Funktion (unstetig)

Es seien mit und zwei Funktionen. Dabei wird vorausgesetzt, dass , der Integrand, beschränkt ist und , der Integrator, (nicht notwendigerweise streng) monoton wächst. Das dazugehörige Riemann-Stieltjes-Integral von bezüglich auf dem Intervall wird wie das Riemannintegral über feine Zerlegungen des Intervalls oder über Ober- und Untersummen (siehe dort) definiert. Jedoch lauten die Formeln für die Ober- und Untersumme bei Stieltjes-Integralen statt

nun

Konvergieren Ober- und Untersumme gegen denselben Wert, so heißt bezüglich auf Riemann-Stieltjes-integrierbar, und der gemeinsame Grenzwert wird als Wert des Integrals bezeichnet. Die Schreibweise hierfür ist


Der Integrator regelt also, wie stark an verschiedenen Stellen gewichtet wird. Statt Integrator ist deshalb auch die Bezeichnung Gewichtsfunktion üblich. Offensichtlich kann das gewöhnliche Riemannintegral als Spezialfall des Riemann-Stieltjes-Integrals mit für alle (Identität) aufgefasst werden. Im Unterschied zum Riemann-Integral setzt man zwar standardmäßig voraus, dass die Integrandenfunktion stetig ist, die Integratorfunktion kann aber komplizierter sein:

Das Riemann-Stieltjes-Integral existiert z. B. bei stetiger Funktion selbst mit der Cantor-Funktion als Integrator (das ist eine monoton von 0 auf 1 wachsende stetige Funktion, deren Ableitung fast überall 0 ist, nämlich bis auf eine überabzählbare Nullmenge). Es existiert sogar mit einer unstetigen, aber monotonen Sprungfunktion etwa für für alle , aber für (Heaviside-Funktion).

Das Lebesgue-Stieltjes-Integral Bearbeiten

Das Lebesgue-Stieltjes-Integral ist ein Spezialfall des Lebesgue-Integrals. Hierbei wird über ein Borel-Maß integriert, das im Fall des Lebesgue-Stieltjes-Integrals durch die monotone Funktion definiert wird und im Folgenden mit bezeichnet wird. Das Maß ist festgelegt durch seine Werte auf Intervallen:

Hier bezeichnet den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert der Funktion an der Stelle . Ist die Identität, so handelt es sich um das Lebesgue-Maß. Ist bezüglich dieses Maßes Lebesgue-integrierbar, so definiert man das zugehörige Lebesgue-Stieltjes-Integral als

wobei die rechte Seite als gewöhnliches Lebesgue-Integral aufzufassen ist.

Nicht-monotone Integratoren Bearbeiten

Für eine eingeschränkte Menge nicht monoton wachsender Integratoren kann das Stieltjes-Integral ebenfalls sinnvoll definiert werden, nämlich für solche mit endlicher Variation auf . Funktionen endlicher Variation können nämlich stets als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen dargestellt werden, also , wobei monoton wachsend sind. Das zugehörige Stieltjes-Integral (wahlweise im Riemannschen oder Lebesgueschen Sinne) ist dann definiert als

Es kann gezeigt werden, dass diese Definition sinnvoll, d. h. wohldefiniert (also unabhängig von der speziellen Wahl der Zerlegung) ist.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Wie das Riemann- und das Lebesgue-Integral ist auch das Stieltjes-Integral linear im Integranden:
  • Weiterhin ist das Stieltjes-Integral auch linear im Integrator, also
  • Das Integral ist invariant unter Translationen des Integrators, also
  • Treppenfunktionen als Integratoren: Ist stetig und eine Treppenfunktion, die in den Punkten Sprünge der Höhe besitzt, so gilt
  • Ist absolut stetig, so ist fast überall differenzierbar, die Ableitung ist integrierbar und es gilt auch hier:

