In der Mathematik sind Mengenfunktionen Funktionen die bestimmten Mengen den Mengen eines Mengensystems Werte zuordnen in der Regel nicht negative reelle Zahlen oder den Wert displaystyle infty Funktionen die als Werte Mengen annehmen werden hingegen mengenwertige Funktionen genannt Mengenfunktionen bilden die Basis fur die Masstheorie wo unter anderem Mengenfunktionen wie Masse oder Inhalte auf genauere Eigenschaften untersucht werden Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 Formale Definition 3 Beispiele 4 Besondere Eigenschaften von Mengenfunktionen 4 1 Allgemeine Eigenschaften 4 2 Vertraglichkeit von Addition und Vereinigung 4 3 Stetigkeit 5 Beziehungen zwischen den Eigenschaften 6 LiteraturMotivation BearbeitenMengenfunktionen sind besonders wichtig in der Masstheorie Idee der Masstheorie ist es Mengen eine reelle Masszahl zuordnen zu konnen Ein einfaches Beispiel ware etwa die Elemente von einer endlichen Menge zu zahlen Die Menge 1 3 5 27 N displaystyle 1 3 5 27 subseteq mathbb N nbsp etwa erhalt dann Mass 4 Man mochte jedoch nicht nur einer Menge einen Wert zuordnen sondern einem ganzen Mengensystem also einer Menge von Mengen Betrachtet man beispielsweise das Mengensystem C 3 5 1 3 27 1 3 5 27 P N displaystyle mathcal C 3 5 1 3 27 1 3 5 27 subseteq mathcal P mathbb N nbsp und definiert eine Funktion f C R displaystyle f colon mathcal C to mathbb R nbsp die die Anzahl der Elemente zahlt so erhalt man eine Mengenfunktion Fur die Mengenfunktion f displaystyle f nbsp gilt dann f 3 1 displaystyle f 3 1 nbsp f 5 1 displaystyle f 5 1 nbsp f 1 3 27 3 displaystyle f 1 3 27 3 nbsp f 1 3 5 27 4 displaystyle f 1 3 5 27 4 nbsp Nun kann man Mengenfunktionen auf ihre Eigenschaften untersuchen In der Masstheorie fordert man haufig bestimmte Stabilitatseigenschaften wie beispielsweise die Additivitat das heisst dass wenn man eine Menge zerteilt so mussen die zwei neuen Mengen zusammen den gleichen Wert annehmen wie die Ausgangsmenge Dies ist im obigen Beispiel beim Zahlen erfullt so ist f 5 f 1 3 27 1 3 4 f 1 3 5 27 displaystyle f 5 f 1 3 27 1 3 4 f 1 3 5 27 nbsp Formale Definition BearbeitenSei X displaystyle X nbsp eine nichtleere Menge und C P X displaystyle mathcal C subseteq mathcal P X nbsp ein Mengensystem mit C displaystyle emptyset in mathcal C nbsp Weiter sei zunachst W R displaystyle W mathbb R cup infty nbsp kurz W 0 displaystyle W 0 infty nbsp Dann nennt man jede Abbildung f C W displaystyle f colon mathcal C to W nbsp mit f 0 displaystyle f emptyset 0 nbsp eine Mengenfunktion Von einer Mengenfunktion spricht man zumeist auch wenn W R displaystyle W mathbb R cup infty nbsp oder W R displaystyle W mathbb R cup infty nbsp ist signiertes Mass oder W C displaystyle W mathbb C nbsp komplexes Mass Beispiele BearbeitenBestimmten Punktmengen der Ebene den Flachen kann man als Masszahl einen Flacheninhalt zuordnen Diese Zuordnung ist wie auch die vorherige stets grosser oder gleich 0 und s additiv so eine Mengenfunktion nennt man ein Mass In der Analysis wird die Flache zwischen der x Achse und einem Funktionsgraphen mit Hilfe des Integrals bestimmt Dabei erhalten Flachen unterhalb der x Achse ein negatives Vorzeichen Auch diese Zuordnung ist s additiv so eine Mengenfunktion heisst ein signiertes Mass Wahrscheinlichkeitsmasse sind s additive Mengenfunktionen die Werte zwischen 0 und 1 annehmen und der gesamten Grundmenge Mass 1 zuordnen sicheres Ereignis Ein Ausseres Mass ist eine s subadditive Mengenfunktion die stets grosser oder gleich 0 ist Das erreicht man beispielsweise indem man jeder Teilmenge der Ebene das Infimum der Flacheninhalte aller als Flachen messbaren Obermengen zuordnet Meist geht man aber andersherum vor und konstruiert ein ausseres Mass um durch geeignete Einschrankung der messbaren Mengen ein Mass zu erhalten z B Konstruktion des Lebesgue Masses Besondere Eigenschaften von Mengenfunktionen BearbeitenDie Mengenfunktion f heisst Allgemeine Eigenschaften Bearbeiten monoton falls A B f A f B displaystyle A subseteq B Rightarrow f A leq f B nbsp fur A B C displaystyle A B in mathcal C nbsp endlich falls fur alle A C f A lt displaystyle A in mathcal C Rightarrow f A lt infty nbsp s endlich falls es eine Folge A j j N displaystyle A j j in mathbb N nbsp mit j N A j W displaystyle bigcup j in mathbb N A j