Lebesguesches Prämaß Der Lebesguesche Inhalt und das Lebesguesche Prämaß sind zwei eng verwandte Mengenfunktionen der Ma

Lebesguesches Prämaß

Der Lebesguesche Inhalt und das Lebesguesche Prämaß sind zwei eng verwandte Mengenfunktionen der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Aufbauend auf diesen Begriffen wird das Lebesgue-Maß konstruiert, dieses wiederum liefert das Lebesgue-Integral, das eine Verallgemeinerung des Riemann-Integrals ist.

Lebesguescher Inhalt Bearbeiten

Gegeben sei der Halbring der halboffenen Intervalle. Dann heißt der Inhalt

der Lebesguesche Inhalt. Er ist σ-endlich.

Er lässt sich auf den von dem Halbring erzeugten Ring

fortsetzen durch

Hierbei ist und .

Lebesguesches Prämaß Bearbeiten

Tatsächlich ist der Lebesguesche Inhalt bereits ein Prämaß, er ist also σ-additiv. Demnach gilt

wenn die paarweise disjunkt sind und gilt. Dies lässt sich wie folgt einsehen: Gegeben sei ein Intervall

Dann enthält dieses Intervall den Abschluss eines Intervalls und jedes der Intervalle ist selbst im Inneren eines weiteren Intervalls enthalten. Somit ist

Da aber kompakt ist, existiert eine endliche Teilüberdeckung an . Nun lassen sich aber alle betreffenden Intervalle so wählen, dass

gilt. Mit der Endlichkeit der Überdeckung folgt daraus die σ-Subadditivität von . Diese ist jedoch bei Inhalten äquivalent zur σ-Additivität, der Inhalt ist also ein Prämaß. Die Fortsetzung auf den erzeugten Ring funktioniert identisch wie oben, ebenso bleibt die σ-Endlichkeit erhalten.

Alternativ zu dem hier angedeuteten direkten Nachweis der σ-Additivität kann man das Lebesguesche Prämaß auch als Spezialfall des Lebesgue-Stieltjesschen Prämaßes ansehen und die σ-Additivität aus der σ-Additivität des Lebesgue-Stieltjesschen Prämaßes ableiten.

Höherdimensionaler Fall Bearbeiten

Wählt man als Grundmenge den , so lässt sich das n-dimensionale Lebesguesche Prämaß auf dem Halbring der halboffenen Quader

definieren, wobei hier

bedeutet. Man setzt dann als Lebesguesches Prämaß

Dies ist genau das elementargeometrische Volumen eines Quaders, nämlich das Produkt der Seitenlängen, im zweidimensionalen Fall handelt es sich um den Flächeninhalt eines Rechtecks. Sowohl der Nachweis der σ-Additivität als auch die Fortsetzung auf den von erzeugten Ring laufen analog zum eindimensionalen Fall.

Bemerkung Bearbeiten

Die hier verwendete Notation mit und dient der besseren Unterscheidung, meist werden sowohl Inhalt als auch Prämaß und Maß nur mit bezeichnet, auch unabhängig davon, auf welchem Mengensystem sie definiert sind.
Bei der Konstruktion des Lebesgue-Maßes kommen gelegentlich auch andere Mengenhalbringe als die hier verwendeten vor. Beispiele wären die dyadischen Elementarzellen, die links abgeschlossenen halboffenen Intervalle, die links abgeschlossenen halboffenen Intervalle mit rationalen Eckpunkten oder andere. Die Halbringe stimmen im Allgemeinen nicht überein, aber die von diesen Halbringen erzeugten σ-Algebren sind identisch. Jede Wahl der Halbringe liefert also anschließend dasselbe Lebesgue-Maß.
Für den n-dimensionalen Fall lässt sich zeigen, dass das aus diesem Fall konstruierte n-dimensionale Lebesgue-Maß genau das n-fache Produktmaß des eindimensionalen Lebesgue-Maßes ist. Das Ergebnis ist also von der Art der Konstruktion unabhängig.
Da das Prämaß σ-endlich ist, ist die Fortsetzung zum Lebesgue-Maß nach dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory eindeutig. Die genaue Konstruktion der Fortsetzung findet sich auch dort.
Sowohl der Lebesguesche Inhalt als auch das Lebesguesche Prämaß sind Spezialfälle des Stieltjes’schen Inhaltes und des Lebesgue-Stieltjesschen Prämaßes mit .