Literatur Bearbeiten

  • Isidor P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen. Unveränderter Nachdruck der 4. Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1981, ISBN 3-87-144-217-8.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Wolfgang Walter: Analysis. Band 2. 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42953-0, S. 193 f.
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Veröffentlichungsdatum:
In der Integralrechnung bezeichnet das Stieltjesintegral eine wesentliche Verallgemeinerung des Riemannintegrals oder eine Konkretisierung des Integralbegriffs von Lebesgue Benannt wurde es nach dem niederlandischen Mathematiker Thomas Jean Stieltjes 1856 1894 Das Stieltjesintegral fur den der Begriff des Integrators grundlegend ist findet in vielen Gebieten Anwendung insbesondere in der Physik und der Stochastik Inhaltsverzeichnis 1 Das Riemann Stieltjes Integral fur monotone Integratoren 2 Das Lebesgue Stieltjes Integral 3 Nicht monotone Integratoren 4 Eigenschaften 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDas Riemann Stieltjes Integral fur monotone Integratoren Bearbeiten nbsp Cantor Funktion 10 Iterationen stetig und monoton aber nirgends mit positiver Ableitung differenzierbar nbsp Heaviside Funktion unstetig Es seien a b R displaystyle a b in mathbb R nbsp mit a lt b displaystyle a lt b nbsp und f h a b R displaystyle f h colon a b to mathbb R nbsp zwei Funktionen Dabei wird vorausgesetzt dass f displaystyle f nbsp der Integrand beschrankt ist und h displaystyle h nbsp der Integrator nicht notwendigerweise streng monoton wachst Das dazugehorige Riemann Stieltjes Integral von f displaystyle f nbsp bezuglich h displaystyle h nbsp auf dem Intervall a b displaystyle a b nbsp wird wie das Riemannintegral uber feine Zerlegungen des Intervalls oder uber Ober und Untersummen siehe dort definiert Jedoch lauten die Formeln fur die Ober und Untersumme bei Stieltjes Integralen statt S N i 1 N sup f t t t i 1 t i t i t i 1 displaystyle overline S N sum i 1 N sup Big f t t in t i 1 t i Big cdot t i t i 1 nbsp Obersumme undS N i 1 N inf f t t t i 1 t i t i t i 1 displaystyle underline S N sum i 1 N inf Big f t t in t i 1 t i Big cdot t i t i 1 nbsp Untersumme nun S N i 1 N sup f t t t i 1 t i h t i h t i 1 displaystyle overline S N sum i 1 N sup Big f t t in t i 1 t i Big cdot h t i h t i 1 nbsp Stieltjes Obersumme undS N i 1 N inf f t t t i 1 t i h t i h t i 1 displaystyle underline 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stetig ist die Integratorfunktion h t displaystyle h t nbsp kann aber komplizierter sein Das Riemann Stieltjes Integral existiert z B bei stetiger Funktion f displaystyle f nbsp selbst mit der Cantor Funktion als Integrator h displaystyle h nbsp das ist eine monoton von 0 auf 1 wachsende stetige Funktion deren Ableitung fast uberall 0 ist namlich bis auf eine uberabzahlbare Nullmenge Es existiert sogar mit einer unstetigen aber monotonen Sprungfunktion h displaystyle h nbsp etwa fur h t 0 displaystyle h t 0 nbsp fur alle t lt 0 displaystyle t lt 0 nbsp aber h t 1 displaystyle h t 1 nbsp fur t 0 displaystyle t geq 0 nbsp Heaviside Funktion Das Lebesgue Stieltjes Integral BearbeitenDas Lebesgue Stieltjes Integral ist ein Spezialfall des Lebesgue Integrals Hierbei wird uber ein Borel Mass m displaystyle mu nbsp integriert das im Fall des Lebesgue Stieltjes Integrals durch die monotone Funktion h displaystyle h nbsp definiert wird und im Folgenden mit m h displaystyle mu h nbsp bezeichnet wird Das Mass m h displaystyle mu h nbsp ist festgelegt durch seine Werte auf Intervallen m h x y h y h x m h x y h y h x m h x y h y h x displaystyle begin aligned mu h x y amp h y h x mu h x y amp h y h x mu h x y amp h y h x end aligned nbsp Hier bezeichnet h y displaystyle h y nbsp den linksseitigen und h y displaystyle h y nbsp den rechtsseitigen Grenzwert der Funktion h displaystyle h nbsp an der Stelle y displaystyle y nbsp Ist h displaystyle h nbsp die Identitat so handelt es sich um das Lebesgue Mass Ist f displaystyle f nbsp bezuglich dieses Masses m h displaystyle mu h nbsp Lebesgue integrierbar so definiert man das zugehorige Lebesgue Stieltjes Integral als a b f d h a b f d m h displaystyle int a b f mathrm d h int a b f mathrm d mu h nbsp wobei die rechte Seite als gewohnliches Lebesgue Integral aufzufassen ist Nicht monotone Integratoren BearbeitenFur eine eingeschrankte Menge nicht monoton wachsender Integratoren kann das Stieltjes Integral ebenfalls sinnvoll definiert werden namlich fur solche mit endlicher Variation auf a b displaystyle a b nbsp Funktionen endlicher Variation konnen namlich stets als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen dargestellt werden also h h 1 h 2 displaystyle h h 1 h 2 nbsp wobei h 1 h 2 a b R displaystyle h 1 h 2 colon a b to mathbb R nbsp monoton wachsend sind Das zugehorige Stieltjes Integral wahlweise im Riemannschen oder Lebesgueschen Sinne ist dann definiert als a b f d h a b f d h 1 a b f d h 2 displaystyle int a b f mathrm d h int a b f mathrm d h 1 int a b f mathrm d h 2 nbsp Es kann gezeigt werden dass diese Definition sinnvoll d h wohldefiniert also unabhangig von der speziellen Wahl der Zerlegung ist Eigenschaften BearbeitenWie das Riemann und das Lebesgue Integral ist auch das Stieltjes Integral linear im Integranden a b a f b g d h a a b f d h b a b g d h displaystyle int a b alpha f beta g mathrm d h alpha int a b f mathrm d h beta int a b g mathrm d h nbsp fur Konstanten a b R displaystyle alpha 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stetig differenzierbar so gilt a b f x d h x a b f x h x d x displaystyle int a b f x mathrm d h x int a b f x h x mathrm d x nbsp Im Lebesgueschen Sinne h displaystyle h nbsp ist die Dichte von m h displaystyle mu h nbsp Ist h displaystyle h nbsp absolut stetig so ist h displaystyle h nbsp fast uberall differenzierbar die Ableitung h displaystyle h nbsp ist integrierbar und es gilt auch hier a b f x d h x a b f x h x d x displaystyle int a b f x mathrm d h x int a b f x h x mathrm d x nbsp Fur das Riemann Stieltjes Integral gilt folgende Regel zur partiellen Integration 1 a b f x d h x f b h b f a h a a b h x d f x displaystyle int a b f x mathrm d h x f b h b f a h a int a b h x mathrm d f x nbsp Literatur BearbeitenIsidor P Natanson Theorie der Funktionen einer reellen Veranderlichen Unveranderter Nachdruck der 4 Auflage Harri Deutsch Thun u a 1981 ISBN 3 87 144 217 8 Einzelnachweise Bearbeiten Wolfgang Walter Analysis Band 2 5 erweiterte Auflage Springer Berlin u a 2002 ISBN 3 540 42953 0 S 193 f Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Stieltjesintegral amp oldid 235377184