Omega nbsp und f A j lt displaystyle f A j lt infty nbsp fur alle j N displaystyle j in mathbb N nbsp gibt beschrankt falls fur alle A C displaystyle A in mathcal C nbsp sup A C f A lt displaystyle sup A in mathcal C f A lt infty nbsp vollstandig falls fur alle A C displaystyle A in mathcal C nbsp mit f A 0 displaystyle f A 0 nbsp und B A displaystyle B subseteq A nbsp B C displaystyle B in mathcal C nbsp gilt Vertraglichkeit von Addition und Vereinigung Bearbeiten additiv falls f A B f A f B displaystyle f A cup B f A f B nbsp fur disjunkte Mengen A B displaystyle A B nbsp aus C displaystyle mathcal C nbsp mit A B C displaystyle A cup B in mathcal C nbsp endlich additiv falls f j 1 m A j j 1 m f A j displaystyle f bigcup j 1 m A j sum j 1 m f A j nbsp fur beliebige paarweise disjunkte Mengen A 1 A m displaystyle A 1 A m nbsp aus C displaystyle mathcal C nbsp s additiv sigma additiv falls f j N A j j N f A j displaystyle f bigcup j in mathbb N A j sum j in mathbb N f A j nbsp fur jede Folge disjunkter Mengen A j j N displaystyle A j j in mathbb N nbsp in C displaystyle mathcal C nbsp mit N A j C displaystyle bigcup in mathbb N A j in mathcal C nbsp subadditiv falls f A B f A f B displaystyle f A cup B leq f A f B nbsp fur A B displaystyle A B nbsp aus C displaystyle mathcal C nbsp mit A B C displaystyle A cup B in C nbsp endlich subadditiv falls f j 1 m A j j 1 m f A j displaystyle f bigcup j 1 m A j leq sum j 1 m f A j nbsp fur alle Mengen A 1 A m displaystyle A 1 A m nbsp aus C displaystyle mathcal C nbsp mit j 1 m A j C displaystyle bigcup j 1 m A j in C nbsp s subadditiv sigma subadditiv falls f j N A j j N f A j displaystyle f bigcup j in mathbb N A j leq sum j in mathbb N f A j nbsp fur jede Folge von Mengen A j j N displaystyle A j j in mathbb N nbsp in C displaystyle mathcal C nbsp mit j N A j C displaystyle bigcup j in mathbb N A j in mathcal C nbsp subtraktiv falls fur alle A B C displaystyle A B in mathcal C nbsp mit B A displaystyle B subseteq A nbsp f B lt displaystyle f B lt infty nbsp und A B C displaystyle A setminus B in mathcal C nbsp f A B f A f B displaystyle f A setminus B f A f B nbsp Dabei fordert man f B lt displaystyle f B lt infty nbsp um nicht definierte Differenzen displaystyle infty infty nbsp zu vermeiden modular falls fur alle A B C displaystyle A B in mathcal C nbsp und A B A B C displaystyle A cup B A cap B in mathcal C nbsp f A B f A B f A f B displaystyle f A cup B f A cap B f A f B nbsp Stetigkeit Bearbeiten Hauptartikel s Stetigkeit stetig von unten falls fur jede monoton wachsende Folge A j j N displaystyle A j j in mathbb N nbsp mit A j C displaystyle A j in mathcal C nbsp und j N A j C displaystyle bigcup j in mathbb N A j in mathcal C nbsp f i N A i sup i N f A i displaystyle f left bigcup i in mathbb N A i right sup i in mathbb N f A i nbsp dd gilt stetig von oben falls fur jede monoton fallende Folge A j j N displaystyle A j j in mathbb N nbsp mit A j C displaystyle A j in mathcal C nbsp f A 1 lt displaystyle f A 1 lt infty nbsp und j N A j C displaystyle bigcap j in mathbb N A j in mathcal C nbsp f i N A i inf i N f A i displaystyle f left bigcap i in mathbb N A i right inf i in mathbb N f A i nbsp dd gilt displaystyle emptyset nbsp stetig von oben falls fur jede monoton fallende Folge A j j N displaystyle A j j in mathbb N nbsp mit A j C displaystyle A j in mathcal C nbsp f A 1 lt displaystyle f A 1 lt infty nbsp und j N A j displaystyle bigcap j in mathbb N A j emptyset nbsp inf i N f A i 0 displaystyle inf i in mathbb N f A i 0 nbsp dd gilt Beziehungen zwischen den Eigenschaften BearbeitenJede s additiv Mengenfunktion ist endlich additiv und jede endlich additive Mengenfunktion ist additiv Jede endliche Mengenfunktion ist s endlich Jede additive Mengenfunktion ist subtraktiv Jede beschrankte Mengenfunktion ist endlich Ist C displaystyle mathcal C nbsp ein Ring so ist jede additive Mengenfunktion endlich additiv und jede subadditive Mengenfunktion ist endlich subadditiv Literatur BearbeitenHerbert Amann Joachim Escher Analysis Band 3 2 Auflage Birkhauser Basel u a 2008 ISBN 978 3 7643 8884 3 Klaus D Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit Springer Berlin u a 2009 ISBN 978 3 540 89729 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Mengenfunktion amp oldid 228899503