Literatur Bearbeiten

Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 03, 2023, 20:18 pm

Der Lebesguesche Inhalt und das Lebesguesche Pramass sind zwei eng verwandte Mengenfunktionen der Masstheorie einem Teilgebiet der Mathematik Aufbauend auf diesen Begriffen wird das Lebesgue Mass konstruiert dieses wiederum liefert das Lebesgue Integral das eine Verallgemeinerung des Riemann Integrals ist Inhaltsverzeichnis 1 Lebesguescher Inhalt 2 Lebesguesches Pramass 3 Hoherdimensionaler Fall 4 Bemerkung 5 LiteraturLebesguescher Inhalt BearbeitenGegeben sei I a b a b R a b displaystyle mathcal I a b mid a b in mathbb R a leq b nbsp der Halbring der halboffenen Intervalle Dann heisst der Inhalt l I 0 l a b b a displaystyle lambda colon mathcal I mapsto 0 infty lambda a b b a nbsp der Lebesguesche Inhalt Er ist s endlich Er lasst sich auf den von dem Halbring I displaystyle mathcal I nbsp erzeugten Ring S j 1 n I j I 1 I n I I j paarweise disjunkt displaystyle mathcal S left left bigcup j 1 n I j right I 1 dotsc I n in mathcal I I j text paarweise disjunkt right nbsp fortsetzen durch l I i 1 n l I i wenn I i 1 n I i displaystyle lambda I sum i 1 n lambda I i text wenn I biguplus i 1 n I i nbsp Hierbei ist I S displaystyle I in mathcal S nbsp und I i I displaystyle I i in mathcal I nbsp Lebesguesches Pramass BearbeitenTatsachlich ist der Lebesguesche Inhalt bereits ein Pramass er ist also s additiv Demnach gilt l i 1 I i i 1 l I i displaystyle lambda left bigcup i 1 infty I i right sum i 1 infty lambda I i nbsp wenn die I i displaystyle I i nbsp paarweise disjunkt sind und i 1 I i I displaystyle bigcup i 1 infty I i in mathcal I nbsp gilt Dies lasst sich wie folgt einsehen Gegeben sei ein Intervall i 1 I i I I displaystyle bigcup i 1 infty I i I in mathcal I nbsp Dann enthalt dieses Intervall den Abschluss H displaystyle overline H nbsp eines Intervalls und jedes der Intervalle I i displaystyle I i nbsp ist selbst im Inneren J i displaystyle J i circ nbsp eines weiteren Intervalls enthalten Somit ist H i 1 J i displaystyle overline H subset bigcup i 1 infty J i circ nbsp Da aber H displaystyle overline H nbsp kompakt ist existiert eine endliche Teiluberdeckung an J i displaystyle J i circ nbsp Nun lassen sich aber alle betreffenden Intervalle so wahlen dass 1 ϵ l I l H und l J i 1 ϵ l I i displaystyle 1 epsilon lambda I leq lambda H text und lambda J i leq 1 epsilon lambda I i nbsp gilt Mit der Endlichkeit der Uberdeckung folgt daraus die s Subadditivitat von l displaystyle lambda nbsp Diese ist jedoch bei Inhalten aquivalent zur s Additivitat der Inhalt ist also ein Pramass Die Fortsetzung auf den erzeugten Ring funktioniert identisch wie oben ebenso bleibt die s Endlichkeit erhalten Alternativ zu dem hier angedeuteten direkten Nachweis der s Additivitat kann man das Lebesguesche Pramass auch als Spezialfall des Lebesgue Stieltjesschen Pramasses ansehen und die s Additivitat aus der s Additivitat des Lebesgue Stieltjesschen Pramasses ableiten Hoherdimensionaler Fall BearbeitenWahlt man als Grundmenge den R n displaystyle mathbb R n nbsp so lasst sich das n dimensionale Lebesguesche Pramass auf dem Halbring der halboffenen Quader I n a b a b R n a lt b displaystyle mathcal I n a b mid a b in mathbb R n a lt b nbsp definieren wobei hier a b x 1 x n R n a 1 lt x 1 b 1 a n lt x n b n displaystyle a b x 1 dots x n in mathbb R n mid a 1 lt x 1 leq b 1 dots a n lt x n leq b n nbsp bedeutet Man setzt dann als Lebesguesches Pramass l n a b i 1 n b i a i displaystyle lambda n a b prod i 1 n b i a i nbsp Dies ist genau das elementargeometrische Volumen eines Quaders namlich das Produkt der Seitenlangen im zweidimensionalen Fall handelt es sich um den Flacheninhalt eines Rechtecks Sowohl der Nachweis der s Additivitat als auch die Fortsetzung auf den von I n displaystyle mathcal I n nbsp erzeugten Ring laufen analog zum eindimensionalen Fall Bemerkung BearbeitenDie hier verwendete Notation mit l l displaystyle lambda lambda nbsp und l displaystyle lambda nbsp dient der besseren Unterscheidung meist werden sowohl Inhalt als auch Pramass und Mass nur mit l displaystyle lambda nbsp bezeichnet auch unabhangig davon auf welchem Mengensystem sie definiert sind Bei der Konstruktion des Lebesgue Masses kommen gelegentlich auch andere Mengenhalbringe als die hier verwendeten vor Beispiele waren die dyadischen Elementarzellen die links abgeschlossenen halboffenen Intervalle die links abgeschlossenen halboffenen Intervalle mit rationalen Eckpunkten oder andere Die Halbringe stimmen im Allgemeinen nicht uberein aber die von diesen Halbringen erzeugten s Algebren sind identisch Jede Wahl der Halbringe liefert also anschliessend dasselbe Lebesgue Mass Fur den n dimensionalen Fall lasst sich zeigen dass das aus diesem Fall konstruierte n dimensionale Lebesgue Mass genau das n fache Produktmass des eindimensionalen Lebesgue Masses ist Das Ergebnis ist also von der Art der Konstruktion unabhangig Da das Pramass s endlich ist ist die Fortsetzung zum Lebesgue Mass nach dem Masserweiterungssatz von Caratheodory eindeutig Die genaue Konstruktion der Fortsetzung findet sich auch dort Sowohl der Lebesguesche Inhalt als auch das Lebesguesche Pramass sind Spezialfalle des Stieltjes schen Inhaltes und des Lebesgue Stieltjesschen Pramasses mit F x x displaystyle F x x nbsp Literatur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 Auflage Springer Berlin Heidelberg New York 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lebesguesches Pramass amp oldid 186477072