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Additive Funktion Additive subadditive und superadditive Funktionen sind mathematische Objekte Es sind bestimmte Klassen

Additive Funktion

Additive, subadditive und superadditive Funktionen sind mathematische Objekte. Es sind bestimmte Klassen von Funktionen. Lineare Abbildungen sind besondere additive Funktionen.

In der Zahlentheorie herrscht eine andere Definition für die additive Funktion.

Definition Bearbeiten

Eine Funktion heißt additiv, wenn sie die Funktionalgleichung

erfüllt. Sind Definitions- und Zielbereich abelsche Gruppen, so spricht man auch von -Linearität.

Definition in der Zahlentheorie Bearbeiten

In der Zahlentheorie bezeichnet man eine Funktion als additive Funktion, wenn folgende Eigenschaft

für alle teilerfremden positiven ganzen Zahlen gilt.

Sub- und Superadditive Funktionen Bearbeiten

Ist eine Halbgruppe mit der Verknüpfung , so heißt eine Abbildung subadditiv, wenn für alle und aus gilt:

Die Abbildung heißt superadditiv, wenn für alle und aus gilt:

Beispiele Bearbeiten

Eigenschaften Bearbeiten

  • Eine Abbildung ist genau dann additiv, wenn sie sowohl sub- als auch superadditiv ist.
  • Ist eine additive Funktion, so gilt für jede endliche Anzahl von Elementen aus :
Entsprechendes gilt für Sub- und Superadditivität.

Definition in der Zahlentheorie Bearbeiten

Bei zahlentheoretischen Funktionen betrachtet man als Verknüpfung auf die Multiplikation. Eine zahlentheoretische Funktion heißt additiv, wenn die Gleichung

für alle teilerfremden und gilt. Gilt dies sogar für alle und , so heißt die Funktion streng additiv.

Eine ähnliche Einschränkung der Additivität (auf disjunkte statt beliebige Vereinigungen) gibt es in der Maßtheorie.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Prasanna Sahoo, Thomas Riedel: Mean Value Theorems and Functional Equations. 1998, ISBN 978-981-02-3544-4, S. 1.
  2. ↑ Josip E. Peajcariaac, Y. L. Tong: Convex Functions, Partial Orderings, and Statistical Applications. Academic Press, 1992, ISBN 978-0-12-549250-8, S. 8.
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Additive subadditive und superadditive Funktionen sind mathematische Objekte Es sind bestimmte Klassen von Funktionen Lineare Abbildungen sind besondere additive Funktionen In der Zahlentheorie herrscht eine andere Definition fur die additive Funktion Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Definition in der Zahlentheorie 2 Sub und Superadditive Funktionen 3 Beispiele 4 Eigenschaften 5 Definition in der Zahlentheorie 6 Siehe auch 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine Funktion f displaystyle f nbsp heisst additiv wenn sie die Funktionalgleichung f x y f x f y displaystyle f x y f x f y nbsp erfullt 1 Sind Definitions und Zielbereich abelsche Gruppen so spricht man auch von Z displaystyle mathbb Z nbsp Linearitat Definition in der Zahlentheorie Bearbeiten Hauptartikel Zahlentheoretische Funktion Additive Funktionen In der Zahlentheorie bezeichnet man eine Funktion als additive Funktion wenn folgende Eigenschaft f m n f n f m displaystyle f mn f n f m nbsp fur alle teilerfremden positiven ganzen Zahlen n m displaystyle n m nbsp gilt Sub und Superadditive Funktionen BearbeitenIst M displaystyle M nbsp eine Halbgruppe mit der Verknupfung displaystyle nbsp so heisst eine Abbildung f M R displaystyle f colon M to mathbb R nbsp subadditiv wenn fur alle x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp aus M displaystyle M nbsp gilt 2 f x y f x f y displaystyle f x y leq f x f y nbsp Die Abbildung heisst superadditiv wenn fur alle x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp aus M displaystyle M nbsp gilt 2 f x y f x f y displaystyle f x y geq f x f y nbsp Beispiele BearbeitenGemass der Dreiecksungleichung sind Normen und Betrage stets subadditiv Sublineare Funktionen sind subadditiv Lineare Abbildungen sind additiv Eigenschaften BearbeitenEine Abbildung ist genau dann additiv wenn sie sowohl sub als auch superadditiv ist Ist f displaystyle f nbsp eine additive Funktion so gilt fur jede endliche Anzahl x 1 x n displaystyle x 1 dotsc x n nbsp von Elementen aus M displaystyle M nbsp f x 1 x n f x 1 f x n displaystyle f x 1 dotsb x n f x 1 dotsb f x n nbsp dd Entsprechendes gilt fur Sub und Superadditivitat Definition in der Zahlentheorie BearbeitenBei zahlentheoretischen Funktionen f N C displaystyle f colon mathbb N to mathbb C nbsp betrachtet man als Verknupfung auf N displaystyle mathbb N nbsp die Multiplikation Eine zahlentheoretische Funktion heisst additiv wenn die Gleichung f x y f x f y displaystyle f xy f x f y nbsp fur alle teilerfremden x displaystyle x nbsp und y N displaystyle y in mathbb N nbsp gilt Gilt dies sogar fur alle x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp so heisst die Funktion streng additiv Eine ahnliche Einschrankung der Additivitat auf disjunkte statt beliebige Vereinigungen gibt es in der Masstheorie Siehe auch Bearbeitens Subadditivitat s AdditivitatEinzelnachweise Bearbeiten Prasanna Sahoo Thomas Riedel Mean Value Theorems and Functional Equations 1998 ISBN 978 981 02 3544 4 S 1 a b Josip E Peajcariaac Y L Tong Convex Functions Partial Orderings and Statistical Applications Academic Press 1992 ISBN 978 0 12 549250 8 S 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Additive Funktion amp oldid 234059475