Ein komplexes Maß ist eine Art Verallgemeinerung des Maßes aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Es ist wie das Maß eine Funktion, die von einem Mengensystem, meist einer σ-Algebra, abbildet. Das komplexe Maß lässt jedoch als Wertebereich die komplexen Zahlen zu, d. h.
für ein Mengensystem .
Definition Bearbeiten
Sei eine nichtleere Menge und eine Teilmenge der Potenzmenge von mit .
Eine Mengenfunktion von in die komplexen Zahlen heißt komplexes Maß, wenn
und für jede disjunkte Familie mit und
gilt, wobei die Reihe absolut konvergieren muss, das heißt . Letztere Eigenschaft wird auch als -Additivität bezeichnet.
In den meisten Anwendungen ist das Mengensystem eine σ-Algebra, dann ist immer in enthalten.
Eigenschaften Bearbeiten
Jedes endliche (Prä)Maß ist ein komplexes Maß, wenn man den reellen Bildbereich des Maßes in die komplexen Zahlen einbettet.
Für ein komplexes Maß sind offensichtlich Real- und Imaginärteil signierte Maße. Da jedes signierte Maß als Differenz zweier positiver Maße geschrieben werden kann (Hahn-Jordan-Zerlegung), kann jedes komplexe Maß als Linearkombination von vier positiven Maßen geschrieben werden.
Siehe auch Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
- Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 1999, ISBN 3-486-24789-1, Kap. 6.